当前位置:首页 >> 数学 >>

专题二 立体几何


专题二 立体几何 一、2008-2015 年高考新课标全国卷 1(立体几何)考点分布统计表
2008 选择题 题号 11
考点:三 视图(求 最值)

2009 题号 7
考点:线 线角

2010 题号 7
考点:正 方体中求 线面所成 角的余弦 值

2011 题号 6

/>考点:三 视图

2012 题号 7
考点:三 视图

2013 题号 6
考点:球 的组合体 ( 正 方 体)

2014 题号 12
考点:三 视图

2015 题号 11
考点:三 视图(半 球半圆柱 组合体)

题号 10
考点:已 知二面角 求两点间 的最短距 离

题号 11
考点:球 内接三棱 锥

题号 8
考点:三 视图

题号 6
考点:圆 锥体积

题号 12
考点:求 四面体体 积

填空题

题号 16
考点:线 线角

题号 15
考点:已 知直三棱 柱求球的 表面积

题号 15
考点:球 内接四棱 锥

解答题

题号 18
考点:正 方体求线 线角、线 面角

题号 18
考点:底 面是矩形 的四棱锥 证点是侧 棱中点、 二面角

题号 19
考点:四 棱锥求二 面角

题号 18
考点:底 面为平行 四边形的 四棱锥证 线 线 垂 直、二面 角

题号 19
考点:直 三棱柱证 线 线 垂 直、二面 角

题号 18
考点:侧 放的三棱 柱证线线 垂直、线 面角

题号 19
考点:侧 放的三棱 柱证线线 相等、二 面角

题号 18
考点:面 面垂直、 线线角

大小题 个数

2小1大

3小1大

2小1大

2小1大

2小1大

2小1大

1小1大

2小1大

二、近八年全国卷 1 考题整理————立体几何
1.(2008 年第 11 题)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

答案:C. 解析:由题意知三棱锥 A 1 ? ABC 为正四面体,设棱长为 a ,则 AB 1 ? 3 a ,棱柱的高

2 3 2 6 AO ? a 2 ? AO2 ? a 2 ? ( ? a) ? a(即点 B1 到底面 ABC 的距离),故 AB1 与 1 3 2 3
底面 ABC 所成角的正弦值为

A1O 2 . ? AB1 3

另解:设 AB, AC, AA1 为空间向量的一组基底, AB, AC, AA1 的两两间的夹角为 60 长度均为 a ,平面 ABC 的法向量为 OA1 ? AA1 ?

uu u r uuu r uuu r

uu u r uuu r uuu r

0

uuu r

uuu r

r 1 uuu r uuu r uu u r uuu r 1 uuu AB ? AC , AB1 ? AB ? AA1 3 3

uuu r uuu r 2 uuu r r 6 uuu OA1 ? AB1 ? a 2 , OA1 ? , AB1 ? 3 3 3
uuuu r uuu r OA1 ? AB1 2 则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 uuu . r uuu r ? 3 A1O AB1
2.(2008 年第 16 题) 等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB , 二面角 C ? AB ? D 的余弦值为 于 答案:

3 , M ,N 分 别 是 AC,BC 的 中 点 , 则 EM ,AN 所 成 角 的 余 弦 值 等 3


1 6

C

解析:.设 AB ? 2 ,作 CO ? 面ABDE,

M
N

OH ? AB ,则 CH ? AB , ?CHO 为二面角 C ? AB ? D 的平面角

A o H

E D

CH ? 3, OH ? CH ? cos ?CHO ? 1 ,结合等边三角形 ABC

B

与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则 AN ? EM ? CH ? 3

16 题图(1)

uuu r 1 uuu r uu u r uuur 1 uuu r uuu r uuu r uuur 1 uu u r r uuu r 1 1 uuu AN ? ( AC ? AB), EM ? AC ? AE , AN ? EM ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AE ) ? 2 2 2 2 2 uuu r uuur AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 uuu r uuur ? z AN EM 6 C
另解:以 O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点 A(?1, ?1,0), B(1, ?1,0), E(?1,1,0), C(0,0, 2) ,

M
N

A o H

E
y

1 1 2 1 1 2 M (? , ? , ), N ( , ? , ), 2 2 2 2 2 2

B
x

D
16 题图(2)

r uuur 1 uuu r uuur 3 1 2 uuur 1 3 2 uuu ), EM ? ( , ? , ), AN ? EM ? , AN ? EM ? 3 , 2 2 2 2 2 2 2 uuu r uuur AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 uuu r uuur ? . AN EM 6
则 AN ? ( , , 3.(2008 年第 18 题)(本小题满分 12 分)

uuu r

BC ? 2 , 四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE , CD ? 2 , AB ? AC .
A

B (Ⅰ)证明: AD ? CE ;
?

E D

C

(Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小. 解析:(1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , Q AB ? AC ,? AF ? BC , 又面 ABC ? 面 BCDE ,? AF ? 面 BCDE , ? AF ? CE .

A

B F
C

G

E D

tan ?CED ? tan ?FDC ?

2 , 2

O
18 题图

? ?OED ? ?ODE ? 90? ,??DOE ? 90? ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF ,? CE ? AD . (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . Q CG ? AD , CE ? AD ,? AD ? 面 CEG ,? EG ? AD , 则 ?CGE 即为所求二面角的平面角.

CG ?

6 AC gCD 2 3 30 2 2 ? , DG ? , EG ? DE ? DG ? , 3 AD 3 3

CE ? 6 ,则 cos ?CGE ?

CG 2 ? GE 2 ? CE 2 10 ?? , 2CGgGE 10

? 10 ? ? 10 ? ??CGE ? π ? arccos ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ? ? 10 ? ?. ? 10 ? ? ? ? ?
4.(2009 年第 7 题)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上 的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )
天星教育网 tesoo n

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

天星教育网 tesoon

答案:D 解析:设 BC 的中点为 D,连结

A1 D,AD,易知 ? ? ?A1 AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成
AD AD 3 ? ? A1 A AB 4 .故选 D

cos ? ? cos ?A1 AD ? cos ?DAB ?
的角,由三角余弦定理,易知 5.(2009 年第 10 题)已知二面角 α-l-β 为 60
o

,动点 P、Q 分别在面 α、β 内,P 到 β 的距离 )

为 3 ,Q 到 α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为( (A) 2 答案:C 解析:如图分别作 QA ? ?于A, AC ? l于C, PB ? ? 于B, (B)2 (C) 2 3 (D)4

PD ? l于D ,连 CQ, BD则?ACQ ? ?PBD ? 60?,

AQ ? 2 3, BP ? 3 ,? AC ? PD ? 2


? PQ ?

AQ 2 ? AP 2 ? 12 ? AP 2 ? 2 3

当且仅当 AP ? 0 ,即 点A与点P 重合时取最小值。故答案选 C。 6.(2009 年 第 15 题 ) 直 三 棱 柱 A B C ?
1

的各顶点都在同一球面上,若 A 1B 1 C 。

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于
答案: 20?

解析:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R ? 5 , 故此球的表面积为 4? R ? 20? .
2

7.(2009 年第 18 题)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2

DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60° (I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

解析:(I)作 MN ∥ SD 交 CD 于 N,作 NE ? AB 交 AB 于 E, 连 ME、NB,则 MN ? 面 ABCD , ME ? AB , NE ? AD ? 设 MN ? x ,则 NC ? EB ? x , 在 RT ?MEB 中,? ?MBE ? 60? ? ME ? 3x 。 在 RT ?MNE 中由 ME ? NE ? MN ? 3x ? x ? 2
2 2 2 2 2

2

解得 x ? 1 ,从而

MN ?

1 SD 2 ? M 为侧棱 SC 的中点 M.

(II)利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作 二面角。 过 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J ,作 SH ? AJ 交 AJ 于 H , 作 HK ? AM 交 AM 于 K ,则 JM ∥ CD , JM ? 面 SAD ,面

SAD ? 面 MBA , SH ? 面 AMB ? ?SKH 即为所求二面角
的补角. 8.(2010 年第 7 题)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为( )

A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

答案:D 解析: BB1 与平面 ACD1 所成角等于 DD1 与平面 ACD1 所成角,在三棱锥 D ? ACD1 中,由 三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ACD 1 内的射影为等边 ?ACD1 的垂心即中心 H ,则

6 a 6 3 ? . ?DD1 H 为 DD1 与平面 ACD1 所成角,设正方体棱长为 a,则 cos ?DD1 H ? a 3
9.(2010 年第 12 题)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为( )

(A) 答案:B

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

解析:过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 3 2 3

Vmax ?

4 3 . 3

10.(2010 年第 19 题)(本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 . 解法一:(Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G,连接 BG, 由此知 DG ? GC ? BG ? 1, 即 ?ABC 为直角三 角形,故 BC ? BD . 又 SD ? 平面ABCD,故BC ? SD , 所以, BC ? 平面BDS ,BC ? DE . 作 BK ? EC, K为垂足,因平面EDC ? 平面SBC , 故 BK ? 平面EDC,BK ? DE, DE 与平面 SBC 内的两条相交 直线 BK、BC 都垂直 DE⊥平面 SBC,DE⊥EC,DE⊥SB

SB ? SD2 ? DB2 ? 6
DE ? SDgDB 2 ? SB 3

EB ? DB 2 - DE 2 ?
所以,SE=2EB (Ⅱ) 由 SA ?

6 2 6 , SE ? SB - EB ? 3 3

SD 2 ? AD 2 ? 5, AB ? 1, SE ? 2 EB, AB ? SA, 知

?1 ? ?2 ? AE ? ? SA ? ? ? AB ? ? 1, 又AD=1 . ?3 ? ?3 ?
故 ?ADE 为等腰三角形. 取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF ? DE , AF ? 连接 FG ,则 FG / / EC, FG ? DE . 所 以, ?AFG 是二面角 A ? DE ? C 的平面角. 连接 AG,A G= 2 , FG ?

2

2

AD 2 ? DF 2 ?

6 . 3

DG 2 ? DF 2 ?

6 , 3

cos ?AFG ?

AF 2 ? FG 2 ? AG 2 1 ?? , 2?AF ?FG 2

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120° . 解法二: 以 D 为坐标原点, 射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz , 设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (Ⅰ) SC ? (0, 2,-2), BC ? (-1,1,0) 设平面 SBC 的法向量为 n =(a,b,c) 由 n ? SC, n ? BC ,得 ngSC ? 0, n gBC ? 0 故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1,则 b=c,c=1, n =(1,1,1) 又设 SE ? ? EB

uu r

uuu r

r

r

uur r

uuu r

r uur

r r uuu

r

uu r

uur

(? ? 0) ,则

? ? 2 E( , , ) 1? ? 1? ? 1? ? uuu r r ? ? 2 uuu DE ? ( , , ), DC ? (0, 2, 0) 1? ? 1? ? 1? ? r 设平面 CDE 的法向量 m =(x,y,z)
由 m ? DE, m ? DC ,得 m ? DE ? 0 , m ? DC ? 0 故

r

r

r

r

uuu r

?x ?y 2z ? ? ? 0, 2 y ? 0 . 1? ? 1? ? 1? ?
r

令 x ? 2 ,则 m ? (2,0, ?? ) .

由平面 DEC⊥平面 SBC 得 m ⊥ n , mgn ? 0, 2 ? ? ? 0, ? ? 2 故 SE=2EB (Ⅱ)由(Ⅰ)知 E ( ,

r

r

r r

2 2 2 1 1 1 uur 2 1 1 , ) ,取 DE 的中点 F,则 F ( , , ), FA ? ( , ? , ? ) , 3 3 3 3 3 3 3 3 3

故 FAgDE ? 0 ,由此得 FA ? DE

uu r uuu r

uuu r uuu r 2 4 2 , , ? ) ,故 ECgDE ? 0 ,由此得 EC ? DE , 3 3 3 uur uuu r 向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角 uur uuu r uur uuu r FAgEC 1 cos ? FA, EC ?? uur uuu r ?? 于是 2 | FA || EC |
又 EC ? (?

uuu r

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120

?

11.(2011 年第 6 题)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视 图可以为( )

答案:D 12.(2011 年第 15 题)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且

AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为
答案: 8 3 13.(2011 年第 18 题)(本小题满分 12 分)



如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD;

(Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解:(Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间 直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 即

?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
2 7 . 7

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

14.(2012 年第 7 题) 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D ) ??

答案:B 解析:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3

1 1 ? ? 6 ? 3? 3 ? 9 3 2 15.(2012 年第 11 题)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长 为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )
此几何体的体积为 V ?

( A)
答案:A

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

(D)

2 2

解析: ?ABC 的外接圆的半径 r ?

3 6 2 2 ,点 O 到面 ABC 的距离 d ? R ? r ? 3 3

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ?

2 6 3

此棱锥的体积为 V ?

1 1 3 2 6 2 S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

另: V ?

1 3 S?ABC ? 2 R ? 排除 B, C , D 3 6
1 AA1 , D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD 2

16.(2012 年第 19 题)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 【解析】(1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90

?

?

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1 ? B1 C1? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A B 1B 1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD 1 1 A

B得:点 D H 与点 D 重合

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

17.(2013 年第 6 题)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一 个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容 器的厚度,则球的体积为( ).

500 π 3 cm 3 1372 π 3 cm C. 3
A.

866 π 3 cm 3 2048 π 3 cm D. 3
B.

答案:A 解析:设球半径为 R,由题可知 R,R-2,正方体棱长 一半可构成直角三角形,即△ OBA 为直角三角形,如图. BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由 R2=(R-2)2+42,得 R=5, 所以球的体积为

4 3 500 π5 ? π (cm3),故选 A. 3 3

18.(2013 年第 8 题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( ). A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案:A 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图 中数据可知圆柱底面半径 r=2,长为 4,在长方体中,长为 4, 宽为 2,高为 2,所以几何体的体积为 πr2× 4× +4× 2× 2=8π+16.故选 A. 19.(2013 年第 18 题)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B, AB=CB, 求直线 A1C 与平 面 BB1C1C 所成角的正弦值. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° ,

1 2

故△ AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点,OA 的方向为 x 轴的正方向, | OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA =(-1, 3 ,0), AC =(0, ? 3 , 3 ). 1 1 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

uur

uur

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r ? ? x ? 3z ? 0, ?n ? BC ? 0, ? 则 ? uuu 即? 可取 n=( 3 ,1,-1). r ? x ? 3 y ? 0. n ? BB ? 0, ? ? ? ? 1 uuu r uuu r 10 n ? A1C 故 cos〈n, AC . uuu r =? 1 〉= 5 n A1C
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

20.(2014 年第 12 题)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

答案:B 解析:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C 到 BD 的中点的距离为:4, ∴ 显然 AC 最长.长为 6. .AC= =6,AD=4 ,

21.(2014 年第 19 题)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C.

(Ⅰ)证明:AC=AB1; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值.

解:(1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ∴BC1⊥B1C,且 O 为 BC1 和 B1C 的中点, 又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面 ABO, ∵AO?平面 ABO,∴B1C⊥AO, 又 B10=CO,∴AC=AB1, (2)∵AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴AO=CO, 又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB, ∴OA,OB,OB1 两两垂直, 以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,

的方向为 y 轴的正方向,

的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

∵∠CBB1=60° ,∴△CBB1 为正三角形,又 AB=BC, ∴A(0,0, ∴ =(0, ),B(1,0,0,),B1(0, , ), = =(1,0, ,0),C(0, ), = ,0) =(﹣1, ,0),

设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量,



,可取 =(1,



),

同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =(1,﹣ ∴cos< , >= = ,



),

∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 22.(2015 年第 6 题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如

下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的 四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的

米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 斛的米约有

A.14 斛
答案:B

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

解析:设圆锥底面半径为 r ,则
2

1 16 ? 2 ? 3r ? 8, 得 r ? 。所以米堆的体积为 3 4

320 1 1 320 ? 16 ? ? 1.62 ? 22 ,故选 B. ,故堆放的米约为 ? ? 3? ? ? ? 5 ? 9 4 3 9 ?3?
23.(2015 年第 11 题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何

体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。 若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

答案:B 24.(2015 年第 18 题)(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120° ,E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值。

解:(Ⅰ)连接 BD ,设 BD ? AC ? G ,连接 EG , FG , EF .

在菱形 ABCD 中,不妨设 GB ? 1 , 由 ?ABC ? 120? ,可得 AG ? GC ? 3 . 由 BE ? 平面ABCD , AB ? BC ,可知 AE ? EC . 又 AE ? EC ,所以 EG ? 3 ,且 EG ? AC . 在 Rt?EBG 中,可得 BE ? 2 ,故 DF ?

2 . 2

在 Rt?FDG 中,可得 FG ?

6 . 2 2 3 2 ,可得 EF ? . 2 2
, 可得 EG ? 平面AFC .

在直角梯形 BDFE 中,由 BD ? 2 , BE ? 2 , DF ?

2 2 2 C ? F G G ? 从而 EG ? FG ? EF , 所以 EG ? FG , 又A

因为 EG ? 平面AEC ,所以 平面AEC ? 平面AFC .

uu u r uuu r uuu r (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB , GC 方向为 x 轴, y 轴正方向, GB 为单位
长 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 G ? xyz. 由 ( Ⅰ ) 可 得 A 0,? 3 , 0 , E 1,0, 2 ,

??6 分

?

?

?

?

uuu r ? ? 2? 2? F? ? 1,0, , C 0, 3,0 .所以 AE ? 1, 3, 2 , CF ? ? ?1, ? 3, ? ?. ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?

?

?

?

?

uuu r uuu r uuu r uuu r AE ? CF 3 故 cos AE, CF ? uuu , r uuu r ?? 3 AE CF

??10 分

?

?

所以直线 AE 与直线 CF 所成角余弦值为 ?

3 . ??12 分 3


相关文章:
专题二立体几何
专题二立体几何_数学_高中教育_教育专区。专题训练 编写:秦涛 审核:黄涛 时间:2014-11-28 编号:zt2 专题二 立体几何 1.一简单组合体的一个面 ABC 内接于圆 ...
专题二 立体几何
专题二 立体几何 一、2008-2015 年高考新课标全国卷 1(立体几何)考点分布统计表 2008 选择题 题号 11 考点:三 视图(求 最值) 2009 题号 7 考点:线 线角...
专题二 立体几何
专题二 立体几何_数学_高中教育_教育专区。高三专题复习——立体几何专题二 立体几何 1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若...
专题二立体几何
专题二立体几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。静宁一中2016二轮复习专题 静宁一中 2016 届高三数学第二轮复习资料立体几何专题 张多顺 王钦贤 高耀文 一、知识...
专题二:立体几何
专题二 立体几何初步测试题... 30页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
专题二立体几何
专题二 立体几何自我检测: 1、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是___cm2 2、长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5,且它...
专题二 立体几何专题(教师)
专题二 立体几何学科网【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以...
专题二 立体几何
专题二 立体几何初步测试... 30页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
立体几何专题(二)
立体几何专题(二)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何专题 1. 如图在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是...
更多相关标签:
高三立体几何专题 | 高考数学立体几何专题 | 高考立体几何专题 | 立体几何专题 | 高三数学立体几何专题 | 立体几何专题训练 | 高中立体几何专题 | 文科立体几何专题 |