当前位置:首页 >> 数学 >>

2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式课件 文


第四章 三角函数、解三角形

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:______________. sin ? =tan ? (2)商数关系:_____________. cos ? 2.下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ+α(k∈Z) π +α -α

图示

答案

与角α终边

的关系


相同 _____ π-α

关于原点对称 ______________
π -α 2

关于x轴对称 ___________
π +α 2

图示

与角α终边 的关系

关于y轴对称 ___________

关于直线y=x ______________ _____ 对称
答案

3.六组诱导公式 组数 角 正弦 一 2kπ+α(k∈Z) _____ sin α 二 π+α ______ - sin α 三 -α ______ - sin α 四 π-α _____ sin α 五
π -α 2


π +α 2

_____ cos α

_____ cos α - sin α ______

余弦
正切 口诀

_____ cos α
tan α _____

______ - cos α
tan α _____

_____ cos α
- tan α ______

_______ - cos α
- tan α ______

_____ sin α

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
sin α (2)若 α∈R,则 tan α=cos α恒成立.( × )

(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × ) (4)六组诱导公式中的角α可以是定义域内的任意角.( √ )

(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、 π 偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ ) 2
答案

2

考点自测
12 5 -13 1.(教材改编)已知 α 是第二象限角,sin α=13,则 cos α=_____.
解析 5 ∵sin α=13,α 是第二象限角,
2

12 ∴cos α=- 1-sin α=-13.

1

2

3

4

5

解析答案

2.已知 sin θ+cos
解析

? π? 4 ? ? θ=3,θ∈?0,4?,则 ? ?

2 - sin θ-cos θ 的值为 3 .

4 ∵sin θ+cos θ=3,

7 ∴2sin θcos θ= . 9
2 又∵(sin θ-cos θ) =1-2sin θcos θ=9,
2

2 2 ∴sin θ-cos θ= 或- . 3 3
? π? ? 又∵θ∈?0,4? ?,∴sin ? ?

2 θ-cos θ=- . 3
1 2 3 4 5
解析答案

2 5 1 π 3.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈(- ,0),则 tan(2π-α)的值为_____. 5 4 2 1 2 解析 sin(π-α)=sin α=log84=-3, π 5 2 又 α∈(-2,0),得 cos α= 1-sin α= 3 ,
sin α 2 5 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-cos α= 5 .

1

2

3

4

5

解析答案

4.已知
解析

?π ? 2 ? ? cos?6-α?=3,则 ? ?

2 ? ? 2π? - ? sin?α- 3 ?=_____. 3 ? ?

?π ? ? 2π? π ? ? ? ? ∵?6-α?+?α- 3 ?=- , 2 ? ? ? ?

? 2π π ? ?π ? ∴α- 3 =-2-?6-α?, ? ?
? ?? ? 2π? π ? ?π ? ? ? ? ∴sin?α- 3 ?=sin?-2-?6-α? ?? ? ?? ? ? ?
?π ?π ?? ?π ? 2 ? ?? ? ? ? =-sin?2+?6-α??=-cos?6-α?=- . 3 ? ?? ? ? ?

1

2

3

4

5

解析答案

? π ?2cos x,x≤2 000, 3 5.已知函数 f(x)=? ? ?x-16,x>2 000,

1 则 f(f(2 016))=- ___.

解析

∵f(f(2 016))=f(2 016-16)=f(2 000),

2 000π 2 ∴f(2 000)=2cos =2cos π=-1. 3 3

1

2

3

4

5

解析答案

返回

题型分类 深度剖析

题型一

同角三角函数关系式的应用

4 5 例1 (1)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=___.
解析 由于 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ sin θcos θ sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ cos2θ+ cos2θ -2 = = 2 2 2 sin θ sin θ+cos θ 2 +1 cos θ 2 2 tan θ+tan θ-2 2 +2-2 4 = = 2 = . 2 5 tan θ+1 2 +1

解析答案

3 1 5π 3π 2 (2)已知 sin αcos α=8,且 4 <α< 2 ,则 cos α-sin α 的值为______.
解析 5π 3π ∵ <α< , 4 2

∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0.
1 3 又(cos α-sin α) =1-2sin αcos α=1-2× = , 8 4 3 ∴cos α-sin α= 2 .
2

思维升华

解析答案

跟踪训练1
-1 已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=____.

解析

? ?sin α-cos α= 2, 2 由? 2 消去 sin α 得: 2cos α+2 2cos α+1=0, 2 ? ?sin α+cos α=1,
2

2 即( 2cos α+1) =0,∴cos α=- 2 . 3π 又 α∈(0,π),∴α= , 4 3π ∴tan α=tan =-1. 4

解析答案

题型二

诱导公式的应用
? ? π 1 ? ? sin?α+12?= ,则 3 ? ?

例 2 (1)已知
解析

1 ? ? 7π - ? ? 3 cos?α+12?的值为_____. ? ?

?? ? π? 7π? π? ? ? ? ?? ? α + α + + cos? ? ?=cos?? ? 12 12 2 ? ? ? ? ? ?

? π? 1 ? ? =-sin?α+12?=-3. ? ?

解析答案

sin?kπ+α? cos?kπ+α? ,-2} (2)已知 A= sin α + cos α (k∈Z),则 A 的值构成的集合是{2 ________.
sin α cos α 解析 ∵当 k 为偶数时,A=sin α+cos α=2; -sin α cos α 当 k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α
∴A的值构成的集合是{2,-2}.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
(1)已知
解析
?π ? 1 ? ? sin?3-α?=2,则 ? ? ?π ? ? 2 cos?6+α? ?=_____. ? ?

1

?π ? ?π ? π ? ? ? ? ∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ?

?π ?π ?? ?π ? ? ?? ? ? - α + α - ∴cos? = cos ? ?? ? ? ? ?3 ?? ?6 ? ?2

?π ? 1 ? ? =sin?3-α?=2. ? ?

解析答案

1 (2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=___. 解析 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
= - sin(3×360° + 120°)cos(3×360° + 210°) - cos(2×360° +

300°)sin(2×360°+330°)=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)×sin(360°-

30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°
3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2=1.

解析答案

题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

π 例 3 (1)已知 α 为锐角,且有 2tan(π-α)-3cos( +β)+5=0, 2 3 10 tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则 sin α=________. 10 π 解析 2tan(π-α)-3cos(2+β)+5=0 化简为-2tan α+3sin β+5=0, ①
tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0化简为tan α-6sin β-1=0.② 由①②消去sin β,解得tan α=3. 又α为锐角,根据sin2α+cos2α=1,

3 10 解得 sin α= 10 .
解析答案

(2) 已知 sin α 是方程 5x - 7x - 6 = 0 的根, α 是第三象限角,则
2

3 3 sin?-α-2π?cos?2π-α? 2 · tan (π - α ) = ______. π π cos? -α?sin? +α? 2 2

思维升华

解析答案

跟踪训练3
(1) 已 知 sin(3π + α) = lg 1 3 10 cos?π+α? , 则 + cos α[cos?π-α?-1]

cos?α-2π? 18 =_____. cos αcos?π-α?+cos?α-2π?

解析

由于 sin(3π+α)=-sin α,lg

1 3 10

1 1 =- ,得 sin α= . 3 3

-cos α cos α 所以原式= + cos α?-cos α-1? -cos2α+cos α
1 1 2 = + =sin2α=18. 1+cos α 1-cos α
解析答案

? π 2? ? < α < π (2)已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 3 ? ? ?,则 sin α-cos α=_____. 2 ? ?

解析答案

返回

思想与方法系列

思想与方法系列

7.分类讨论思想在三角函数中的应用
?5π ? ? sin? 2 +α? ? ? ? tan(α+π)+ ? ?=____. 5π ? - α cos? ? ? ?2 ?

典例

2 5 (1)已知 sin α= ,则 5

(2)在△ABC 中, 若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B), 则 C=________.

思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根
据角的范围对开方结果进行讨论.

温馨提醒

思维点拨

解析答案

返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧

同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用 平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断 符号后,正确取舍. 2.三角函数求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:

方法与技巧

sin x (1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和 cos x 积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1=sin θ+cos θ=cos θ(1+tan
2 2 2 2 ? 1 ? 2 ? θ)=sin θ?1+tan2θ? ? ? ?

π =tan4=?;(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤.

失误与防范

1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为
锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.

特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.

返回

练出高分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

5 1.(2015· 福建)若 sin α=- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等 13 5 -12 于 .

解析

5 ∵sin α=-13,且 α 为第四象限角,

12 ∴cos α=13,
sin α 5 ∴tan α=cos α=-12.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

2sin2x+sin 2x 1? π? ?π 2.已知 = ?4<x<2? ?,则 sin x-cos x=_____. 2? ? 1+tan x

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

cos α 2sin α -3 3.若角 α 的终边落在第三象限, 则 2 + 2 的值为____. 1-sin α 1-cos α
解析 由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,
cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式=|cos α|+ |sin α| = + =-1-2=-3. -cos α -sin α

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

3 π -2 4.已知 2tan α· sin α=3,- <α<0,则 sin α=______. 2
解析 2sin2α 由 2tan α· sin α=3,得 cos α =3,

即2cos2α+3cos α-2=0,

π 又-2<α<0, 1 3 解得 cos α=2(cos α=-2 舍去),故 sin α=- 2 .

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

5.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 017) 3 的值为- ____. 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β) =asin α+bcos β=3, ∴f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asin α-bcos β =-3.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

7 π 3 π - 4 6.已知 α 为钝角,sin( +α)= ,则 sin( -α)=_____. 4 4 4
解析 π 7 因为 α 为钝角,所以 cos( +α)=- , 4 4

π π π π 7 所以 sin(4-α)=cos[2-(4-α)]=cos(4+α)=- 4 .

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

sin2?α+π?· cos?π+α?· cos?-α-2π? 1 7.化简: = ____. 3 π tan?π+α?· sin ?2+α?· sin?-α-2π?
解析 sin2α· ?-cos α?· cos α sin2αcos2α 原式= =sin2αcos2α=1. 3 tan α· cos α· ?-sin α?

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

8.已知

?π ? ? ? cos?6-θ?=a,则 ? ?

?5π ? ?2π ? ? ? ? ? 0 cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?的值是___. ? ? ? ?

解析

?5π ? ? ?π ?? ?π ? ? ? ? ? ?? ? ? ∵cos? 6 +θ?=cos?π-?6-θ??=-cos?6-θ?=-a. ? ? ? ? ?? ? ?

?π ?π ?? ?2π ? ?π ? ? ?? ? ? ? ? sin? 3 -θ?=sin?2+?6-θ??=cos?6-θ? ?=a, ? ?? ? ? ? ? ?

?5π ? ?2π ? ? ? ? ? ∴cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=0. ? ? ? ?

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

1 0 9.已知 α 为第二象限角,则 cos α 1+tan α+sin α· 1+tan2α=___.
2

解析

原式=cos α

sin2α 1+cos2α+sin α
1 sin2α

cos2α 1+ sin2α

=cos α

1 cos2 α+sin α

1 1 =cos α +sin α =0. sin α -cos α

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

10.已知

?3π ? ? sin(3π+α)=2sin? 2 +α? ?,求下列各式的值: ? ?

sin α-4cos α (1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+sin 2α.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

π π 3 11.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<2,则 θ=__. 解析 ∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),

∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3.
π ∵|θ|<2, π ∴θ=3.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

12.若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cos B-sin A,sin B-cos A) 在第____ 二 象限.
解析 π ∵△ABC 是锐角三角形,则 A+B>2,

π π ∴A>2-B>0,B>2-A>0, ?π ? ?π ? ? ? ? ? - B - A ∴sin A>sin?2 ?=cos B,sin B>sin? ?=cos A, 2 ? ? ? ?

∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0,

∴点P在第二象限.
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

13.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x. 当 0≤x<π 时,f(x)=0, 1 ?23π? ? 2 则 f? ? ?=_____. ? 6 ? ?23π? ?17 ? 17 ? ? ? ? 解析 由已知,得 f? 6 ?=f? 6 π?+sin 6 π ? ? ? ?
?11 ? ? ? =f? 6 π?+sin ? ?

11 17 6 π+sin 6 π

?5 ? ? π =f? ? ?+sin 6 ? ?

5 11 17 6π+sin 6 π+sin 6 π 1? 1 ? 1 1 ? ? =0+2+?-2?+2=2. ? ?
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

14.已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直 3π sin? +θ?+cos?π-θ? 2 2 线 2x-y=0 上,则 =____. π sin? -θ?-sin?π-θ? 2

解析

由题意可得tan θ=2,

-cos θ-cos θ -2 原式= = =2. cos θ-sin θ 1-tan θ

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 15.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式;

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007



π 503π 由(1)得 f( )+f( ) 2 014 1 007
2

π 21 006π =sin 2 014+sin 2 014
π π 2 π =sin +sin ( - ) 2 014 2 2 014
2

π 2 π =sin 2 014+cos 2 014=1.
2

解析答案

返回


相关文章:
...第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及...
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式试题理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.2 同角三角函数...
...第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及...
2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.2 同角三角函数基本...
...第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及...
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书文新人教版_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 第四...
...第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及...
(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数解三角 形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin ...
...第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书文_数学_高中教育_教育专区。4.2 同角三角函数基本关系及诱导...
...第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.2 ...
...章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与...
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式试题理_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 第四章 三角...
2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2同...
2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系与诱导公式真题演练集训理_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学一轮复习 第四章 ...
全国版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3...
全国版2017版高考数学一轮复习第章三角函数解三角形3.2同角三角函数基本关系及诱导公式课时提升作业理_数学_高中教育_教育专区。同角三角函数基本关系及诱导...
2017届高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第二...
2017高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系与诱导公式课时跟踪检测文_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(十八) 同角三角...
更多相关标签: