当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


2015—2016 学年度第一学期期中考试 高 二 数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 上 . . 1. 命题“ ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 2. 与 双 曲 线 x ?
2 2




<

br />y ? 1 有 相 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 (2, 2) 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2
. ▲ .

________▲
2
2 2

3. 抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? 1 ,则焦点坐标是

x y 4 4. 已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为 y= x,那么该双曲线的离心率为 a b 3 ▲ .
5. 若椭圆

x2
25

?

y2
9

? 1 上一点到左准线的距离为 5,则该点到右焦点的距离为 ▲ .
▲ .

6. 曲线y ?

x 在点(?1, ?1)处的切线方程为 x?2

1 7. 函数 f (x)= x +a(x≠0) ,则“ f (?1) ? ?1 ”是“函数 f (x)为奇函数”的 ▲ 条 3 -1 件(用“充分不必要” , “必要不充分” “充要” “既非充分又非必要”填写) . 8. 已知函数 f ( x) ? 9. 函数 f ? x ? ?

1 x ? e (sin x ? cos x)在区间[0, ] 上的值域是 2 2
.



.

ln x 的单调递增区间是____▲ x

10. 已知命题 p : “若 m ≤ 0 ,则 x 2 - 2 x + m = 0 有实数解”的逆命题;命题 q : “若函数 .以下四个结论: f ( x) = lg (x2 + 2 x + a) 的值域为 R ,则 a > 1 ” ① p 是真命题;② p ? q 是假命题;③ p ? q 是假命题;④ ?q 为假命题. 其中所有正确结论的序号为 ▲ . 2 11.若函数 f (x)=mx +lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是__▲ . 12. 设 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,C 的一个动点到 F 的最大距离为 d , a b 若 C 的右准线上存在点 P ,使得 PF ? d ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ▲ .
x2 y 2 2 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 2 a b 2 圆于 A, B 两点,且斜率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2 的值为 ▲ .

13 .已知椭圆

14、若函数 f ( x) ? ln x ?

a 3 在 [1, e] 上的最小值为 ,则实数 a 的值为 x 2



.

二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤.) 15. (本小题满分 14 分) 已知命题 p :实数 m 满足:方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 )表示双曲线;命题 q : m ? 3a m ? 4a

-1-

实数 m 满足方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条 m ?1 2 ? m

件,求实数 a 的取值范围。

16. (本小题满分 14 分)

,f (1))处的切线与直线 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c( a ? 0) , f (0) ? 0 ,其图象在点 (1 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f ?( x ) 的最小值为 ?12 .
(1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 ??13 , ? 上的最大值和最小值.

-2-

17. (本小题满分 14 分)

点 ? 的坐标.

x2 y 2 1 2 x 的焦点 F 在椭圆 ? ? 1 上.命题 q : 直线 l 经过抛物线 4 2 b x2 y 2 1 y ? x 2 的焦点 F ,且直线 l 过椭圆 ? ? 1 的左焦点 F1 , p ? q 是真命题. 4 2 b (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)直线 l 与抛物线相交于 ? 、 ? ,直线 l1 、 l2 分别切抛物线于 ? 、 ? ,求 l1 、 l2 的交
已知命题 p : 抛物线 y ?

18、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? ln x , g ( x) ? x2 ? 2bx ?

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

1 2

7 . 8

1 时,函数 f ( x) 在 (0, 2] 上的最大值为 M ,若存在 x ?[1,2] ,使得 4 g ( x) ? M 成立,求实数 b 的取值范围.
(Ⅲ)当 a ?

-3-

19、 (本小题满分 16 分)

4 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (4m,0)(m ? 0) 且 m 为常数, 离心率为 , 2 5 a b 过焦点 F 、倾斜角为 ? 的直线 l 交椭圆 C 与 M,N 两点, (1)求椭圆 C 的标准方程; 1 1 5 2 ? ? (2)当 ? = 90 时, = ,求实数 m 的值; MF NF 9 1 1 ? (3)试问 的值是否与直线 l 的倾斜角 ? 的大小无关,并证明你的结论。 MF NF
椭圆 C :

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2ax . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(0,1)处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1,??) 上的最小值为 0,求 a 的值; (Ⅲ)若对于任意 x ? 0, f ( x) ? e 恒成立,求 a 的取值范围.
?x

泰兴市第一高级中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高二数学答案与评分标准

x2 y 2 5 ? ? 1 3. (0,-1) 4. 5. 6 3 2 4 ? 1 1 2 6. 2x-y+1=0 7. 充要 8. [ , e ] 9. (0, e? (写成开区间也算对) 2 2 1 1 ?1 ? 10. ②③ 11. [ ,+∞) 12. ? ,1? 13. ? 14. ? e 2 2 ?2 ?
2 1. ?x ? R x ? x ? 1 ? 0

2.

-4-

16. 解: (1) f / ( x) ? 3ax2 ? b

?c ? 0 ?b ? ?12 ? 由题意可得 ? 得 a ? 2, b ? ?12, c ? 0 ?3a ? b ? ?6 ? ?a ? 0
(2) f ( x) ? 2 x3 ?12 x 令 f / ( x) ? 0 得x?

????????6 分

即 f / ( x) ? 6x2 ?12

2或x ? ? 2

所以 f ( x) 的单调增区间为 ( 2, ??) 和 (??, ? 2) 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x) (?1, 2) 上单调递减,在 ( 2,3) 的单调递增 且 f (?1) ? 10, f (3) ? 18, f ( 2) ? ?8 2 , 因此 f ( x) 的最小值为 f ( 2) ? ?8 2 ,最大值为 f (3) ? 18 ?????14 分

1 2 x 的焦点为 F (0,1) ,????????2 分 4 x2 y2 ? ? 1 得, b ? 1.????????4 分 ∵ p ? q 是真命题,∴将 F (0,1) 代入 2 b x2 ? y 2 ? 1 ,它的左焦点是 F1 (?1,0) .????????6 分 ∴椭圆方程是 2 ∴直线 l 的方程是 y ? x ? 1 .????????7 分
17.解: (Ⅰ)抛物线 y ?

? x2 ?y ? , (Ⅱ)不妨假设定点 A 在第二象限,由方程组 ? 得 A(2 ? 2 2,3 ? 2 2) , 4 ? y ? x ? 1. ? B(2 ? 2 2,3 ? 2 2) .????????9 分 1 1 由 y ? x2 得, y? ? x ,所以直线 l1 、 l2 的斜率分别是 1 ? 2 、 1 ? 2 ,????10 分 2 4 ∴ l1 、 l2 的方程分别是 y ? (3 ? 2 2) ? (1 ? 2)( x ? 2 ? 2 2) 、 y ? (3 ? 2 2) ?

(1 ? 2)( x ? 2 ? 2 2) .????????12 分
-5-

解两个方程构成的方程组得 P(2, ?1) .????????14 分 18. (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ? ln x

f (1) ? ?1 ? ln1 ? ?1

f '( x) ? ?1 ?

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 y ? ?1 ???????????.?4 分 (Ⅱ) f '( x) ? ax ? (a ? 1) ?

1 x

f '(1) ? 0

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? ? ( x ? 0) ?????5 分 x x x x ?1 x ?1 ① 当 a ? 0 时,解 f '( x) ? ? ? 0 ,得 x ? 1 ,解 f '( x) ? ? ? 0 ,得 x ? 1 x x 所以函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) ,递减区间为 ?1, ?? ? ????????7 分
② a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? i)当 0 ? a ? 1 时,

1 a

1 ?1 a

x

(0,1) )

1

1 (1, ) a


1 a

1 ( , ??) a
+ 增 ????????9 分

f’(x) + f(x) 增

函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) , ? ii)当 a ? 0 时,

1 ?1 ? , ?? ? ,递减区间为 (1, ) ????????10 分 a ?a ?

1 ?0 a 在 ? 0,1? 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ??) 上 f '( x) ? 0
函数 f ( x ) 的递增区间为 ? 0,1? ,递减区间为 (1, ??) ?????????11 分 综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的递增区间为 ? 0,1? ,递减区间为 (1, ??) 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 的递增区间为 (0,1) 和 ?

1 ?1 ? , ?? ? ,递减区间为 (1, ) a ?a ?
????????12 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 所以 M ? f (1) ? ?

1 时, f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1,2) 上是减函数, 4
????????????13 分

9 , 8
9 8

存在 x ? [1, 2] ,使 g ( x ) ? ?

2 即存在 x ? [1, 2] ,使 x ? 2bx ?

7 9 ?? , 8 8

方法一:只需函数 g ( x) 在[1,2]上的最大值大于等于 ?

9 8
????16 分

9 ? g (1) ? ? ? ? 8 所以有 ? ? g (2) ? ? 9 ? 8 ?
2 方法二:将 x ? 2bx ?

7 9 ? 1 ? 2b ? ? ? ? 3 ? 8 8 即? 解得: b ? 2 ?4 ? 4b ? 7 ? ? 9 ? 8 8 ?
整理得 b ?

7 9 ?? 8 8

x 1 3 ? ? [ 2, ], x ? [1, 2] 2 x 2

-6-

3 3 ? x 1? ????..16 分 ? ? ? 所以 b 的取值范围是 (??, ] . 2 ? 2 x ?max 2 4 x2 y2 c ? 4 m a ? 5 m ? ? 1 ????4 分 19、解: (1) , e ? 得: ,椭圆方程为 5 25m 2 9m 2 9m 81m 2 2 (2)当 x ? 4 m 时, y ? ,得: y ? , 5 25 9m 1 1 10 5 2 ? 于是当 ? = 90 时, NF ? MF ? ,于是 , ? ? ? 5 NF MF 9m 9 得到 m ? 2 ?????? 9 分 1 1 10 ? ? ? (3)①当 ? = 90 时,由(2)知 ??????10 分 NF MF 9m ? ②当 ? ? 90 时,设直线的斜率为 k , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 则直线 MN: y ? k ( x ? 4m)
从而有 b ? ? 联立椭圆方程有 (9 ? 25k 2 ) x2 ? 200k 2mx ? 25m2 (16k 2 ? 9) ? 0 ,

200k 2 m 25m2 (16k 2 ? 9) , ,??????????11 分 x · x ? 1 2 (9 ? 25k 2 ) (9 ? 25k 2 ) 4 10m ? ( x1 ? x2 ) 1 1 90m(1 ? k 2 ) 1 1 5 ? = + = = 2 2 16 4 4 MF NF ? x1 x2 —81m (1 ? k ) — 5m ? x1 5m ? x2 25m2 ? 4m( x1 ? x2) 25 5 5 1 1 10 ? ? 得 ????15 分 NF MF 9m 1 1 10 ? ? 综上, 为定值,与直线 l 的倾斜角 ? 的大小无关 ??????16 分 NF MF 9m 20. 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? e x ? 2 x, f ?( x) ? e x ? 2 , ????2 分 所求切线的斜率为 f ?(0), f ?(0) ? 3 。 3分 所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (0,1) 处的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 。????4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? e x ? 2ax ? 0 ,不符合题意。 ????5 分 当 a ? 0 时, f ?( x) ? e x ? 2a , 令 e x ? 2a ? 0 ,得 x ? ln(?2a) , ????6 分 所以, 当 x ? (??, ln(2a)) 时, f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (ln(?2a),??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。 ????7 分 e ①当 ln(?2a) ? 1 ,即 ? ? a ? 0 时, f ( x ) 最小值为 f (1) ? 2a ? e 。 2 e 解 2a ? e ? 0 ,得 a ? ? ,符合题意。 ???? 8 分 2 e ②当 ln(?2a) ? 1 ,即 a ? ? 时, f ( x ) 最小值为 f (ln(?2a)) ? ?2a ? 2a ln(?2a) 。 2 e 解 ? 2a ? 2a ln(?2a) ? 0 ,得 a ? ? ,不符合题意。 ????9 分 2 e 综上, a ? ? 。 ????10 分 2 (Ⅲ)构建新函数 g ( x) ? e x ? e? x ? 2ax, g ?( x) ? e x ? e? x ? 2a 。 x1 ? x2 ?
-7-

①当 2a ? ?2 ,即 a ? ?1 时, 因为 e x ? e ? x ? 2 ,所以 g ?( x) ? 0 。 (且 a ? ?1 时,仅当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 。 ) 所以 g ( x) 在 R 上单调递增。 又 g (0) ? 0 ,所以,当 a ? ?1 时,对于任意 x ? 0 都有 g ( x) ? 0 。 ②当 a ? ?1 时,解 e x ? e ? x ? 2a ? 0 ,即 (e x ) 2 ? 2aex ? 1 ? 0 , 得 ? a ? a 2 ? 1 ? e x ? ?a ? a 2 ? 1 , 其中 0 ? ?a ? a 2 ? 1 ? 1,?a ? a 2 ? 1 ? 1 。 所以 ln(?a ? a 2 ? 1) ? x ? ln(?a ? a 2 ? 1) , 且 ln(?a ? a 2 ? 1) ? 0 , ln(?a ? a 2 ? 1) ? 0 。 所以 g ( x) 在 (0, ln(?a ? a 2 ? 1)) 上单调递减。 又 g (0) ? 0 ,所以存在 x0 ? (0, ln( ?a ? 综上,a 的取值范围为 [?1, ?∞) 。

a 2 ? 1)) ,使 g ( x0 ) ? 0 ,不符合题意。
????????????16 分

-8-


相关文章:
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 学年度第一学期期中考试 高二数学一、填空题:本大题共 14 ...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二英语上学期期中试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二英语上学期期中试题_英语_高中教育_教育专区。2015—2016 学年度第一学期期中考试 高二英语第Ⅰ卷( 选择题 共 77 分...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二化学上学期期中试题(必修)
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二化学上学期期中试题(必修)_理化生_高中教育_教育专区。2015—2016 学年度第一学期期中考试 高二化学(必修)本卷可能用...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。2015 — 2016 学年度第一学期期中考试 高二数学 命题人: 一、填空题...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学下学期第三次阶段测试试题 文
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学学期第三次阶段测试试题 文_数学_初中教育_教育专区。2016 年春学期高二年级阶段测试(三) 数学(文)试卷一、...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学学期期中试题 文_数学_初中...1 ? ? ? 2, 则实数 2 t 的取值范围是 . 11.已知定义在 R 上的函数 ...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学学期期中试题 理_数学_初中教育_教育专区。2015~2016 学年度第二学期期中考试 高二数学试题 (理) 考试时间:120...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试语文试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试语文试题_语文_高中教育_教育专区。2015~2016 学年度第一学期期中考试 高二语文试题(考试时间:150 分钟 ...
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。2015—2016 学年度第一学期期中考试 高一数学试题 (考试时间:120 分钟 ...
更多相关标签:
2016高二上学期数学题 | 江苏省泰兴中学 | 江苏省泰兴经济开发区 | 江苏省泰兴市 | 江苏省泰州市泰兴市 | 江苏省泰兴市人民法院 | 江苏省泰兴市人民医院 | 江苏省泰兴市黄桥镇 |