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高2014级成都一诊模拟试题(数学)(理)


高 2014 级成都一诊模拟题

理科数学试题
第一部分(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.集合 M ? {x || x ? 3 |? 4}, N ? { x | x ? x ? 2 ? 0, x ? Z}, 则M ? N =
2

A. {x | ?1 ? x

? 1} 2.复数

B. {x | 2 ? x ? 7}

C.{2}

D.{0}

1? i 的虚部是 4 ? 3i 1 1 1 1 A. B. C. ? D.— i i 25 25 25 ?25 ? ? 3.已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误的是 .. ? ? ? ? A. c ∥ b B. a ? b ? ? ? ? C.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k 2 ,使得 d ? k1b + k2c ? ? ? D.向量 c 与向量 a ? b 的夹角为 45?
4..下列有关命题的叙述错误的是( ) A.对于命题 p: ? x∈R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 p 为: ? x∈R,
2
?

开 始 T=0,i=1

x2 ? x ? 1 ? 0
B.命题“若 x -3x + 2 = 0,则 x = 1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D. > 2”是“ x -3x + 2 > 0”的充分不必要条件 “x 5.执行如图的程序框图,则输出的 T 值等于 A.91 B. 55 C.54 D.30 6.某小区住户共 200 户,为调查小区居民的 7 月份用水量,用分层抽样 的方法抽取了 50 户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频 率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过 l5m3 的住户的户数为 A.10 B.50 C.60 D.140 7.要得到函数 y=3cos(2x 一
2 2 2

T=T+i2 i=i+1


i>5?


输出 T 结 束 缚

? )的图象,可以将函数 y ? 3sin 2 x 的图象 4 ? ? A.沿 x 轴向左平移 个单位 B.沿 x 向右平移 个单位 8 8 ? ? C.沿 x 轴向左平移 个单位 D.沿 x 向右平移 个单位 4 4
·1·

8.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加, 且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 A.720 B.600 C.520 D.360 9. 已知存在正数 a, b, c ,满足 A. [1, ??) B. [1,

1 c b ? ? 2, c ln b ? a ? c ln c ,则 ln 的取值范围是 e a a
C. (??, e ? 1] D. [1, e ? 1]

1 ? ln 2] 2

10.若函数 y ? f ? x ? ,存在区间 ? m, n ? ,同时满足下列条件:① f ? x ? 在 ? m, n ? 内是单调的;②当

x ? ? m, n ? 时 , f ? x ?的值域也是 ? m, n ?,则称 ? m, n ? 是该 函 数 的 “ 和 谐 区 间 ”. 若 函 数
f ? x? ? a ?1 1 1 1 ? ? a ? 0 ? 有“和谐区间”,则函数 g ? x ? ? x3 ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 5 的极值点 a x 3 2

x1 , x2 满足
A. x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? C. x1 ? ? ??, 0 ? , x2 ? ? ??, 0 ? B. x1 ? ? ??, 0 ? , x2 ? ? 0,1? D. x1 ? ?1, ?? ? , x2 ? ?1, ?? ?

第二部分(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 y ? 1 ? log 3 x 的定义域为 12.已知 (ax ? )(2 x ? 1)5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为_

1 x



13. cos ?

? ? 5? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ,且 ?? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? _ 2 ? 12 ? 3 ? 12 ?



?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 14.若实数 x 、 y ,满足 ? y ? 0 ,则 z ? 的取值范围是 _ . x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ? ? ? ? ? 15.设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f : V ? R 满足对任意向量 a ? ( x1 , y1 ) ? V,

? ? ? ? ? ? b ? ( x2 , y2 ) ? V, 以及任意 ? ? R ,均有 f (?a ? (1 ? ? )b ) ? ?f (a ) ? (1 ? ? ) f (b ) .则称映射 f 具有
性质 P .现给出如下映射: ① f1 : V ? R, f1 (m) ? x ? y, m ? ( x, y ) ? V ; ② f 2 : V ? R, f 2 (m) ? x ? y, m ? ( x, y ) ? V ;
2

?

?

?

?

?

?

?

?

·2·

③ f 3 : V ? R, f 3 (m) ? x ? y ? 1, m ? ( x, y ) ? V

?

?

?

?

其中,具有性质 P 映射的序号为 .(写出所有具有性质 P 映射的序号). 三、解答题:共 6 小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在等比数列 {an }中,已知a1 ? 2, a4 ? 16. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {an ? bn } 的通项公式及

前n项和Sn .

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3, x ? R.
2

(I)求函数 f(x)的周期和最小值 (II)在锐角△ABC 中,若 f ( A) ? 1, AB ? AC ?

??? ???? ?

2 ,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于 2013 年 1 月 1 日起正式实施,新规实施后, 获取驾照要经过三个科目的考试,先考科目一(理论一) ,科目一过关后才能再考科目二(桩考和路 考) ,科目二过关后还要考科目三(理论二) .只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证.某驾校现有 100 名新学员,第一批参加考试的 20 人各科目通过的人数情况如下表: 参考人数 通过科目一人数 通过科目二人数 通过科目三人数 20 12 4 2 请你根据表中的数据: (Ⅰ)估计该驾校这 100 名新学员有多少人一次性(不补考)获取驾驶证; (Ⅱ)第一批参加考试的 20 人中某一学员已经通过科目一的考试,求他能通过科目二却不能通过科 目三的概率; (Ⅲ)驾校为调动教官的工作积极性,规定若所教学员每通过一个科目的考试,则学校奖励教官 100 元.现从这 20 人中随机抽取 1 人,记 X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数,求 X 的数学期望.

·3·

19. (本小题满分 12 分) 已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动,?MCN ?

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 3

B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . (Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;
(Ⅱ)若 c ?

3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 F ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的图像过原点, 3

函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图像交于不同的两点 A、 B. f ( x) ? F ?( x), g ( x) ? f ?( x), f (1) ? 0 , (I) y ? F ( x)在x ? ?1 处取得极大值 2,求函数 y ? F ( x) 的单调区间; (II)若使 g ( x) ? 0的x值满足x ? [? , ] ,求线段 AB 在 x 轴上的射影长的取值范围.

1 1 2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? e? x ? (1? ? ) a ? ? e x ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1.

(I)求函数 f ( x) 的极值; (II)对任意给定的正实数 a ,是否存在正数 x ,使不等式 不存在,说明理由; (III)设 ?1 , ?2 ? (0, ??) ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有: a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ? 2 a2 .
? ?

ex ?1 ? 1 ? a 成立?若存在,求出 x ,若 x

.

·4·

高 2014 级成都一诊模拟题

理科数学试题
参考答案 一、选择题(每小题 5 分 共 50 分) DBCCB CABDB 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.

(0,3]

12.

10

13. ?

2 2 3

14. [ ,11] ; 15.①③.

3 2

三、解答题:共 6 个题,共 75 分。 16.解: (Ⅰ)由

a4 ? q3 ? 8 得 a1
an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n

q?2

???(2 分)



???(3 分)

(Ⅱ)

? b3 ? b 1? 2d ? a 3? 8 ? ?b5 ? b 1? 4d ? a 5? 32



?b1 ? ?16 ? ? d ? 12

???(6 分)



bn ? ?16 ? (n ? 1)12 ? 12n ? 28

???7 分

1 Sn ? (?16 ? 12n ? 28)n ? 6n2 ? 22n 2
anbn ? (12n ? 28) ? 2n
3 Sn ? ?1 6 1 2 ? ( ? 42? ?2 ? ? ? 2 n ? ? ? ) 8

(n 2

2 8 ) 2

2Sn ? ?16 ? 22 ? (?4) ? 23 ? ? ? (12n ? 40)2n ? (12n ? 28)2n?1
∴ ∴

Sn ? 2Sn ? ?16 ? 21 ? 12(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (12n ? 28)2n?1 ? Sn ? 12(21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1
????(10 分)
n ?3

= 12

2(1 ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1 1? 2

∴ Sn ? (3n ? 10)2

? 80

??(12 分)

17.解: f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? (Ⅰ) 即x??

?
3

) ?(2 分)

T?

2? ? ? ? ? ?(3 分) 2 x ? ? ? ? 2k? 2 3 2
k∈Z 时 ?(4 分)
·5·

5 x ? 2k? 12

f ( x)min ? ?2
(Ⅱ) ∴ 由

??(5 分)

f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 3

?



0? A??
??? ? ????

得 ∴ A?

?
4

? 1 2sin(2 A ? ) ? 3 2

???(6 分)

???(8 分) ∴ | AB | ? | AC |? 2 ??(10 分)

而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ?COSA ?

??? ???? ?

2



S?ABC ?

1 2 | AB | ? | AC | sin A ? 2 2

???(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由表中数据可知一次性(不补考)获取驾驶证的频率为 1 ,估计这 100 名新学员中有

10

100× 1 =10 人; ................................................................................................................. 3 分

10

(Ⅱ)设“通过科目一、二、三”分别为事件 A,B,C,则 P=P(B C |A)= 2 ? 1 ........................................................................................................... 6 分

12

6

(Ⅲ)设这个学员一次性过关的科目数为 Y,则 Y 的分布列为
Y P 0 1 2 3

2 5

2 5

1 10

1 10

............................ 8 分

EY=0× 2 +1× 2 +2× 1 +3× 1 = 9 .................................................................................. 10 分 5 5 10 10 10 而 X=100Y,所以 EX=100EY=100× 9 =90 ..................................................................... 12 分 10 19. 解: (Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2, ? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 .??????????????1 分 又? ?MCN ?
2
2 2 2 2 1 ? , cos C ? ? ,? a ? b ? c ? ? 1 , 3 2 2ab 2

??????4 分

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2

??

1 , 恒等变形得 c 2 ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 又? c ? 4 , 2
?????????6 分

?c ? 7.

·6·

20.解: f ( x) ? ax ? 2bx ? c
2

g ( x) ? 2ax ? 2b 0

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0

c?2 b a ?

(Ⅰ) 由

F( 0 ? d ? )

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0 f (?1) ? a ? 2b ? c ? 0

1 F (?1) ? ? a ? b ? c ? 2 3
? a?3 ? ∴ ?b ? d ? 0 ? c ? ?3 ?


F ( x) ? x 3 ? 3x

???(3 分)

F ?( x) ? f ( x) ? 3x 2 ? 3

x ? (?1,1) F ?( x) ? 0

F ?( x) ? 0 F ( x) 单增 F ( x) 单减

???(4 分)

x ? (??, ?1) 和 x ? (1, ??)
(Ⅱ) 由

???(5 分)

? y ? ax 2 ? 2bx ? c ? ? y ? 2ax ? 2b
·7·

消y 得

ax 2 ? (2a ? 2b) x ? 2b ? c ? 0

(a ? 0 )

2a ? 2b b ? ? 2 ? 2? ? x1 ? x2 ? ? a a ? ? x ? x ? 2b ? c ? 4 b ? 1 ? 1 2 a a ?

??(7 分)

∴ AB 在 x 轴上射影长 l ? ∴

( x1 ? x2 ) 2

b b l 2 ? (2 ? 2 )2 ? 4(4 ) ? 1 a a b b b ? 4( )2 ? 8( ) ? 8 ? 4( ? 1)2 ? 4 a a a b 1 1 而 g ( x) ? 0 x ? ? [ ? , ] a 2 2 b 1 ∴ 时 lmax ? 13 ??(11 分) ?? a 2 b 1 lm i ? 5 ??(12 分) 时 ? n a 2


??(9 分)

5 ? l ? 13

??(13 分)

21、解:为方便,我们设函数 g ( x) ? e ,于是
x

(1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ?( x) , 由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) ,

-----------------1 分

∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x) 取极大值,但 f ( x) 没有极小值.-----------------4 分

·8·

(3)对任意正数 a1 , a2 ,存在实数 x1 , x2 使 a1 ? e 1 , a2 ? e 2 ,
x x

则 a1 1 a2 2 ? e
?

?

?

?1 x1

? e?2 x2 ? e?1x1 ? ?2 x2 , ?1a1 ? ?2 a2 ? ?1e x1 ? ?2 e x2 ,
?1 x1 ? ?2 x2

原不等式 a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 ? e

?

? ?1e x1 ? ?2e x2 ,
-----------------12 分

? g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 )

由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a) 恒成立,故 g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a) , 取 x ? x1 , a ? x2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ?2 ,即得 g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 ) , 即e
?1 x1 ? ?2 x2

? ?1e x1 ? ?2e x2 ,故所证不等式成立.

-----------------14 分

·9·


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