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1998年全国高中数学联合竞赛


一九九八年全国高中数学联合竞赛
一、 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 1. 若 a > 1, b > 1, 且 lg (a + b) = lg a + lg b, 则 lg (a –1) + lg (b –1) 的值_______. (A)等于 lg2 (B)等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 2.若

非空集合 A={x|2a+1? x ? 3a – 5},B={x|3? x ? 22],则能使 A?A?B 成立的所有 a 的集 合是________. (A){a | 1 ? a ? 9} (B) {a | 6 ? a ? 9} (C) {a | a ? 9} (D) ? 3.各项均为实数的等比数列{a n }前 n 项之和记为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40 等于 _____. (A) 150 (B) ? 200 (C) 150 或 ? 200 (D) ? 50 或 400 2 2 4.设命题 P:关于 x 的不等式 a1x + b1x + c1 > 0 与 a 2x 2 + b2x + c2 > 0 的解集相同; 命题 Q: a1 ? b1 ? c1 . 则命题 Q__________. (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 5.设 E, F, G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大小 是_________.

a2

b2

c2

( A) arcsin

6 3

(B)

?
2

? arccos

3 3

(C)

?
2

? arctg 2 (D) ? - arcctg

2 2

6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线 的三点组的个数是__________. (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果. 1.若 f (x) (x?R)是以 2 为周期的偶函数, 当 x?[ 0, 1 ]时,
1

f ( x) ? x 1998 , 则f (

98 101 104 ), f ( ), f ( )由小到大的排列是__________ ___. 19 17 15

2.设复数z ? cos? ? i sin? (0o ? ? ? 180o ),复数z, (1 ? i) z,2z在复平面上对应的三个
点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是___________. 3.从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同 的取法有________种.

4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这样 的 数列至多有_______项.

6.?ABC 中, ?C = 90o, ?B = 30o, AC = 2, M 是 AB 的中点. 将 ?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的距离为 2,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于__________. 三、 (本题满分 20 分)

5.若椭圆x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4与抛物线 x 2 ? 2 y 有公共点 , 则实数a的取值范围是____ __________ _.

已知复数 z ? 1 - sinθ ? icos θ (

?
2

? θ ? ? ), 求 z 的共轭复数 z 的辐角主值 .

四、 (本题满分 20 分) 设函数 f (x) = ax 2 + 8x +3 (a<0). 对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) ,使得在整 个 区间 [0, l (a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l (a)最大? 求出这个最大的 l (a). 证明你的结论. 五、 (本题满分 20 分) 已知抛物线 y 2 = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b 2 ? 2pa).M 是抛物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2.)直线 M1M2 恒过一个定点. 并求出这个定点的坐标.


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