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解析几何专题


解 析 几 何 部 分
1.直线与圆:
主要考查本章的基本概念和性质,此类题一般难度不大,考查内容主要有以下几类:

(1)与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直等)有关的问题;
例 1.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A.1 B. 3 C.2 ) C.等于
? 2

) D. 5

例 2.若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? ( A.等于 0 B.等于
? 4

D.不存在 )

例 3.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( A.2 B.1 C.0 D. ?1 )

例 4.在同一坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

A
2 2

B

C

D

例 5. 从圆 x ? 2 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作两条切线, 则两切线夹角的 余弦值为( A. ) B.

1 2

3 5

C.

3 2

D. 0 )

例 6.已知直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则 l1,l2 之间的距离为( A.1 B. 3 C. 2 D. 5

(2)对称问题(包括关于点对称,关于直线对称)要熟记解法;
例 7.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 B.2 x+y-1=0 C.2 x+y-3=0 ) D. x+2y-3=0

解析几何部分

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例 8.圆 x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(
2 2



A. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
2 2

1 2

B. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2 )

例 9.直线 2x-y+3=0 关于直线 x-y+2=0 对称的直线方程是( A.x-2y+3=0 C.x+2y+1=0 B.x-2y-3=0 D.x+2y-1=0

(3)与圆的位置有关的问题,其常规方法是研究圆心到直线的距离.
例 10.圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1 的切线方程中有一个是( A.x-y=0 B.x+y=0
2 2

) D.y=0 )

C.x=0

例 11. 若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程是 ( A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0
2

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0
2

例 12.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3 ,则 a ? .
2 2

例 13. 若直线 2x-y+a=0 与圆(x-1) +y =1 有公共点, 则实数 a 的取值范围为 ( A.-2- 5<a<-2+ 5 C.- 5 ≤a ≤ 5 B.-2- 5 ≤a ≤-2+ 5 D.- 5 <a< 5



(4)圆与圆的位置关系
例 14.圆 O1: x +y -2x=0 和圆 O2: x +y -4y=0 的位置关系是( A.相离
2 2

2

2

2

2

) D.内切

B.相交
2 2

C.外切

,B 两点,则直线 AB 的 例 15.已知两圆 x ? y ? 10 和 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 20 相交于 A
方程是 .

解析几何部分

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1.圆锥曲线部分:
每年的高考试卷中一般有 2~3 道客观题和一道解答题,难度上易、中、难三档题都有, 主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质, 直线与圆锥曲线的位置关系, 解答题综合性比 较强,难度也较大。考查内容主要有以下几类:

(1)与定义有关问题
例 16.设 p 是椭圆 于( A.4

x2 y 2 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 等 25 16
) B.5 C.8 D.10

x2 例 17.已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是( A.2 3 B.6 C.4 3 ) D.12

例 18. 已知椭圆的焦点是 F1、 F2、 P 是椭圆上的一个动点. 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( A.圆
2

) C.双曲线的一支 D.抛物线

B.椭圆

????? ????? y2 ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0, 则 例 19.已知双曲线 x ? 2
点 M 到 x 轴的距离为( A. ) C.

4 3

B.

5 3

2 3 3

D. 3

x2 r 2 例 20.如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 a b

O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线
左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形, 则双曲线的离心率为( A. 3 B. 5 ) C.

5 2

D. 1 ? 3

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例 21.抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(
2



A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

例 22.已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足

???? ? ???? ???? ? ??? ? | MN | ? | MP | ? MN ? NP
A. y 2 ? 8 x

=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为( C. y 2 ? 4 x D. y 2 ? ?4 x



B. y 2 ? ?8 x

例 23.设抛物线 y2=4x 上一点 P 到直线 x=-3 的距离为 5, 则点 P 到该抛物线焦点的距 离是( A.4 ) B.6 C.8 D.3

例 24.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定 点__________.

(2)与方程、几何性质有关问题
例 25.如图,直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和 一个顶 点 B,该椭圆的离心率为( A. ) C.

1 5

B.

2 5

5 5

D.

2 5 5

例 26.已知以 F1(-2,0) ,F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个 交点,则椭圆的长轴长为( A. 3 2 B. 2 6 ) C. 2 7 ) C. y ? ? D. 4 2

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( 例 27.双曲线 4 9
A. y ? ?

2 x 3
2

B. y ? ?

4 x 9

3 x 2

D. y ? ? ) D.

9 x 4

例 28.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? (
2

A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

1 4

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例 29.已知双曲线 9 y ? m x ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
2 2 2

1 ,则 5

m?(
A.1

) B.2
2

C.3

D .4 ) D.2x-y-1=0

例 30.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x 的切线方程是( A.2x-y+3=0
2 2

B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0 ) C.

例 31.椭圆 x ? 4 y ? 1 的离心率为( A.

3 2

B.

3 4

2 2

D.

2 3

例 32 .已知抛物线 y2 = 2px(p>0) 的准线与圆 x2 + y2 - 6x - 7 = 0 相切,则 p 的值为 __________. x2 y2 例 33.已知点 F 是双曲线 2- 2=1( a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, a b 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是锐角三角形,则 该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(1,2) ) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2)

x2 y2 例 34.已知点 P(3,-4)是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线上的一点,E,F 是左、 a b → → 右两个焦点,若EP· FP=0,则双曲线方程为( x y A. - =1 3 4
2 2


2 2

x y B. - =1 4 3

2

2

x y C. - =1 9 16

x2 y2 D. - =1 16 9

x2 y2 x2 y2 例 35.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离 a b 16 9 心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________________. x2 y2 例 36.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切, a b 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 5 4 x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 3 6 ) x2 y2 D. - =1 6 3

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x2 y2 例 37. 已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的距离为 4, a b 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距 为( A.2 3 ) B.2 5 C.4 3 D.4 5

(3)与成角和距离有关的问题
在解析几何中与成角和距离相关的问题很多,这类问题涉及多个知识点,综合性强, 方法也多种多样,下面给出一些解决该类问题的常见策略.

①利用余弦定理求解
例 38. 已知 P 是椭圆

x2 y2 2? , ? ? 1 上的一点,F1 , F2 是椭圆的左,右焦点, ?F1 PF2 ? 20 4 3

求 ?F1 PF2 的面积.

②利用正弦定理求解
x2 y2 例 39 .已知 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点 , F1 , F2 是椭圆的左 , 右焦点 , 在 a b

?PF1 F2 中,设 ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ?

.

③利用向量求解
例 40.已知直线 l : y ? k ( x ? 1) 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点, 点 F 是抛物线的焦
2

点,若 ?AFB 是钝角,求实数 k 的取值范围.

④利用正切和斜率求解
例 41.已知点 M 在双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的右支上, A1 , A2 分别是双曲线的左,右
2 2 2

顶点且 ?A2 MA1 ? 2?MA1 A2 ,则 ?MA1 A2 等于 ( A. 30? B. 27.5? C. 25?

) D. 22.5?

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⑤利用对称性斜率的关系求解
例 42.如图:已知离心率为

y x 1 的椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 与过点 A(2,0), B(0,1) 的直 2 a b
y N P M F A x

2

2

线有且只有一个公共点 P ,点 F 是椭圆的右焦点. (1)求椭圆的方程. (2)设过点 A 作直线 l 交椭圆于 M , N , 求证:直线 PF 平分 ?MFN .

⑥利用弦长公式求解
2 例 43.设坐标原点为 O,抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA ? OB ?

( A.



3 4

B.-

3 4

C .3

D.-3

例 44.如图,椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当|CD|= 3 2时,求直线 l 的方程; 2

→ → (2)当点 P 异于 A、B 两点时,求证:OP· OQ为定值.

解析几何部分参考答案
例 1.D 例 8.C 例 14.B 例 20.D 例 26.C 例 33.B 例 2.C 例 9.A 例 3.D 例 10.C 例 4.C 例 11.A 例 16.D 例 23.D 例 29.D 例 5.B 例 12. 例 17.C 0 例 18.A 例 6.C 例 7.D 例 13.B 例 19.C 例 25.D 例 32. 2

例 15. x ? 3y ? 0 例 21.B 例 27.C 例 34.C 例 22.B 例 28.A 例 35.

例 24. (1,0) 例 30.D 例 36.A 例 31.A 例 37.B

x2 y2 ? ?1 4 3
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2? ? 2 2 2 ? 64 ?| F1 F2 | ?| PF1 | ? | PF2 | ?2 | PF1 || PF2 | cos 例 38.解:由 ? 3 ? | PF1 | ? | PF2 |? 4 5 ?
可得 | PF1 || PF2 | =16 ∴S ?

3 1 2? 1 ? ? 16 ? ? 4 3. | PF1 || PF2 | sin 2 2 2 3 | PF1 | | PF2 | | F1 F2 | . ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? )

例 39.解:在 ?PF1 F2 中,由正弦定理可得, ∴

| PF1 | ? | PF2 | | F1 F2 | , ? sin ? ? sin ? sin(? ? ? )

即有 例 40.解:由 ?

| F1 F2 | a2 ? b2 sin(? ? ? ) 2c = = . ? a sin ? ? sin ? | PF1 | ? | PF2 | 2a
ky2 ? 4 y ? 4k ? 0 .
, 解得 k ? (?1,0) ? (0,1) .

? y ? k ( x ? 1) 消去 x 得 2 ? y ? 4x ? k?0

根据题意得 ?

2 ?? ? 16 ? 16 k ? 0

4 ? ? y1 ? y 2 ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 由韦达定理得 ? k ? y y ? 4 ? 1 2

? ?AFB 是钝角且 FA 与 FB 显然不共线 ∴ FA ? FB ? 0
FA ? FB ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x 2 ? 1, y 2 ) = x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y 2

y y2 y y 4 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? y1 y 2 = 8 ? 2 ? 0 = 1 4 4 4 4 k
∴k ?
2

2

2

2

2

1 .又 k ? (?1,0) ? (0,1) , 2
2 2 ,0) ? (0, ). 2 2

∴实数 k 的取值范围为 k ? ( ?

例 41.解:设 M ( x0 , y 0 ) , ?MA1 A2 = ? ,则 ?A2 MA1 ? 2? , ?MA2 A1 = ? ? 3? .

tan? 即为直线 MA1 的斜率, tan? =
的相反数, tan(? ? 3? ) = ?

y0 . tan(? ? 3? ) 即为直线 MA2 的斜率 x0 ? a
y

y0 , x0 ? a

y0 ∴ tan 3? = x0 ? a
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M A1 O x

A2

y y0 y0 ∴ tan? tan 3? = = 2 0 2 =1 x0 ? a x0 ? a x 0 ? a
∴ ? ? 3? ? 90 .
0

2

∴ ? ? 22.50 .故选 D. 点评:该题的关键是建立角的正切值与斜率之间的关系. 若 M ( x0 , y 0 ) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, A1 , A2 是椭圆的左,右顶 a2 b2
y0 y0 y ? ? 20 2 x0 ? a x0 ? a x0 ? a
2

点,记 MA1 的斜率为 k 1 ,MA2 的斜率为 k 2 , 则 k1 k 2 ? 为定值 ?

b2 x2 y2 M ( x , y ) . 若 是 双 曲 线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 的 一 点 , 0 0 a2 b2 a2

A1 , A2 是 双 曲 线 的 左 , 右 顶 点 , 记 MA1 的 斜 率 为 k 1 , MA2 的 斜 率 为 k 2 , 则
k1 k 2 ?
例 42.解:(1) e ?

y0 y0 y b2 ? ? 2 0 2 为定值 2 . x0 ? a x0 ? a x0 ? a a

2

c 1 ? a 2

∴ a ? 2c, b ?

3c .可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4c 2 3c 2

直线 AB 的方程为 y ? ?

1 2 2 代入椭圆方程并整理得,x ? x ? 1 ? 3c ? 0 . x ?1, 2 y
2

由题意知 ? ? 1 ? 4(1 ? 3c ) ? 0 , ∴c ?
2 1 .椭圆的方程为 x ? 3 ? 1 . 2

N
2

P M F A x

y

4
(2)由(1)知 x P ?

1 1 3 ,得 P 点的坐标为 ( , ) 2 2 4

易知直线 l 的斜率一定存在,设为 k ,

? y ? k ( x ? 2) ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? ? 4 ?

消去 y 整理得: (3 ? 4k ) x ? 16 k x ? 16 k ? 3 ? 0
2 2 2 2

16 k 2 16 k 2 ? 3 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , x1 ? x 2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

解析几何部分

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k MF

1 1 k ( x1 ? 2)( x2 ? ) ? k ( x2 ? 2)( x1 ? ) y1 y2 2 2 ? k NF = + = 1 1 1 1 x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) 2 2 2 2 5 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 2 =k 1 1 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 4

将韦达定理代入可得: k MF ? k NF =0 又由于 PF ? x 轴 例 43.B y2 x2 例 44.解:(1)因椭圆焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b y2 由已知得 b=1,c=1,所以 a= 2,椭圆方程为 +x2=1. 2 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+1,将其代入椭圆方程化简得(k2+2)x2+2kx-1=0. 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 则 x1+x2=- 2k 1 ,x1· x2=- 2 , k +2 k +2
2

∴直线 PF 平分 ?MFN

2 2?k2+1? |CD|= k2+1· ?x1+x2?2-4x1x2= . k2+2 2 2?k2+1? 3 由已知得 = 2. 2 k2+2 解得 k=± 2. 所以直线 l 的方程为 y= 2x+1 或 y=- 2x+1. (2)直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠± 1), 1 ? 所以 P 点坐标为? ?-k,0?. 设 C(x1,y1),D(x2,y2),由(1)知 x1+x2=- x1· x2=- 1 . k +2
2

2k , k2+2

y1 y2 直线 AC 的方程 y= (x+1),直线 BD 的方程为 y= (x-1), x1+1 x2-1

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x+1 y2?x1+1? 将两直线方程联立,消去 y 得 = . x-1 y1?x2-1? x+1 y2 因为-1<x1,x2<1,所以 与 异号. x-1 y1 ?x1+1? ?1+x1??1+x2? ?x+1?2=y2?x1+1? =2-2x2· ?x-1? y2?x -1?2 2-2x2 ?x -1?2=?1-x ??1-x ? ? ? 1 2 1 2 1 2 -2k -1 1+ 2 + 2 k +2 k +2 ?k-1?2 = =? ?. -2k -1 ?k+1? 1- 2 + 2 k +2 k +2 2?1-k??1+k? 2?1+k?2 k-1 又 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1= =- · , k2+2 k2+2 k+1 ∴ k-1 x+1 k-1 x+1 k-1 与 y1y2 异号, 与 同号,∴ = ,解得 x=-k. k+1 x-1 k+1 x-1 k+1
2 2 2 2

因此 Q 点坐标为(-k,y0). → → ? 1 ? OP· OQ=?-k ,0?· (-k,y0)=1. → → 故OP· OQ为定值.

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