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徐州2010-2011学年度第二学期期末考试高一数学试题(word版


2010-2011 学年度第二学期期末考试 高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。 1.不等式 x ? x ? 0 的解集为
2

2.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,又 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,公比为 q ,则 q = 3.下面的伪代码中,当 n ? 5 时执行后

输出的结果是

4.如图是一个边长为 1 的正方形及其内切圆,现随机地向该正方形内投一粒黄豆(视为一 点) ,则黄豆落入圆内的概率为 5.一组数据 9,7,8,6,5 的方差为 6.若实数 x , y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则 2 ? 4 的最小值为
x y

7.一份共三道题的测试卷,每道题 1 分,现用这份试卷去测试某班学生,测试结果全班得 3 分,2 分,1 分,0 分的学生所占比例依次为 30﹪,50﹪,10﹪,10﹪,则全班的平均分 为

? x ? y ? 4 ? 0, ? 8.不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域的面积为 ? x?2 ?
9.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2S n (n ? 1) ,则 a6 = 10.在 ?ABC ,已知 A ? 60? , b ? 1 , S ?ABC ? 3 ,则 11.已知 n ? N ,则数列 {
?

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

2n ? 1 } 的前 n 项和 S n = 2n

12.已知直线 a, b, c, d ,给出以下四个命题: ①若 a // b , a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? c , b ? c ,则 a // b ;③若 a , b 分别和异面直线

c , d 都相交,则 a , b 是异面直线;④已知 a , b 是异面直线,若 AB // a , BC // b ,则
?ABC 是异面直线 a , b 所成的角,则以上命题中正确命题的序号是
13.已知实数 a , b 满足 4a ? b ? ab ? 1 ,则 2a ? b 的最大值是
2 2

14.已知当 x ? 1 时, 有 f (3x) ? 3 f ( x) ; 当 1 ? x ? 3 时,f ( x) ? 3 ? x , 记 f (3n ? 2) ? k n , 则

?k
i ?1

n

i

=

二、解答题:本大题共 6 小题,15-17 每题 14 分,18-20 每题 16 分,共计 90 分。 15.一只口袋中有形状大小都相同的小球,其中白球 1 个,红球 2 个,黄球 1 个。现从中 随机摸出 2 个小球,试求: (1)两个都是红球的概率; (2)至少一个是红球的概率。

16.如图,在三棱锥 A ? BCD 中,平面 EFGH 依次交 AB, BC, CD, DA 于 E , F , G, H (1)若直线 EH 与 FG 相交于点 O ,求证 O 在直线 BD 上; (2)若 EH // FG ,求证 EH // BD

17.已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 (1)求角 B (2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求边 a

cos B b ?? cos C 2a ? c

18.如图,一个铝合金窗户分为上下两栏,四周框架与中间隔栏的材料为铝合金,宽均为 6 cm ,上栏与下栏框内高度(不含铝合金部分)的比为 1:2,此铝合金窗户占用的墙 面面积为 28800 cm ,设该铝合金窗户的宽和高分别为 a cm 与 b cm , 其透光部分的面 积为 S cm
2 2

(1)试用 a , b 表示 S ; (2)求当窗户的宽与高各为多少时, S 最大?

19.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, b, c ? R) , F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, ?? f (? x), x ? 0.

(1)若 f ( x) 的最小值为 f (?1) ? 0, 且 f (0) ? 1 ,求 F (?1) ? F (2) 的值; (2)若 a ? 1, c ? 0, 且 f ( x) ? 1对 x ? [0,1] 恒成立,求 b 的取值范围; (3)若 a ? 1, b ? ?2, c ? 0 ,且 y ? F ( x) 与 y ? ?t 的图象在闭区间 [?2, t ] 上恰有一个公 共点,求实数 t 的取值范围。

20.已知各项均为正数的等比数列 {an } 的公比为 q ,且 0 ? q ?

1 2

(1)在数列 {an } 中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由; (2)若 a1 ? 1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ?2 ) 仍是该数列中的某一项 ⑾求公比 q ⑿若 bn ? ? logan ?1 ( 2 ? 1) , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ,试 用 S2011 表示 T2011

2010—2011 学年度第二学期期末考试

高一数学参考答案与评分标准

二、解答题:

[来源:学科网]

15.⑴记“摸出的两秋都是红球”为事件 A , 则 p ( A) ?

2 ?1 1 ?????????????????????????6 分 ? . 4?3 6

⑵记“摸出两球至少有一个是红球”为事件 B ,则 B 为“摸出两球没有红球” , 则 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 分

2 5 ? .?? ????????? ???????12 4?3 6

1 5 , 至少有一个红球的概率是 . ???????14 分 6 6 16.⑴因为点 O 在直线 EH 上,直线 EH ? 平面 ABD ,所以点 O ? 平面 ABD ,
答: 两个都是红球的概率是 同理,点 O ? 平面 BCD ,因为平面 ABD 据公理 2,点 O 在直线 BD 上. ⑵因为 EH // FG , EH ? 平面 BCD , FG ? 平面 BCD ,所以 EH // 平面 BCD , 又? EH ? 平面 ABD ,平面 ABD 平面 ABD ? BD ,所以 EH // BD . 平面 ABD ? BD ,

[来源:Zxxk.Com]

17.⑴由题意知, 2a cos B ? c cos B ? ?b cos C ,令

a b c ? ? ? k (k ? 0) ,?2 分 sin A sin B sin C

得 2k sin A cos B ? k sin C cos B ? k sin B cos C ? 0 , 即 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ,????????????????????4 分 所以 cos B ? ? ,因为 0 ? B ? 180 ,所以 B ? 120 .???????????7 分

1 2

⑵由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 得 a 2 ? c 2 ? ac ? 13 , ①????????????????????????11 分 因为 a ? c ? 4 ,②

? a ? 1, ?a ? 3, 解①②,得 ? 或? 所以 a ? 1 ,或 a ? 3 .????????????14 分 ?c ? 3, ? c ? 1,
18.⑴由题意知,上栏内宽、高分别为 a ? 12, 下栏内宽、高分别为

b ? 18 ,??? ???????????2 分 3

a ? 18 2(b ? 18) , 2 3

且 ab ? 28800 ,???????????????????????????4 分 所以 S ? (a ? 18) ?

2(b ? 18) b ? 18 ? (a ? 12) ? 3 3
[来

? 29088 ? 2(9a ? 8b) (a ? 18, b ? 18) ,???????????????8 分
源:学科网 ZXXK]

⑵因为 9a ? 8b ≥ 2 72ab ? 2880 ,????????????????????12 分

? 9a ? 8b, 当且仅当 ? ?ab ? 28800,

?a ? 160, 即? 时等号成立. ? b ? 180

答:当窗户的宽和高分别为 160cm 和 180cm 时,面积最大.?????????16 分 19.⑴因为 c ? 1, ?

b ? ?1, a ? b ? 1 ? 0 , a ? 1, b ? 2 , f ( x) ? ( x ? 1)2 , 2a

? ( x ? 1)2 , x ≥ 0, 所以 F ( x) ? ? 所以 F (2) ? F (?1) ? 5 ,????????????4 分 2 ??( x ? 1) , x ? 0,

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ⑶由题意知, t ? ?2 , F ( x) ? ? 2 , ?? x ? 2 x, x ? 0
当 t ? 0 时,不合题意; 当 t ? 0 时,由 F ( x) ? ?t 在 [ ?2, t ] 上恰有一解, 即 x 2 ? 2 x ? t ? 0 在 [ ?2, t ] 上恰 有一解, 令 g ( x) ? x2 ? 2x ? t ,得 g (?2) ? g (t ) ≤ 0 ,因为 g (?2) ? ?t ? 0 , 所以 ?1 ≤ t ? 0 ,??????????????????????????14 分 当 t ? 1时,不合题意, 同理可得, 0 ? t ≤ 1 , 综上, t 的取 值范围是 [?1, 0)

(0, 1] .???????????16 分

1 5? ? ⑵(i) ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? a1q k ?1 (1 ? q ? q 2 ) ? a1q k ?1 ? ?(q ? )2 ? ? ,?????????6 分 2 4? ?
由 ?(q ? )2 ? ? ( ,1) 知, ,

1 5 1 2 4 4 ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ? ak ?1 ?

且 ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ? 2 ? ak ? 3 ? ? ,?????????????????8 分 所以 ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?1 ,即 q 2 ? 2q ? 1 ? 0 , 解得 q ? (ii) bn ?

2 ? 1,??????????????????????????10 分

1 , ??????????????????????????????12 分 n

1 1 1 Sn ? 1 ? ? ? ? , 2 3 n 1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ? ? ) 2 2 3 2 3 n n ?1 n ? 2 n ? (n ? 1) ?n? ? ? ? 2 3 n 1 1 1 1 2 3 n ?1 ? n(1 ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ) 2 3 n 2 3 4 n 1 1 1 1 ? nSn ? [(1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? )] 2 3 4 n 1 1 1 1 1 ? nSn ? [(n ? 1) ? ( ? ? ? )] ? nSn ? [n ? (1 ? ? ? 2 3 n 2 3

1 ? )] n

? nSn ? n ? Sn ? (n ? 1)Sn ? n ,
所以 T2011 ? 2012S2011 ? 2011 .?????????????????????16 分
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]


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