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江西省南昌市进贤县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


进贤一中 2015——2016 学年度上学期期末考试 高二理科数学试题
(满分 150 分 一、 选择题(5 分 ? 12=60 分) 考试时间 120 分钟)

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 1、 直线 ? ( t 为参数)倾斜角为( ?y ? 1 - 3 t ? 2 ?
A、



?

6

B、
2

? 3


C、

2? 3

D、

5? 6

2、函数 f(x)=sin x 导数 f(x)=( ) A、 2sinx B、2cosx C、-sin2x D、sin2x 3、抛物线 y=4x 焦点坐标为( A、 (1,0) B、(0,1)
2

) C、(

1 , 0) 16

D、(0,

1 ) 16

4、命题“所有偶函数的图像关于 Y 轴对称”的否定为( ) A、所有偶函数的图像不关于 Y 轴对称 B、存在偶函数的图像关于 Y 轴对称 C、存在偶函数的图像不关于 Y 轴对称 D 不存在偶函数的图像不关于 Y 轴对称 5、一质点运动方程为 s=2-3t (s 单位:米,t 单位:秒) ,则此质点在 1.2 秒末的瞬时 速度为( ) A、-7.2 B、7.2 C、-2.3 2 D、2.32 6、在极坐标系中,直线 ? = ? 与 ? cos( ? - ? )=1 位置关系( A、平行 B、垂直
a b 2

) D、不能确定 )

C、相交但不垂直

7、已知 a〉0,b 〉 0 且 a+b=1,则 3 +3 整数部分为( A、2 B、3 C、4 D、5 8、直线 y=x+3 与曲线 A、0

y2 x x =1 的交点个数为( 9 4
C、2 D、3



B 、1

9、函数 f(x)=2x+cosx 在 x=

? 处的切线与坐标轴围成三角形面积为( 2
C、



?2 A、 8

?2 B、 24

1 4

D、

1 2

10、我们知道:正三角形的中心到三个顶点距离都相等,设为 d;到三条边距离也相等,设为 r,则

d =2; r d 类比到空间:正四面体也有中心,到四个顶点距离都相等且为 d;到四个面距离也相等且为 r,则 = r
1

( A、1

) B、2

C、3

D、4

11、 设 F1、 F2 分别为双曲线

x 2 y2 =1 (a〉 0, b〉 0) 的左右焦点, 若双曲线右支上存在点 P, 满足 PF2 = F1 F2 , a 2 b2


且 F2 到直线 PF1 距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线离心率为( A、

4 3

B、

5 3

C、

5 4

D、

1? 7 3


12、设 p:f (x)=lnx+ A、充分不必要

1 3 3 2 5 ?1 ? mx - x +4x+1 在 ? ,6? 内单调递增,q:m ? ,则 q 是 p 的 ( 3 2 9 ?6 ?
B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

二、填空题(5 分 ? 4=20 分) 13、观察下列等式:1 +2 =3 ,1 +2 + 3 =6 ,1 +2 +3 +4 =10 ??根据上述规律,第五个等式是
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2

14、函数 f(x)=

x ‘ ‘ + f(1) ,则 f(1)= 2x - 1

1 x 2 y2 2 2 15、椭圆 2 + 2 =1(a〉b〉0) ,过点(1, )作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 A、B,直线 AB 恰好经 2 b a
过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 16、在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中, AE = ︱EF︳+ ︳FC1︳最小,则最小值是 三、解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分) 2 2x 17、求函数 f(x)=x e 单调区间及极值

1 AB1 ,在面 ABCD 中取一点 F,使 2

18、曲线 C1 参数方程是

?x ? 2cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系, ? ?y ? 3sin?

曲线 C2 的极坐标方程是 ? =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 按逆时针次序排列,点 A 极坐标为(2,

? ) 3
2 2

(1)求点 A、B、C、D 的直角坐标 (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA + PC 的取值范围

2

19、如图,在直角梯形 ABCD 中,AD‖BC, ? ABC=90 ,E、F 分别在线段 AD、BC 上,且 EF ? BC,AD=4, CB=6,AE=2,现将梯形 ABCD 沿 EF 折叠,使 A 到达 M 位置,B 到达 N 位置,且平 面 MNFE ? 平面 EFCD (1) 判断直线 MD 与 NC 是否共面,用反证法证明你的结论 0 (2) 若 MC 与平面 EFCD 所成角记为 ? ,那么 tan ? 为多少时,二面角 M—DC—E 的大小是 60
0

A E D C

B F D

M 11 1 E 1
A1

N
1

F

11 C

x 2 y2 20、双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同焦点,直线 y= 3 x 为 C 的一条渐近线 4 8
(1)求双曲线方程 (2) 过点 P (0,4) 的直线 L 交双曲线 C 于 A,B 两点, 交 x 轴于 Q 点 (Q 点与 C 的顶点不重合) , 当 PQ = ? 1 QA = ? 2 QB 且 ? 1+ ? 2=-

8 时,求 Q 点坐标 3

21、曲线 C:y=x 及其上一点 P1(1,1) ,过 P1 作 C 的切线 L1,L1 与 C 的另一个公共点为 P2,过 P2 作 C 的切 线 L2,L2 与 C 的另一个公共点为 P3,??,依次下去得到 C 的一系列切线 L1,L2,??,Ln,??, 3 3 3 相应切点分别为 P1(a1,a1 ) ,P2(a2,a2 ) ,??,Pn(an,an ) ,?? (1) 确定 an 与 an+1(n ? N+)关系,并求 an (2)设 Sn=1+ 断

3

1 1 1 n ?1 1 + + +??+ (n ? N+) ,比较 Sn 与 大小,并用数学归纳法证明你的论 2 3 4 2 2 a n -1

3

22、抛物线 y =2px(p〉0)焦点为 F,在 x 轴上 F 的右侧有一点 A,以 FA 为直径作圆 C,圆 C 与抛物线 x 轴上方部分交于 M,N 两点;设圆 C 半径为 R,证 明

2

FM ? FN R

为定值;根据类比推理,椭圆也具

有此性质,已知椭圆

FM ? FN x 2 y2 + 2 =1(a〉b〉0) ,F 为左焦点,求 值(结果用离心率 e 表示) 2 R b a

4

进贤一中高二年级(上)期末考试理科数学参考答案 1C 2D 3D 4C 5A 6B 7B 8D 9A 10C 11B 12A

13、1 +2 +3 +4 +5 +6 =21

3

3

3

3

3

3

2

14、-1

15、

x 2 y2 + =1 4 5

16、

14 2

17、f(x)增区间为(- ? ,-1) 、 (0,+ ? ) ,减区间为(-1,0) ; f(x)极大值为

1 ,极小值为 0 e2
B(- 3 ,1) C(-1,- 3 ) D( 3 ,-1)

18、 (1)A(1, 3 )

(2)用参数方程设 P 点坐标,建三角函数,易求范围 ?16,26?

19、 (1)MD 与 NC 不共面(或说异面直线) ,用反证法证明 (2)tan ? =

2 3

y2 20、 (1)x =1 3
2

(2)Q(2,0) 、 (-2,0) 设 L:y=kx+4(k ? 0)

A (x1,y1) ,B(x2,y2)则 Q(-

4 ,0) k

4 4 ? ?x 1 ? - k? - k y2 ? 1 2 2 2 由 PQ = ? 1 QA 得 ? 代入 x =1 中得(16-k ) ? 1 +32 ? 1 3 ?y ? - 4 1 ? ?1 ? 16 2 16 2 2 2 +16k =0 同理(16-k ) ? 2 +32 ? 2 +16k =0 3 3 32 8 2 从而 ? 1+ ? 2= 2 =得 k =4 即 k= ? 2 3 k - 16

a - an 2 2 21、 (1)求导得 y =3x ,k=3an ,同时 k= n ?1 =an+ 1 +an+1an+an a n ?1 - a n
| 2 2

3

3

所以 an+1 +an+1an-2an =0 解得 an+1=-2an 故 an=(-2)
n-1

2

2

从而 ?a n ?为等比数列,首项 a1=1,公比 q=-2

5

(2)结论:Sn ?

n ?1 2 p p 2 2 2 +R,0) ,圆 C: (x- -R) +y =R 2 2

22、抛物线:圆心 C(

联解得 x -(2R-P)x+

2

p2 +PR=0 4

M(x1,y1) ,N(x2,y2)

有 x1+x2=2R-P

所以 MF + NF = x1+x2+P=2R

从而

FM ? FN R

=2;
2 2 2

椭圆:圆 C: (x-R+c) +y =R 2 2 2 联解得 e x +2(c-R)x+a -2RC=0 有 x1+x2=

M(x1,y1) ,N(x2,y2)
2 2 2 2 2

2 R - 2c e2

因为 MF = (x 1 ? c) ? y1 = e x 1 ? 2cx 1 ? a 所以 MF + NF =e( x1+x2)+2a=

=a+ex1,同理 NF =a+ex2

2R e

从而

FM ? FN R

=

2 e

6


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