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高中数学必修5模块复习题含答案


必修 5 复习卷
一、选择题: 1.已知 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为正项等比数列,其公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 ,则 A A. a6 ? b6 B. a6 ? b6 C. a6 ? b6 D.以上答案都不对

已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 1 ,则其前三项和 S3 的取值范围是 ? ??,

?1? ? ?3, ??? . 2.递减等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S 5 ? S10 ,则欲使 S n 最大,则 n= D A. 10 B. 7 C. 9 D. 7 ,8 D

3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 36 ,则 a2 ? a4 ? a9 等于 A. 36 B. 24 C. 18 D. 12

4.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 40 , a4 ? a5 ? a6 ? 20 ,则前 9 项之和等于 B A.50 B.70 C.80 D.90

5.下列命题中正确的是(C) A.若 a,b,c 是等差数列,则 lg a , lg b , lg c 是等比数列 B.若 a,b,c 是等比数列,则 lg a , lg b , lg c 是等差数列 C.若 a,b,c 是等差数列,则 10 , 10 , 10 是等比数列 D.若 a,b,c 是等比数列,则 10 , 10 , 10 是等差数列 6.若数列 {a n } 的前 n 项的和 S n ? 3 n ? 2 ,那么这个数列的通项公式为
3 A. a n ? ( ) n?1 2
a b c
a b c

(C )

B. a n ? 2 ? 3 n?1

C. a n ? ?

( n ? 1) ? ?1 n ?1 ? ( n ? 2) ?2 ? 3

D. a n ? 3n ? 2 B

7.已知数列 ?an ? 的通项 an ? 11? 2n ,那么 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a10 = A.25 8.已知函数 f ? x ? ? B.50 C.52 D.100

1 ,则 f ? 2009? ? f ? 2008? ? f ? 2007? ???? 1 ? x2

?1? ? 1 ? ? f ? 2 ? ? f ?1? ? f ? ? ? ??? ? f ? ?? ?2? ? 2007 ?
A.2008
2 2

? 1 ? f? ?? ? 2008 ?

? 1 ? f? ? 的值为 ? 2009 ?
D. 2009

B

B. 2008

1 2

C.2009

1 2

9.过圆 x ? y ? 10 x 内一点 ? 5,3? 有 k 条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数列首项

1

?1 1 ? a1 ,最大弦长为数列的末项 ak ,若公差 d ? ? , ? ,则 k 的取值不可能是 ?3 2?
A.4 B.5 C.6 D.7

A

2 10.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,S2m?1 ? 38 ,则 m ?(



A.38

B.20

C.10

D.9

2 解:因为 ?an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:

2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 即(2m-1)× 2=38,解得 m=10,故选 C.

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38, 2

11. 数列 ?an ? 中, 且对所有正整数 n, 都有 an?1 ? an ? an?2 , 则 a 2009 ? B a1 =2008, a2 =2009, A. 2008 B. -2009 C. 1 D. 2009

已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an ,则 a2010 ? ?4 . 12.把数列{ 2n ? 1 }( n ? N )依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括 号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,第六个括号两个数,…进行摆放, 即(3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37,39,41) , (43) , (45,47)…,则第 104 个括号内各数之和为 A A.2072 B.2060 C. 2048 D.2036 13.已知 ?ABC 中, a、 b 分别是角 A、B 所对的边,且 a ? x ? x ? 0? , b ? 2, A ? 60° ,若三 角形有两解,则 x 的取值范围是 A. x ? 3 B. 0 ? x ? 2 C C.
?

3?x?2

D.

3?x?2

14. 在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 sin B cos C ? 0 ,则 ?ABC 必定是 D A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形
2

D.等腰三角形 C D.等腰三角形

15.在 ?ABC 中, sin ? A ? B? ? sin ? A ? B ? ? sin C ,则 ?ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

16.在 ?ABC 中,三边 a,b,c 与面积 S 的关系是 S ?
0 0 0

a2 ? b2 ? c2 ,则 ? C =C 4
D. 90
2

A. 30

B. 60

C. 45

0

2 17.已知 ?ABC 的三边 a、b、c 和其面积 S 满足 S ? c ? ? a ? b ? 且 a ? b ? 2 ,则 S 的最

大值为

D

A.

8 17

B.

6 17
2

C.

5 17

D.

4 17

18.已知不等式组 ? A.6

? ?? x ? y ? 1?? x ? y ? 1? ? 0 ,则 z ?| 2 x ? y ? 1| 的最大值是 ? ??2 ? x ? 2
C.8 C .9

A

B.7

19.点 ?3,1? 和点 ? ?4,6 ? 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 两侧,则 a 的范围是(D ) A. a ? ?7或a ? 24 B. ?24 ? a ? 7 C. a ? ?7或a ? 24 D. ?7 ? a ? 24

?x ? y ? 2 ? 0 ? 20.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 2 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域内 ?ax ? y ? 2 ? 0 ?
的面积等于 6,则 a 的值为 C A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 21.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生 产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨 乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不 超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ( ) A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 解:答案:D,解析 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 A 原料 3x B 原料 2x 3y

y
13

y

O 13 9 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知: ( ,0) 3 当 x =3, y =5 时可获得最大利润为 27 万元,故选 D 22. 当 x ? 1 时,不等式 mx ? mx ? 1 ? x 恒成立,则实数 m 的取值范围是
2

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? 目标函数 z ? 5x ? 3 y (0,6) 3 x ? y ? 13 ? ? ?2 x ? 3 y ? 18

(3,4)

x





A. ?3 ? 2 2, ??

?

? B. ? ??,3 ? 2

? 2? ? C. ?3 ? 2 2, ??

?

D. ??,3 ? 2 2 ?

?

?

2 2 2 解:答案:选 C,由不等式 mx ? mx ? 1 ? x 得 m x ? x ? x ? 1 ,又 x ? x ? 0 ,

?

?

所以有 m ?

x ?1 x ?1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 恒成立,而 2 2 x ?x x ? x x ? x ? x ? x ? ? ? 2x ? 2? ? 2 x ? 2 ? 2 x ?1 x ?1 x ?1
, x ?1 ?

?

1 x ?1 ?

2 ?3 x ?1 1 1 ? ? 3 ? 2 2 ,所以实数 m 的取值范围是 ? ?3 ? 2 2, ?? . 2 3 ? 2 2 x ?1 ? ?3 x ?1

2 ? 3 ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 1 ? 2 时等号成立,即 x ?1

?

3

二、填空题: 23.当 x ? (1,2) 时,不等式 x 2 ? m x ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 m≤-5. 24.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 ( a ? 0 , b ? 0 )被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则

1 4 ? 的最小值为 9 . a b

设 x ? ?1 ,则函数 f ? x ? ?

? x ? 5?? x ? 2 ? 的最小值是 9.
x ?1

25.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 S n、Tn ,且

S n 7n ? 1 ,则 ? Tn n?3

a 2 ? a5 ? a17 ? a22 31 = . b8 ? b10 ? b12 ? b16 5
26.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c ,下列四个论断正确的是①③. (把你认为正确的论断都写上) ①若

sin A cos B ? ? ,则 B ? ; a b 4

②若 B ?

?

4

, b ? 2, a ? 3 ,则满足条件的三角形共有两个;

③若 a, b, c 成等差数列, sin A,sin B,sin C 成等比数列,则 ?ABC 为正三角形; ④若 a ? 5, c ? 2, S?ABC ? 4 ,则 cos B ? 27. 已知 ?ABC 中,sin A ? sin B ? sin C ? 则 ?ABC 的外接圆的面积为 4? . 28.设 A 是 ?ABC 中的最小角,且 cos A ? A. a ? 3 三、解答题: B. a ? ? 1

3 . 5

3 , 此三角形的面积为 3, 其内切圆的面积为 ? , 2

a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 A a ?1 C. ?1 ? a ? 3 D. a ? 0

29.已知 a ? R ,解不等式

x ? a ?1 x ?1


分析:这是一个含参数的分式不等式,应和分式不等式基础知识联系起来. 解:原不等式化为

?ax ? (a ? 1) ?0 x ?1

简评一:分式不等式的最基本形式是 首先用移项、通分转化为最基本形式.

f ( x) ? 0(? 0) ,对于任意一个分式不等式,应当 g ( x)

4

(1) 当 a ? 0 时,原不等式为

?1 ? 0 ? x ?1 x ?1

简评二:在 ①中,分子中 x 的系数含有字母 a ,分类讨论就从这里引起.

a ?1 ) a (2) 当 a ? 0 时,原不等式化为 ?0 ② x ?1 简评三:对于不等式②,分子中的系数 a 不能随意约去,因为根据不等式的性质,给不 a( x ?
等式两边同时乘以一个负数,不等式的方向要改变.

10 当 a ? 0 时原不等式为,

x?

a ?1 a ? 0 ,由于 a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,解得1 ? x ? a ? 1 a a a x ?1

简评四:先确定两根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,然后直接写出解集.

a ?1 a ?1 ) x? a ?0? a ? 0, 20 当 a ? 0 时,由 x ?1 x ?1 a ?1 1 a ?1 ? 1? ? 1 ? x ? 由 或 x ?1. a a a a( x ?
综上,原不等式当 a ? 0 时,解集为 (1, ??) ; 当 a ? 0 时,解集为 (??, 当 a ? 0 时,解集为 (1,

a ?1 ) ? (1, ??) . a

a ?1 ); a

简评五:最后以综合方式写出解集是关键的步骤,不能省略. 30.函数 f ( x) ? lg[(m ? 3m ? 2) x ? (m ? 1) x ? 1] 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.
2 2 2 2 解:∵ f ( x) 的定义域为 R, ∴对于任意 x ? R ,恒有 (m ? 3m ? 2) x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0

(i)若 m ? 3m ? 2 ? 0, 则m ? 2或1 ,当 m=1 时,不等式即为 1>0,符合题意,
2

当 m=2 时,不等式即为 2 x ? 1 ? 0 ,不恒成立,∴m=2 不合题意,舍去.
2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 2 (ii)若 m -3m+2≠0,由题意得 ? 2 2 ? ?? ? (m ? 1) ? 4(m ? 3m ? 2) ? 0

2

?m ? 1或m ? 2 7 ? 解得 ? 7 ,即m ? 1或m ? . 3 m ? 1或m ? ? 3 ?
综上可得,m 的取值范围是 m ? 1或m ?
2

7 . 3

函数 y ? lg(ax ? x ? 1) 的值域为 R,则 a 的取值范围是 ?0, ? 4

? 1? ? ?

5

31.在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= 3 ,求△ ABC 周长的取值范围. 解: (1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?
(2)?

? 3 Q ?ABC 是锐角三角形,? C ? 3 2

a b c ? ? ? 2, sin A sin B sin C

? a ? b ? c ? 2(sin A ? sin B) ? 3 ? 2 3 sin( A ?
Q ?ABC 是锐角三角形,?

?
6

)? 3

?
6

? A?

?
2

, 故

3 ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6

所以△ ABC 周长的取值范围是 (3 ? 3,3 3] .

已知三角形内角成等差数列,且其面积为 10 3 ,周长为 20,求该三角形的三边长.

32.某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以后每 年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f ( n) 表示前 n 年的纯利润总 和(f(n)=前 n 年的总收入一前 n 年的总支出一投资额). (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润 达到最大 ...... 时, 以 48 万元出售该厂; ②纯利润总和 达到最大时以 16 万元出售该厂.问哪种方案更合算? ..... 解:由题意知 f ( n) ? 50 n ? [12 n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40n ? 72 2

(1) 由 f (n) ? 0,即 ? 2n 2 ? 40n ? 72 ? 0, 解得2 ? n ? 18 由 n ? N * 知, 经三年开始盈利. (2)方案①:年平均纯利润

f ( n) 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 16 当且仅当 n=6 时等号成立. n n

故方案①共获利 6× 16+48=144(万元) ,此时 n=6. 方案② f (n) ? ?2(n ? 10) 2 ? 128. 当 n=10, f (n) max ? 128. 方案②共获利 128+16=144(万元). 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选择第①种方案更合算.

6

33.已知等差数列 ?an ? 中, a2 =8,前 10 项和 S10 =185. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若从数列 ?an ? 中依次取第 2 项、第 4 项、第 8 项…第 2 项……按原来的顺序组成一个
n

新的数列 ?bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

?a1 ? d ? 8 ? 解: (1)设{an}公差为 d,有 ? ,解得 a1=5,d=3 10 ? 9 10a1 ? d ? 185 ? 2 ?
∴an=a1+(n-1)d=3n+2 (2)∵bn=a 2 n =3× 2n+2, ∴Tn=b1+b2+…+bn=(3× 21+2)+(3× 22+2)+…+(3× 2n+2)

=3(21+22+…+2n)+2n=6× 2n+2n-6.

34.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, (I)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的前 n 项和 s n . 解: (I)由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? ? n ? 1? ? 4 ? an ? n ? , 又 a1 ? 1 ? 1,所以 ?an ? n? 是首项为 1,公比为 4 的等比数列. (II)由(1)可知 an ? n ? 4n?1 ,所以 an ? 4n?1 ? n , 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ? (1 ? 4 ???? ? 4n?1 ) ? (1 ? 2 ???? ? n) ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

2an , (1)求 a2 , a3 的值; (2)求该数列的通项公式; an ? 2

(3)若 bn ? an ? an ?1 ,Tn ? b1 ? b2 ? b3 ????? bn ,求 T10 .

35.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (II)求数列 {an } 的通项公式; (III)设 cn ? 2nbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 s n . 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,

7

有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4
(III)由(II)知,

cn ? 2nbn ? 3n ? 2n ,则

sn ? 3(1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ??????? ?n ? 2n ) , 2sn ? 3(1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ??????? ?n ? 2n?1 ) ,错项相减,得 ?sn ? 3(2 ? 22 ? 23 ??????? ?2n ) ? 3n ? 2n?1 ? 3(1 ? n)2n?1 ? 6 ,所以 sn ? 3(n ?1)2n?1 ? 6
36. 已知数列 {an } 及 fn ? x ? ? a1x ? a2 x ? ?? an x ,
2 n

fn ? ?1? ? (?1)n ? n , n ? 1, 2,3, ??? .
1 ?1? ? f n ? ? ? 1. 3 ?3?

(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求证: 解: (1)由已知 f1 ?? 1? ? ?a1 ? ?1 ,所以 a1 ? 1 .

f 2 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? 2 ,所以 a2 ? 3 .

f 3 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ,所以 a3 ? 5 .


(2)令 x ? ?1, 则 f n (?1) ? a1 (?1) ? a2 (?1) 2 ? ? ? an (?1) n

f n?1 (?1) ? a1 (?1) ? a2 (?1) 2 ? ? ? an (?1) n ? an?1 (?1) n?1 ②
两式相减,得

(?1)n?1 ? an?1 ? fn?1 ? ?1? ? fn ? ?1? ? (?1)n?1 ? ? n ?1? ? (?1)n ? n ,
所以 an?1 ? (n ? 1) ? n .即 an?1 ? 2n ? 1. 又 a1 ? 1 也满足上式

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 .( n ? 1,2,3? ) (3) f n ?x? ? x ? 3x ? 5x ? ? ? ?2n ? 1?x ,
2 3 n

8

所以 f n ? ? ?

?1? ? 3?

1 ?1? ?1? ?1? ? 3? ? ? 5? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? . 3 ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4 n ?1

2

3

n



1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ? f n ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 5? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 n

.④
n ?1

2 ?1? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ①-②,得 f n ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 ? ?1? ?1 ? ? ? 1 9? ? ?3? ? ? 1 3 1? 3
n ?1

? ? ? ?

?1? ? ? 2n ? 1? ? ? ?3?

n ?1

?

n ?1 2 2n ? 2 ? 1 ? ?1? ? ? ? ,以 f n ? 3 ? ? 1 ? 3n . 3 3 ?3? ? ?

n

又 n =1,2,3…,?

n ?1 ?1? ?1? ? 1 ? 2n ? 1 ? 0 故 f n ? ? < 1. 又 f n?1 ? ? ? f n ? ? ? n?1 ? 0 n 3 ? 3? ? 3? 3 ?3?

所以 ? f n ? ?? 是递增数列,故 f n ? ? ? f1 ? ? ?

? ? 1 ?? ? ? 3 ??

?1? ? 3?

?1? ? 3?

1 1 ?1? 所以 ? f n ? ? ? 1 3 3 ?3?

37. 已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn , 且 Sn = 2an - 2(n = 1, 2,3?) ,数列 {bn }中,b1 = 1 , 点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 x - y + 2 = 0 上. (1)求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; (2) 设 cn ? an bn 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,并求满足 Tn < 167 的最大正整数 n . 解(1)? Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2, 又Sn-Sn?1=an,(n ? 2, n ? N * )

?an ? 2an ? 2an?1,? an ? 0, ?

an ? 2, (n ? 2, n ? N * ), an?1

即数列 {an }是等比数列,

? a1 ? S1 ,?a1 ? 2a1 ? 2, 即 a1=2 ,? an ? 2n .
点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 x - y + 2 = 0 上,?bn ? bn?1+2=0 ,?bn?1 ? bn ? 2, 即数列 {bn }是等差数列,又 b1=, 1 ?bn ? 2n ? 1. (II)?cn= (2n ?1)2n ,

?Tn=a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ?1)2n , ?2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ?? (2n ? 3)2n ? (2n ?1)2n?1

9

因此: ?Tn ? 1? 2+(2 ? 22+2 ? 23+?+2 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1 即: ?Tn ? 1? 2 ? (23 ? 24 ? ?? 2n?1) ? (2n ?1)2n?1 ,?Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6

?Tn ? 167 ,即 (2n ? 3)2n?1 ? 6 ? 167, 所以 (2n ? 3)2n?1 ? 161 ,
当 n ? 4 时 (2n ? 3)2n?1 ? (2 ? 4-3 当 n ? 5 时 (2n ? 3)2n?1 ? (2 ? 5-3 ) 25= 160 , ) 26=448 , 故满足 Tn < 167 的最大正整数 n 为 4 . 38.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 ,且点 ? bn?1 , bn ? 在直 线 y ? x ? 1 上.(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)若 cn ? an ? 3 ,求数列 ?bncn ? 的前 n 项和 Sn . 解:(Ⅰ)由 an?1 ? 2an ? 3 得 an?1 ? 3 ? 2 ? an ? 3? 所以 ?an ? 3? 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以 an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 3 (Ⅱ)因为 ? bn?1 , bn ? 在直线 y ? x ? 1 上,所以 bn ? bn?1 ?1 即 bn?1 ? bn ? 1 又 b1 ? 1 , 故数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 bn ? n (Ⅲ) cn ? an ? 3 = 2
n ?1

? 3 ? 3 = 2 n ?1 故 bncn ? n ? 2n?1

所以 Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? n? 2n?1 故 2Sn ?
2

1? 23 ? 2 ? 24 ? ?? ? n ?1?? 2n?1 ? n? 2n?2
3 4 n ?1

相减得 ?Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 所以 Sn ? ? n ?1?? 2
n? 2

? n?2

n?2

?

4 ? 2n ? 1? 2 ?1

? n?2n?2 ? ?1 ? n ? 2n?2 ? 4

?4

10


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