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龙岗区2015-2016学年第一学期期末学业评价试题高二文科数学参考答案201601


高二文科数学参考答案
说明:1.参考答案与评分参考给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案 不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: ( 12*5=60 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 B 10 B 11 A 12 D

二、填空题: ( 4*5=20 分) 13. ?x0 ? ?1 ,x0 ? x0 ? 2016? 0
2

14.

3 3

15.②⑤

16.

n 2 n ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (1)△ABC 中, cos A ? ?

1 , 4

? sin A ? 1 ? cos2 A ?

15 4

…………………1 分

1 又 ? bc sin A ? 3 15 ? bc ? 24 …………………3 分 2 2 2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc cos A ? 64 , ……5 分 ?a ? 8 …………………6 分 a b c b?c ? ? ? (2) 由正弦定理得 , …………………9 分 sin A sin B sin C sin B ? sin C 5 15 ? sin B ? sin C ? …………………10 分 16 2 ?k ? 2k ? 8 18.当 p 为真时,则 ? …………………1 分 ?2k ? 8 ? 0 解得 ? 4 ? k ? ?2 或 k ? 4 ………………… 2 分
当 q 为真时, (k ? 1)(k ? 5) ? 0 即 1 ? k ? 5 ; 由题设, p 或 q 为真, p 且 q 为假则 p 和 q 有且只有一个正确,则 (1) p 正确 q 不正确,∴ ? ………………… 4 分 ………………… 5 分 ………… 7 分

?? 4 ? k ? ?2或k ? 4 ,? ?4 ? k ? ?2或k ? 5 k ? 1或k ? 5 ?

1

(2) q 正确 p 不正确∴ ?

?k ? ?4或 ? 2 ? k ? 4 ∴1 ? k ? 4 ; 1? k ? 5 ?

………………… 9 分

∴综上所述,若 p 或 q 为真, p 且 q 为假, k 的取值范围是 ? 4 ? k ? ?2 或 1 ? k ? 4 或

k ? 5.
19.设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x , y 台,总利润是 z ,可得

…………………10 分

?10x ? 10 y ? 300 ? x ? y ? 30 ?5 x ? 2 y ? 90 ?5 x ? 2 y ? 90 ? ? 线性约束条件为: ? ,即 ? ? x ? 0, x ? N ? x ? 0, x ? N ? ? ? y ? 0, y ? N ? y ? 0, y ? N
目标函数为

…………………3 分

z ? 6x ? 4 y

…………………4 分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域 y

5 M 1 0 x x

…………………7 分

考虑 z ? 6 x ? 4 y , 将它变形为 y ? ?

3 z 3 x? , 这是斜率为 ? 、 随 z 变化的一族平行直线, 2 4 2

z z 是直线在 y 轴上的截距,当 取最大值时, z 的值最大,当然直线要与可行域相交,由 4 4 z 图可得,当直线经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大. …………………9 分 4
解方程组 ?

? x ? y ? 30 ? x ? 10 ,得 M 的坐标为 ? ?5 x ? 2 y ? 90 ? y ? 20

…………………10 分

∴ z max ? 6 ?10 ? 4 ? 20 ? 140(百元)

…………………11 分

答:当月供应量为空调机 10 台,洗衣机 20 台时,可获最大利润 14000 元 。 ……………12 分 20. (1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15. 解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). …………………2 分 …………………4 分

2

故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 由 b3=b1·22, 所以 bn=b1·q
n-1

5 即 5=b1·22,解得 b1= . 4 5 n-1 n-3 = ·2 =5·2 , 4


即数列{bn}的通项公式 bn=5·2n 3. (2)证明 由(1)得数列{bn}的前 n 项和 5 (1-2n) 4 5 5 - - Sn= =5·2n 2- ,即 Sn+ =5·2n 2. 4 4 1-2 5 S++ n-1 5 5 n 1 4 5·2 所以 S1+ = , = =2. 4 2 5 5·2n-2 Sn+ 4 5? ? 5 因此?Sn+4?是以 为首项,2 为公比的等比数列. 2 ? ? 21.解:由题椭圆 C 与圆 O 恰有两个公共点,则 a ? 1 或 b ? 1 又e ?
2

…………………6 分

…………………8 分

…………………11 分

…………………12 分 …………………1 分

2 b ………………… 3 分 ? 1 ? 2 ,得 a ? 2b, c ? b 2 a 2 当 a ? 1 时, b ? ,此时椭圆方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ………………… 4 分 2 x2 b ? 1 当 时, a ? 2 ,此时椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ………………… 5 分 2 x2 ? y2 ? 1 故所求椭圆方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 1或 ………………… 6 分 2 (2)由题意在 Rt ?MON 中, MO ? 2 , ON ? 1 ,则 ?NMO ? 300 ……… 7 分
1 3 则有 N 点坐标为 (? , ) 2 2
若椭圆的方程为 x ? 2 y ? 1,其焦点坐标为 F1 (?
2 2

………………… 8 分

2 2 ,0) , F2 ( ,0) 2 2
…………………10 分

1 3 6 ? 2? ? 2 2 4 2 x ? y 2 ? 1,其焦点坐标分别为点 A,B 若椭圆的方程为 2 1 3 3 ? 此时 S ?NF1F2 ? ? 2 ? 2 2 2
此时 S ?NF1F2 ? …………………12 分
2 22.(1)有题可得 f (0) ? k ? 1 ,? f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? 1

…………………12 分 …………………… 1 分 …………………… 3 分 …………………… 4 分
3

1 ? 2 x ,? f ' (0) ? 1 x ?1 ? y ?1 ? x ? 0 故函数 f ( x) 在点 (0,1) 处的切线方程为 y ? x ? 1 ? f ' ( x) ?

(2) 由题 f ( x) 的定义域为 (?1,??)

? f ' ( x) ?
① ②

③ ④

1 ? 2kx 2 ? 2kx ? 1 ? 2kx ? ………………… 5 分 x ?1 x ?1 1 ' ? 0 恒成立,? f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增。 …………6 分 当 k ? 0 时, f ( x ) ? x ?1 4 x 2 ? 4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ' ? ? 0 恒成立, 当 k ? ?2 时,? f ( x) ? x ?1 x ?1 …………………… 7 分 ? f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增。 2 当 ? 2 ? k ? 0 时, ? 2kx ? 2kx ? 1 ? 0 恒成立, …………………… 8 分 ? f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增。 2 当 k ? ?2 时,若 ? 2kx ? 2kx ? 1 ? 0 ,
…………………… 9 分

k ? k 2 ? 2k k ? k 2 ? 2k , x2 ? 则 x1 ? ,且 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 , ? 2k ? 2k

x
f ' ( x)
f ( x)

(?1, x1 )
+

x1
0

( x1 , x2 )
-

x2
0

( x2 ,??)
+

?

?

?
…………………… 10 分

⑤ 当 k ? 0 时,此时 x1 ? 0, x2 ? ?1

x
f ' ( x)
f ( x)

(?1, x1 )
+

x1
0

( x1 ,??)
-

?

?

……………………11 分 综上所述,当 ? 2 ? k ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (?1,??) ;当 k ? ?2 时, f ( x) 的单

k ? k 2 ? 2k k ? k 2 ? 2k ) , ( ,??) , 单 调 递 减 区 间 是 ? 2k ? 2k k ? k 2 ? 2k k ? k 2 ? 2k k ? k 2 ? 2k ), ( , ) ;当 k ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ? 2k ? 2k ? 2k k ? k 2 ? 2k 单调减区间是 ( ……………12 分 ,??) 。 ? 2k
调 递 增 区 间 是 (?1,

4


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