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黑龙江省绥化市重点中学2015届高三下学期期初开学联考试题


2015 届高三年级第二学期期初开学联考 数 学 试 卷 (文史类)
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内作答,超出答题

区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题
符合题目要求的. 1.若集合 A ? { y | y ? x , 0 ? x ? 1} , B ? { y | y ? 2 ? (A) ? ??,1? (B) ? 0,1? (C) ? (D) {1}
1 2

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是

1 , 0 ? x ? 1} ,则 A B 等于( x

)

2.己知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正 视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中 标出的尺寸,可得这个几 何体的体积是( ) (A) 2? (B) ?

4 3

(C) ?

5 3

(D) 3?

3.在 ?ABC 中,角 A,B,C 对应边分别是 a,b,c,

a ? 5 , b ? 8 , C ? 60? ,则 BC ? CA? | AB ? AC |
等于( (A) ?15 ) (B) 25 (C) 20 3 ? 5 (D) ?20 3 ? 5 )

4.若关于 x 的方程 log 1 x ?
2

m 在区间(0,1)上有解,则实数 m 的取值范围是( 1? m
(C) (??,1)

(A)

(0,1)

(B) (1, 2)

(2, ??)


(D) (??, 0) )

(1, ??)

5. i 是虚数单位,复数 Z ?

1 ? 2i ,则 Z ? 2?i
·1 ·

(A)

5

(B) 2 ( C)
2

5 5

(D) 1

6.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线方程为( (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3 x ? y ? 3 ? 0 (C) )

) (D) x ? y ? 1 ? 0

x ? y ?1 ? 0

7.扇形周长为 10,则扇形面积的最大值是( (A)

5 2

(B)

25 4

(C)

25 2

(D)

10 2


8. 已知 {a n } 是等差数列, a 4 ? 15, S 5 ? 55 ,则过点 P (3, a3 ), Q (4, a 4 ) 的直线斜率是( (A) ? 4 (B)

1 4

(C)

4

(D) ? 14 )

9.下列关于函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? (A) 函数 f ( x) 在区间 (?

?
3

) ? 1 的命题正确的是(

, ) 上单调递增 6 3 k? 5 (B) 函数 f ( x) 的对称轴方程是 x ? ? ? (k ?Z ) 2 12
(C) 函数 f ( x) 的对称中心是( k? ?

? ?

?

6

(k ?Z ) ,0)

(D) 函数 f ( x) 以由函数 g ( x) ? 2 cos 2 x ? 1 向右平移

?
6

个单位得到

10.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是

? ?0.7 x ? a ,则 a 等于( )
(A)5.1 (B)5.2 (C)5.25 (D)5.4

11 . 己 知 点 P 在 直 线 x ? y ? 1 ? 0 上 , 点 Q 在 直 线 x ? y ? 3 ? 0 上 , PQ 中 点 M ( x0 , y0 ) 且

x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,则

y0 的范围是( x0

)

·2 ·

1 (?3, ) 5 1 (C) (?1, ? ) 3
(A)

(B) (??, ?3)

1 ( , ??) 5 1 (D) (??, ?1) (? , ??) 3

x2 y2 12. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .P 为双曲线右支 a b
上任意一点, (A) (1,??)

PF1 PF2

2

的最小值为 8 a ,则双曲线的离心率的取值范围是(



(B) (1,2

?

(C)

(1, 3

?

(D) (1, 3?

第Ⅱ卷(非选择题
22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答.

共 90 分)

本试卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在机读卡上相应的位置. 13.椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,右焦点 F (c, 0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个 2 a b 2
2 2

根分别为 x1 , x2 ,则点 P ( x1 , x2 ) 与圆 x ? y ? 2 的位置关系是 14..执行如图所示的程序框图,其输出结果是 15.从 1,2,3,4,5 中不放回依次取两个数。已知第一次取出的是奇数, 则“第二次取到的也是奇数”的概率为 16.设 a,b,c 是三条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,给出下 列命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? ; ②若 a,b 异面, a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / /? ,则 ? / / ? ; ③若 ?

? ? a,?

? ? b ,?

? ? c ,且 a / / b ,则 c / / ? ;

④若 a,b 为异面直线, a / /? , b / /? , c ? a , c ? b ,则 c ? ? . 其中正确的命题是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明
·3 ·

过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, B ? (1)求 sin A ; (2)记 BC 的中点为 D,求中线 AD 的长.

?
4

, AC ? 2 5 , cos C ?

2 5 5

18.(本小题满分 12 分) 某幼儿园为训练孩子数字运算能力,在一个盒子里装有标号为 1,2,3,的卡片各 2 张,让孩子从 盒子里任取 2 张卡片,按卡片上最大数字的 10 倍计分,每张卡片被取出的可能性相同。
( I )求取出的 2 张卡片上的数字互不相同的概率;

(II)若孩子取出的卡片的计分不小于 20 分就得到奖励,求孩子得到奖励的概率.

19.(本小题满分 12 分) 己知三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D , ? BCA ? 90? ,

AC ? BC ? 2 ,又知 BA1 ? AC1
(1)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (2)求点 C 到平面 A1 AB 的距离; 20.(本小题满分 12 分)
·4 ·

椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)与x轴, y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,原点 O 到直线 AB 的距离 a 2 b2



2 5 3 ,该椭圆的离心率为 . 5 2

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点 P (0, ) 的直线 l 与椭圆交于 M,N 两个不同点,且对 l 外任意一点 Q,有

5 3

QM ? 4QN ? 3QP 成立?若存在,求出 l 的方程;若不存在, 说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) . (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)设 F ( x) ? ax ? f ?( x) (a ? R ) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;
2

22,23,24 为选修题目,三题选择一个作答,如果三题都答,则按第一题评分。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 CA、BD 的延长线相交 于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F.
·5 ·

求证:(1) ? DEA ?? DFA ; (2) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC .

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ? x ? ?1 ? sin ? ? 2 ( t 为参数) 已知直线 l 的参数方程为 ? ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? , 2 1 ? sin ? 2 ?y ? t ? 2 ?
以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (1, 2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2) 线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值.

24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若不等式 || a ? b | ? | a ? b ||?| a | f ( x) ( a ? 0 , a ? R , b ? R )恒成立,求实数 x 的范围.

·6 ·

高三数学(文史类)参考答案
1-12BCAADD BCBCCAD 13、点在圆内 14、 ? 17.解: (1)由 cos C ? 分

5 4

15、

1 2

16、② ③ ④ ……2

2 5 2 5 2 5 ,C 是三解形内角,得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) ? 5 5 5

sin A ? sin[? ? ( B ? C )] ? sin( B ? C ) ? sin

?
4

cos C ? cos

?
4

sin C

……2 分

?

2 2 2 5 3 10 ? 5? ? ? 2 5 2 5 10

……2 分

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理

BC AC AC 2 5 3 10 ? , BC ? sin A ? ? ?6 sin A sin B sin B 10 2 2
……2 分

……2 分

? CD ?

2 5 1 , BC ? 3 ,又在 ?ADC 中, AC ? 2 5 , cos C ? 5 2

由余弦定理得, AD ?

AC 2 ? CD 2 ? 2 AC ? CD ? cos C
2 5 ? 5 5
……2 分

? 20 ? 9 ? 2 ? 2 5 ? 3 ?

18. 解: (Ⅰ)设这六张卡片分别为 A1、B1、A2、B2、A3、B3,孩子从盒子里任取 2 张卡片的全部 基本事件为 A1B1、A1A2、A1B2、A1A3、A1B3、B1A2、B1B2、B1A3、B1B3、A2B2、A2A3、A2B3、B2A3、 B2B3 、A3B3 共 15 个,取出的 2 张卡片上的数字相同的基本事件为 A1B1,A2B2,A3B3 共有 3 个, ,…………………(3 分)

所以取出的 2 张卡片上的数字相同的概率为 为1 ?

3 1 ? ,因此取出的 2 张卡片上的数字互不相同的概率 15 5
,…………………(6 分)

1 4 ? 5 5

(Ⅱ)若孩子取出的卡片的计分不小于 20 分,卡片上最大数字为 2 或 3, 卡片上最大数字为 1 的基本事件为 A1B1 就一个,
·7 ·

所以孩子不能得到奖励的概率为

1 1 14 ,因此孩子得到奖励的概率为 1 ? ,……(12 分) ? 15 15 15

19.解(1) ?BCA ? 90? 得 BC ? AC ,因为 A1 D ? 底 ABC ,所以 A1 D ? BC ,

……2 分
A1 C1 B1

A1 D ? AC ? D ,所以 BC ? 面 A1 AC ,所以 BC ? AC1
因为 BA1 ? AC1 , BA1 ? BC ? B ,所以 AC1 ? 底 A1 BC

……3 分 ……1 分 F
A D C B

(2 ) (解法一)由(1)得 AC1 ? A1C ,所以 A1 ACC1 是菱形,……2 分 所以 AC ? AA1 ? A1C ? 2 , AB ? A1 B ? 2 2 ,……2 分 由 VC ? AA1B ? V A1 ? ABC ,得 h ?

E

2 21 7

……2 分

(解法二)作 DE ? AB 于点 E ,连 A1 E 作 DF ? A1 E ,因为 A1 D ? 平面 ABC ,所以 A1 D ? AB ,

DE ? AB , DE ? A1 D ? D ,所以 AB ? 平面 A1 DE ,

……2 分

又 DF ? 面 A1 DE ,所以 AB ? DF , A1 E ? AB ? E ,所以 DF ? 平面 A1 AB ,……2 分

Rt?A1 DE 中, DF ?

A1 D ? DE 21 , ? A1 E 7
2 21 7
……2 分

因为 D 是 AC 中点,所以 C 到面 A1 AB 距离

20. (1)由题得,直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0, (a ? b ? 0) …………………1 分



| ab | a2 ? b2

?

2 5 a2 ? b2 3 ? 及 ,得 a ? 2, b ? 1 …………………3 分 5 a 2
x2 ? y 2 ? 1 …………………4 分 4
①…………………6 分

所以椭圆的方程为

(2)? QM ? 4QN ? 3QP,? PM ? 4 PN

当直线 l 的斜率不存在时, M (0,?1), N (0,1) ,易知符合条件,此时直线方程为 x ? 0 …8 分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ?

x2 5 ? y2 ? 1得 ,代入 4 3

·8 ·

(9 ? 36k 2 ) x 2 ? 120kx ? 64 ? 0
由 ? ? 14400k ? 256(9 ? 36k ) ? 0 ,解得 k 2 ?
2 2

4 9

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ?

120k 9 ? 36k 2

② ③…………………10 分 ④

x1 x 2 ?

64 9 ? 36k 2

由①得 x1 ? 4 x 2 由②③④消去 x1 x 2 ,得

16 (24k ) 2 ,即 9 ? 0 ,矛盾, ? 9 ? 36k 2 (9 ? 36k 2 ) 2
综上,存在符合条件的直线 l : x ? 0 …………………12 分

21.(1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 f'(x)>0, ∴当 时,
2

. 时,

时,f'(x)<0;当

.----------------- 5 分 .

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

; .

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递

减.------------------------------------7 分
·9 ·

22.证明: (1)连结 AD ,因为 AB 为圆的直径,所以 ?ADB ? 90? , 又 EF ? AB , ?AFE ? 90? , ……1 分 则 A, D, E , F 四点共圆 ∴ ?DEA ? ?DFA ……2 分 ……1 分
F A C

……1 分
E D

O

B

(2)由(1)知, BD ? BE ? BA ? BF , ……1 分

AB AC 又 ?ABC ∽ , 即 AB ? AF ? AE ? AC ?AEF ∴ ? AE AF

……2 分 ……2 分

∴ BE ? BD ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB ? ( BF ? AF ) ? AB 2 23.解(1)直线 l 的极坐标方程 2 ? cos(? ? 曲线 C 普通方程 y ? x 2 ……2 分

?
4

) ?1,

……3 分

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 代入 (2)将 ? y ? x 2 得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,……3 分 2 ? y? t ? 2 ?
| MA | ? | MB |?| t1t 2 |? 2
……2 分

?2 x ? 3 ( x ? 2) ? 24.解:(1) f ( x) ? ?1 (1 ? x ? 2) ,……3 分 ?3 ? 2 x ( x ? 1) ?
(2) 由 a ? b ? a ? b ? 2 a ,……2 分 得 2 | a |? a f ( x) ,由 a ? 0 ,得 2 ? f ( x) ,……1 分 解得 x ?

所以解集 [0,3]

……2 分

1 5 或x? 2 2

……2 分 欢迎访问“高中试卷网

·10·


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