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2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第49讲直线与圆圆与圆的位置关系课件理


第 八 章 解析几何 第49讲 直线与圆、圆与圆的位置 关系

考纲要求 1.能根据给定直线、 圆的方程判断直线与 圆的位置关系;能根 据给定两个圆的方程 判断两圆的位置关 系.

考情分析 2016,全国卷Ⅱ, 4T

命题趋势

圆的方程、直线 2016,全国卷Ⅲ, 与圆的位置关系在各 16T 省市的高考中几乎是 2015,重庆卷,8T 年年考,一般单独命 2015,江苏卷, 题.但有时也与圆锥 2.能用直线和圆的 10T 曲线等知识综合,重 方程解决一些简单的 点考查函数与方程, 问题. 数形结合及转化与化 3.初步了解用代数 分值:5分 归思想的应用. 方法处理几何问题的 思想.

栏目导 航

板 块 一 板 块 二

板 块 三

板 块 四

? 1.直线与圆的位置关系 相交 、______ 相切 ? (1)三种位置关系:______ 、 _________. 相离 ? (2)两种研究方法

(3)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0 -b)(y-b)=r2. ③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x +y0y=r2.

2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0).
方法 几何法:圆心距d与 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 r1,r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 代数法:两圆方程联立组成 方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

? 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). ? (1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相 切.( √ ) ? (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两 圆外切.( × ) ? (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相 交.( × ) ? (4)从两圆的方程中消掉二次项后的所得方程为公共弦所在 直线方程.( × ) ? (5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点 为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+ y0y=r2.( √ )

? 解析:(1)正确.直线与圆组成的方程组有一 组解时,直线与圆相切,有两组解时,直线 与圆相交. ? (2)错误.因为除外切外,还可能内切. ? (3)错误.因为除小于两半径和还需大于两半 径差的绝对值,否则可能内切或内含. ? (4)错误.只有当两圆相交时,方程才是公共 弦所在的直线方程.

? x0? 2 ? y0? 2 ?x0? 2 (5)正确.由已知可得O,P,A,B四点共圆,其方程为 ?x- 2 ? + ?y- 2 ? = ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?y0?2 +? 2 ? , ? ?

即x2+y2-x0x-y0y=0,① 又圆O方程为x2+y2=r2,② ②-①得x0x+y0y=r2, 而两圆相交于A,B两点, 故直线AB的方程是x0x+y0y=r2.

B y-5=0 ? 2.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+ 的位置关系是( ) ? A.相切 B.相交但直线不过圆心 ? C.相交过圆心 D.相离
|2×1-2-5| 解析:由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d= = 5 2 2 +1 < 6,且2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心.

B y2-4y ? 3.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+ =0的位置关系是 ( ) ? A.相离 B.相交 ? C.外切 D.内切
解析:圆O1的圆心为(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心为(0,2),半径r2=2,故两圆 的圆心距|O1O2|= 5 ,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两圆相 交.

4.圆x2+y2-4x=0在点P(1, 3)处的切线方程为( D ) A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

解析:圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上,设 切线方程为y- 3=k(x-1),即kx-y-k+ 3=0, |2k-k+ 3| 3 ∴ ,解得k= 3 . 2 k +1 3 ∴切线方程为y- 3= 3 (x-1),即x- 3y+2=0.

2 3 5.直线x-2y+5=0与圆x2+y2 =8相交于A,B两点,则??AB??=______.

解析:如图,取AB中点C, 连接OC,OA, 则OC⊥AB, |OA|=2 2,|OC| |0-2×0+5| = 2 2 = 5, 1 +?-2? ∴|AC|= 8-5= 3, ∴|AB|=2|AC|=2 3.

?一 直线与圆的位置关系
? 判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心 到直线的距离,注意求距离时直线方程必须 化成一般式.

【例1】(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( A ) A.相交 C.相离 A.b∈(-1,1] C.b=± 2 B.相切 D.不确定 B.b=- 2 D.b∈(-1,1]或b=- 2

(2)若直线y=x+b与曲线x= 1-y2恰有一个公共点,则b的取值范围是 ( D )

解析:(1)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d= <1< 5,故直线l与圆相交.

|m| m2+1

(2)由x= 1-y2 知,曲线表示半圆(如图所示),让直线y=x+b 在图形中运动,可知当-1<b≤1时,与半圆有一个公共点;当直线 |b| 与半圆相切时,也与半圆只有一个公共点,此时 =1,求得b= 2 2(舍去)或b=- 2.

?二 弦长问题
? 求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑弦心 距、垂线段作为直角边的直角三角形,利用 勾股定理来解决问题.

【例2】

(2015· 全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y

-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; → → (2)若OM· ON=12,其中O为坐标原点,求??MN??.
解析:(1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1. 因为直线l与圆C交于两点, |2k-3+1| 4- 7 4+ 7 所以 2 <1,解得 3 <k< 3 , 1+k
?4- 所以k的取值范围为? ? 3 ?

7 4+ 7? ? , 3 ?.
?

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2 -4(1+k)x+7=0. 4?1+k? 7 所以x1+x2= ,x x = . 1+k2 1 2 1+k2 4k?1+k? → → 2 OM· ON=x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+k(x1+x2)+1= +8. 1+k2 4k?1+k? 由题设得 +8=12,解得k=1, 1+k2 所以直线l的方程为y=x+1. 故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.

?三 圆的切线问题
? 求圆的切线方程应注意的问题 ? 求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点 与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆 上(即为切点),则过该点的切线只有一条; 若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时 应注意斜率不存在的切线.

【例3】 已知点P( 2+1,2- 2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C切线方程; (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
解析:由题意得圆心C(1,2),半径r=2. (1)∵( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4, ∴点P在圆C上. 2- 2-2 1 又kPC= =-1,∴切线的斜率k=-k =1. 2+1-1 PC ∴过点P的圆C的切线方程是y-(2- 2)=1×[x-( 2 +1)],即x-y+1-2 2 = 0.

(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4, ∴点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0, |k-2+1-3k| 则圆心C到切线的距离d= =r=2, 2 k +1 3 解得k=4.

3 ∴切线方程为y-1=4(x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. ∵|MC|= ?3-1?2+?1-2?2= 5, ∴过点M的圆C的切线长为 |MC|2-r2= 5-4=1.

?四 圆与圆的位置关系
? (1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和 或差的关系判断,一般不采用代数法. ? (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方 程可由两圆的方程作差得到.

【例4】 已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1. (1)若圆C1与圆C2外切,求ab的最大值; (2)若圆C1与圆C2内切,求ab的最大值; (3)若圆C1与圆C2相交,求公共弦所在的直线方程; (4)若圆C1与圆C2有四条公切线,试判断直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1 的位置关系.

解析:(1)由圆C1与圆C2相外切,可得 ?a+b?2+?-2+2?2 =2+1=3,即(a+b)2
?a+b? ? ?2 9 =9,根据基本(均值)不等式可知ab≤ ? ? = 4 ,当且仅当a=b时等号成立,ab的 ? 2 ?

9 最大值为4.

(2)由C1与C2内切得 ?a+b? +?-2+2? =1,即(a+b) 1 当且仅当a=b时等号成立,可知ab的最大值为4.

2

2

2

?a+b? 1 ?2 =1,又ab≤? ? 2 ? =4, ? ?

(3)由题意得,把圆C1,圆C2的方程都化为一般方程. 圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,① 圆C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,② 由②-①,得(2a+2b)x+3+b2-a2=0, 即(2a+2b)x+3+b2-a2=0为所求公共弦所在的直线方程.

(4)由两圆存在四条切线,可知两圆外离, 故 ?a+b?2+?-2+2?2>3. ∴(a+b)2>9,即a+b>3或a+b<-3. |a+b-1| 又圆心(a,b)到直线x+y-1=0的距离d= >1, 2 ∴直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相离.

2 ? 1.直线l:mx-y+1=0与圆C:x2+ ( y - 1) C =5的位置关系是( ) ? A.相切 B.相离 ? C.相交 D.不确定 ? 解析:由直线l:mx-y+1=0,得y-1=m(x -0),因此直线l恒过点(0,1).又点(0,1)是圆 C的圆心,所以直线l与圆C的位置关系是相 交,故选C.

2.若直线x-y=2被圆(x-1)2+(y+a)2=4所截得的弦长为2 2 ,则实数a的值为 ( D) A.-2或6 C.-1或 3 B.0或4 D.-1或3

解析:圆心坐标为(1,-a),弦长为2 2 ,∴圆心到直线x-y-2=0的距离为d |1+a-2| = 4-2= 2,即 2= ,∴|a-1|=2,∴a=-1或3,故选D. 2

1 3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2 3,则a=___.
1 解析:两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为y= a .又a>0,结合图象, 1 再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形,可知a= 22-? 3?2=1?a=1.

4.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y-1=0上,则 ? ? 3 5-3- 6 ?PQ?的最小值为________________.

解析:圆x2+y2-8x-4y+11=0的标准方程为(x-4)2+(y-2)2=9,圆x2+y2+ 4x+2y-1=0的标准方程为(x+2)2+(y+1)2=6. |PQ|min=两圆圆心距-R-r(R,r分别为两圆半径), 圆心距d= ?4+2?2+?2+1?2=3 5, ∴|PQ|min=3 5-3- 6.

?易错点 缺乏转化思想致误

? 错因分析:不能将问题等价转化为两圆的位置关系,而是根据题意设出 直线方程,利用点到直线的距离公式建立等式,但因运算太复杂而无法 求解. ? 【例1】 在平面直角坐标系xOy中,若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0) 的距离为3的直线恰有两条,则实数m的取值范围为________.

解析:因为与点A(2,2)的距离为1的直线都是以点A(2,2)为圆心,半径为1的圆的 切线,与点B(m,0)的距离为3的直线都是以点B(m,0)为圆心,半径为3的圆的切线,所 以与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条,即圆A与B有两条公 切线,也即两圆相交,所以2<??AB??<4,解得2-2 3<m<2或2<m<2+2 3. 答案:(2-2 3,2)∪(2,2+2 3)


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