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湖北省八市2013届高三3月联考数学理试题答案


2013 年湖北省八市高三三月联考 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:(每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1 二、填空题:(每小题 5 分,5 分) 13.①②③ 14.(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 5 选考题:15.30o 16.9 或-11 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 与共线 ∴ …………………………3 分 得 …………………………4 分 ∴C

= ……………………………6 分 (Ⅱ)方法 1:由已知 (1) 根据余弦定理可得: (2) ……………………8 分 (1)、(2)联立解得: ………………………………………10 分 又. C=,所以△为等边三角形, ………………12 分 方法 2: 由正弦定理得: ……………………8 分 ……………………………10 分 ∴, ∴在△中 ∠ 又. C=, 所以 △为等边三角形, ……………………………12 分 方法 3:由(Ⅰ)知 C=,又由题设得:, 在中根据射影定理得: ……………………8 分 ……………………………10 分 又. C=, 所以 △为等边三角形, ……………………………12 分 18.() ……………………………2 分 ∴ ……………………………4 分 又∵. ∴ ……………………………6 分 ()… ① ∴ 即 又… ② ①-②: ……………………………8 分 ∴ ∴ ……………………………10 分 则…… ……………………………12 分 19.方法一: (Ⅰ)如图,分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系,则 易得 ………………2 分 由题意得,设 又

则由得, ∴,得为的四等分点.………………………6 分 (Ⅱ)易知平面的一个法向量为,设平面的法向量为 则,得,取,得, ……………10 分 ∴,∴二面角的平面角余弦值为.12 分 方法二: (Ⅰ)∵在平面内的射影为,且四边形为正方形,为中点, ∴ 同理,在平面内的射影为,则 由△~△, ∴,得为的四等分点. …………………6 分 (Ⅱ)∵平面,过点作,垂足为; 连结,则为二面角的平面角;…………………………8 分 由,得,解得 ∴在中,, ∴;∴二面角的平面角余弦值为. …12 分 20.(Ⅰ)因为小弹子落入第层的第个通道的次数服从二项分布, 则:, ……………………………1 分 ……………………………3 分 ……………………………4 分 ……………………………6 分 (Ⅱ)依题:. 由(Ⅰ)知, ……………………9 分 所以的分布列如下表: 123 ……………………11 分 故 ……………………………12 分 21. .()由题知: 化简得:时轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点; 当时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点; 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点; 当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点; …………………………… 6分 ()设的斜率存在且不为零,则可设:, 代入整理得,,不重合 的方程为 令,得直线过定点.解二:设的斜率存在且不为零,可设: 代入整理得 ,,的方程为令,得 直线过定点(),且 所以,得,此时. 当时,,函数在区间上单调递增; 当时,,函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值,故 …………………………4 分 (), 则. 因为函数在区间上可导,则根据结论可知:存在

使得 …………………………7 分 又, 当时,,从而单调递增,; 当时,,从而单调递减,; 故对任意,都有 . …………………………9 分 (Ⅲ),, 同理, …………………………12 分 由(Ⅱ)知对任意,都有,从而 . …………………………14 分


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