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第六章不等式


第六章 不等式
第一节 不等关系与不等式

考试说明: (1)了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景; (2) 会比较两个实数的大小,掌握不等式的基本性质。 知识梳理: 1、 比较实数的大小原理 (1) 差值比较原理:设 a , b ? ? ,则 a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0 a ?

b ? a ? b ? 0 (2) 商值比较原理:设 a , b ? ? ? ,则 2、 不等式的性质 (1) 对称性: a ? b ? (2) 传递性: a ? b , b ? c ? (3) 可加性: a ? b ? (4) 可乘性: a ? b , c ? 0 ?
a ? b ? 0, c ? d ? 0 ?

a b

?1? a ? b,

a b

?1? a ? b,

a b

?1? a ? b

; a ? b, c ? d ? ; a ? b, c ? 0 ?

(5) 倒数性: a ? b , a b ? 0 ? i (6) 乘方性: a ? b ? 0 ? (7) 开方性: a ? b ? 0 ? 基础检测: (1)下列推导中正确的是 A. a ? b , a ? c ? b ? c C. a ? b ? c ? a ? c (2)若
1 a ? 1 b
( n ? 2, n ? ? )
*

( n ? 2, n ? ? )
*





B. a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d D. a ? b , c ? d ? a ? d ? b ? c
a b ? b a ? 2 中,正确的不等式有

? 0 ,则下列不等式:① a ? b ? a b ; ② a ? b ;③ a ? b ④

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (3)下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要条件是: ( A. a ? b ? 1 (4)(教材习题改编) 3 ? B. a ? b ? 1
7 与 2 5 的大小关系为

) D. a ? b
3 3

C. a ? b
2

2

(5)限速 4 0 km / h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度? 不超过 4 0 km / h ,写成不等
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式就是 A.? ? 40 km / h 例题讲解 探究点一:比较大小

( B. v ? 4 0 km / h C. v ? 40 km / h

) D. v ? 4 0 km / h

例 1(1)(2012 昌平模拟)若 a , b 是任意实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a ? 1 ? b ? 1
2 2

)

B.

b a

?1

C. lg ( a ? b ) ? 0

D. ( ) ? ( )
a

1

1

b

3

3

(2)已知 a1 , a 2 ? (0,1) , M ? a1 a 2 , N ? a1 ? a 2 ? 1 则 M 与 N 的大小关系为( A. M ? N B. M ? N C. M ? N D.不确定

)

思考:若将 a1 , a 2 ? (0,1) 改为 a1 , a 2 ? (1, ? ? ), 大小关系又如何?

(3)已知 a ? b ? 0 ,比较 a b 与 a b 的大小
a b b a

比较大小的常用方法:①作差法 ②作商法(要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论) ③特值法 Ex1:(2012 郑州模拟)已知 a ? b ? 2 ,现有下列不等式:① b ? 3 b ? a ;② ab ? a ? b 。其中正确的有
2

A. ①

B. ②

C. ①②

D.都不正确

(2012 吉林联考)已知实数 a , b , c 满足 b ? c ? 6 ? 4 a ? 3 a ,c ? b ? 4 ? 4 a ? a ,则 a , b , c 的大小关系是
2 2

A. c ? b ? a

B. a ? c ? b

C. c ? b ? a

D. a ? c ? b

探究点二:不等式的性质 例 2:(1) (2012 天津调研)已知三个不等式:① ab ? 0 ,② 余下一个作为结论,则可以组成的正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3
c a ? d b

,③ b c ? a d ,以其中两个作为条件

( D.0



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(2) (2011 张家界模拟)给出下列命题:①若 a ? b ,则 ③若 a c ? b c 则 a ? b ;④若 c ? a ? b ? 0 ,则
2 2

1 a

?

1 b

;②若 a ? b ,且 k ? ? * ,则 a ? b
k

k

1 2



a c?a

?

b c?a

。其中假命题是
1 a ?1 ? 1 b ?1

(只填序号) )

(3) (2012 嘉兴模拟)已知 a , b 为实数,则“ a ? b ? 1 ”是” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

”的(

D.既不充分也不必要条件
1 a c a c b

Ex2: (2011 浙江改编)若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? (1)

”的

条件

(2) (2012.湖南)设 a ? b ? 1, c ? 0 给出下列三个结论:① ③ lo g b ( a ? c ) ? lo g a ( b ? c ) ,其中所有的正确结论序号是( A. ① B. ①② C. ②③

?

; )

②a ? b ;
c c

D. ①②③
1 b 1 a

(3) (2012 四川)设 a , b 为正实数,现有下列命题:①若 a ? b ? 1, 则 a ? b ? 1 ;②
2 2

?

? 1 ,则

a ? b ? 1 ;③若

a ?

b ? 1 ,则 a ? b ? 1 ;④若 a ? b
3

3

? 1 ,则 a ? b ? 1 .其中真命题有

探究点三:不等式性质的应用 例 3:已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ,且 1 ? f ( ? 1) ? 2, 2 ? f (1) ? 4, 求 f ( ? 2 ) 的取值范围.
2

Ex3:已知 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,求

? ?? ? ??
, 2 2

的取值范围.

1、同向不等式相加或相乘不是等价变形,解题过程中多次使用有可能扩大所求范围. 2、此类问题的解决方法是:先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性” 使用不等式的运算求得待求整体的范围。 课时小结: 课时作业: (1) (2012 重庆)已知 a ? lo g 2 3 ? lo g 2
3 , b ? lo g 2 9 ? lo g 2 3 , c ? lo g 3 2 ,则 a , b , c 的大小关系(



A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? b ? c D. a ? b ? c (2)(2012 黄冈模拟)设 0 ? b ? a ? 1 ,则下列不等式成立的是(
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A. ab ? b ? 1
2

B. lo g 1 b ? lo g 1 a ? 0
2 2

C. 2 ? 2 ? 2
b a

D. a ? ab ? 1
2

(3) (2008 广东)设 a , b ? ? ,若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中成立的是( A. b ? a ? 0 B. a ? b ? 0
3 3


2 2

C. a ? b ? 0

D. a ? b ? 0

(4)若 1 ? ? ? 3, ? 4 ? ? ? 2 ,则 ? ? ? 的取值范围为

第二节 一元二次不等式的解法
考试说明:1、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2、 通过函数图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系; 3、 会解一元二次不等式。 知识梳理: 1、 一元一次不等式 ax ? b ( a ? 0) 的解集为: (1) a ? 0 时 2、 一元二次不等式 一元二次不等式 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 或 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解集的各种情况如下表:
2 2

(2) a ? 0 时


三个二次

△>0

△=0

△<0

y ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0) 图 象

x1

x2 x1 ? x 2

ax ? bx ? c ? 0
2

x ? x1 或 x ? x 2

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无 解
?

ax ? bx ? c ? 0
2

?x

x ? x 1 或 x ? x2 ?

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

(a ? 0) 解 集 ax ? bx ? c ? 0
2

?x

x1 ? x ? x 2 ?
2 2

?

?

(a ? 0) 解 集

思考:若 a<0,则一元二次不等式 ax +bx+c>0 与 ax +bx+c<0 的解集又将如何?

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3、 (1)不等式 ax ? bx ? c ? 0( a ? 0), x ? ? 恒成立 ?
2

(2)不等式 ax ? bx ? c ? 0( a ? 0), x ? ? 恒成立 ?
2

注:若 a 可以为 0 ,需要分类讨论,一般优先思考 a ? 0 的情况
4、分式不等式与一元二次不等式的关系 设 a ? b,
x?a x?b

x?a x?b

? 0 等价于
x?a



x?a x?b

? 0 ? ( x ? a )( x ? b ) ? 0 ;

?0?



? ( x ? b )( x ? a ) ? 0 ?0? ? x?b ? 0 x?b ?

基础检测: (1)不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集为
2

(2)不等式 2

x ?2 x?4

2

?

1 2

的解集为
? ? 1? ? ,则 a b ? 4?

2 (3) 、若不等式 a x ? b x ? 2 ? 0 的解集为 ? x ? 2 ? x ?

(4)不等式 a ? 2 a x ? 1 ? 0 对一切 x ? ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

(5)若关于 x 的方程 x ? m x ? 1 ? 0 有两个不相等的实根,则实数 m 的取值范围为
2

例题讲解 探究点一:一元二次不等式的解法 例 1: (2011 江西)若 f ( x ) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ?( x ) ? 0 的解集为 (1)
2





A. ? 0, ? ? ?

B.

? ? 1, 0 ? ? (2, ? ? )

C.

? 2, ? ? ?

D. ( ? 1, 0)

(2)解不等式 lo g 2 ( ? x ? 3 x ) ? 1
2

Ex1: (2012 南昌模拟)不等式 (1)

x?2 x ?1
2

? 0 的解集为

x ? ? , x ? 0 则不等式 f ( x ) ? f ( 4 ) 的解集为( (2) (2012.南通二模)已知 f ( x ) ? ? 2 ?? x 2 ? 3 x, x ? 0 ?



A. ? x x ? 4 ?

B. ? x x ? 4 ?

C. ? x ? 3 ? x ? 0 ?

D. ? x x ? ? 3?

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探究点二:含参不等式的解法 例 2: (1)解关于 x 的不等式: a x ? (2 a ? 1) x ? 2 ? 0
2

(2)解关于 x 的不等式: x ? x ? a ? 0
2

Ex2:解关于 x 的不等式

ax ? 1 x ?1

?0

1、解含参的一元二次不等式的步骤: (1) 二次项若含参应讨论是否等于 0,大于 0,小于 0 等式转化为二次项系数为正的形式,然后 将 ; (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 ? 与 0 的关系; (3)确定无根时可直接写出解集, 确定有两根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式。 2、解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对参数进行分类讨论;若不能因式分解,则 可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏。若二次项系数含参数,则不要忘了二次项系数是否
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为零的情况。 探究点三:含参的一元二次不等式恒成立问题 例 3:已知不等式 m x ? 2 x ? m ? 1 ? 0
2

(2) 若对任意实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围。 (3) 若对一切 m ? ? ? 2, 2 ? 不等式恒成立,求 x 的取值范围。

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数。一般知道谁的范围,就选谁为主元, 求谁的范围,谁就是参数。 (2) 对于二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方。 Ex3: (1)已知 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 2 ( a ? ? ) ,当 x ? ? ? 1,1 ? 时, f ( x ) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

(2) (2011 浙江)设函数 f ( x ) ? a ln x ? x ? a x , a ? 0
2 2

①求 f ( x ) 的单调性; ②求所有的实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x ) ? e 对 x ? ?1, e ? 恒成立。
2

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课时小结:

课时作业:
x ?9
2

(1)(2012 江西)不等式

x?2

? 0 的解集为

(2)(2007 安徽)若对任意 x ? R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. a<-1 B. a ≤1
2

)

C. a <1

D.a≥1 )

(3) (2009 重庆)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3 a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. ( ? ? , ? 1] ? [4, ? ? ) B. ( ? ? , ? 2] ? [5, ? ? ) C. [1, 2 ] D. ( ?? ,1] ? [2, ?? )

.

b (4) (2012 江苏)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? a x ? b ( a , ? R ) 的值域为 [0 ,? ? ) ,若关于 x 的不等式 f ( x ) ? c 的

解集为 ( m ,m ? 6 ) ,则实数 c 的值为 (5) (2102 福建)已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 a ? 0 在 ? 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是_________.
2

(6)(2012 杭州模拟)若不等式 x ? a x ? 1 ? 0 对一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值为 2
2

? ?

1? ?

(

)

A. 0

B. ? 2

C. ?

5 2

D. ? 3

第三节

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考试说明:1、会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; 2、了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; 3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 知识梳理: 1、 二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 A x ? B y ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 A x ? B y ? C ? 0 某一侧的 所有点组成的平面区域(半平面) , 边界直线。 边界直线。

不等式 A x ? B y ? C ? 0 所表示的平面区域(半平面)

(2)直线 A x ? B y ? C ? 0 同一侧的所有点 ( x , y ) ,使得 A x ? B y ? C 的值符号相同,也就是位于直线
A x ? B y ? C ? 0 某一侧的所有点,其坐标适合 A x ? B y ? C ? 0 ( A x ? B y ? C ? 0 ) ;而位于直线 A x ? B y ? C ? 0 另一侧所有点,其坐标适合

2、 线性规划的有关概念
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名称 约束条件

意义 由变量 x , y 组成的 由 x , y 组成的 程)组成的不等式组 不等式(或方

线性约束条件

目标函数 线性目标函数 可行解

关于 x , y 的函数解析式, z ? 2 x ? 3 y 等

关于 x , y 的 满足线性约束条件的

解析式
y

2x ? y ? 2 ? 0

可行域

由所有可行解组成的 使目标函数取得 行解 或 的可
?1
O

最优解

y ?1

在线性约束条件下求线性目标函数 线性规划问题 的 或 问题 注:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解 不一定唯一,有时唯一,有时有多个。 基础检测: 1、写出能表示图图 6-3-1 中阴影部分的一元一次不等式组是

x

图 6-3-1

? x ?1 ? 2、 (教材习题改编)已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 ,则此不等式组表示的平面区域的面积是 ?x ? y ? 0 ?





A.

1 2

B.

1 4

C. 1

D.

1 8

? 0 ? x ?1 ? 3、 (教材习题改编)设 x , y 满足条件 ? 0 ? y ? 2 则 t ? 2 y ? x 的最大值为 ?2 x ? y ? 1 ?





A. ? 1

B. 1

C. 3

D. 4

?y ? x? 2 5 ? 4、在直角坐标平面上,不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域的面积为 ,则 t 的值为 2 ?0 ? x ? t ?





A. ? 3 或 例题讲解

3

B. ? 5 或 1

C. 1

D. 3

探究点一:二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1 : 1 ) 如 图 Δ ABC 中 , A(0,1),B(-2,2),C(2,6), 写 出 Δ ABC 区 域 所 表 示 的 二 元 一 次 不 等 组 。 (
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? ? ? Ex1: (2011 湖北)直线 2 ?y? 0?0与不等式组 ? (1) x 1 ? ? ?

x ? 0 y ? 0 x ? y ? ? 2 4 x ? 3 y ? 20

表示的平面区域的公共点有

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.无数个

? x? y?0 ? ?2 x ? y ? 2 (2)若不等式组 ? 所表示的平面区域是个四边形,则 a 的取值范围是 y?0 ? ? x? y? a ?

探究点二:不含实际问题背景的线性规划问题
? x ? 0, ? 例 2: (2011 重庆)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , (1) 则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值为( ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?

)

(A)0

(B)2

(C)4

(D)6

? x? y?3? 0 ? (2) (2102 福建) 若直线 y=2x 上存在点 (x, 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实数 m 的最大值为 y) ( ? x?m ?



A.-1

B.1

C.

3 2

D.2

?0 ? x ? 2 ? (3) (2011 广东) 已知平面直角坐标系 xO y 上的区域由不等式组 ? y ? 2 ? ? x ? 2y ???? ??? ? ? 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2 ,1) ,则 Z ? O M ? O A 的最大值为

给定.若 M ( x , y )

A. 3

B. 4

C. 3 2

D.

4 2

1、求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域,再作出目标函数对应的直线,据题意 确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值。 2、最优解的确定方法:线性目标函数 z=ax+by 取最大值时的最优解与 b 的正负有关,当 b>0 时,最优解是将直线 ax+by=0 在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置
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得到的;当 b<0,则是向下方平移。
? x ? y ? ? 3, ? x ? 2 y ? 1 2, ? ? Ex2: (2012 四川)若变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 2 ,则 z ? 3 x ? 4 y 的最大值是( (1) ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?



A、12

B、26

C、28

D、33

? x ? y ? 11 ? 0 ? x (2) (2011 北京)设不等式组 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上存在区 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

域 D 上的点,则 a 的取值范围是( A. (1,3] B. [2,3]

) C . (1,2] D [ 3, ? ? ]

? 2 x ? y ? 4, ? (3)(2009 宁夏海南)设 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ( ? x ? 2 y ? 2, ?

)

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值
.

?x ? y ?1 ? 0 ? (4)(2009 福建)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?

积等于 2,则 a 的值为( ) A. -5 B. 1 探究点三:线性规划的实际应用

C. 2

D. 3

例 3:某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位 的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单 位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要 求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

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解决线性规划实际应用题的一般步骤: (1)认真审题分析,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数; (2)作出可行域; (3)作出目标函数值为零时对应的直线 l (4)在可行域内平行移动直线 l ,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解或无最优解; (5)求出最优解,从而得到目标函数的最值 Ex3: (1)(2011 四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派 用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人,运送一 次可得利润 350 元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z= ( ) A.4650 元 B.4700 元 C.4900 元 D.5000 元

(2)(2009 四川)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产 每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润 B 是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元

探究点四:线性规划的综合应用
?x ? y ?1? 0 ? . 例 4:实数 x,y 满足 ? x ? 0 ?y ? 2 ?

(1)若 z ?

y x

,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围。
2 2

(2)若 z ? x ? y ,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围。

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本例与常规线性规划不同,主要是目标函数不是直线形式,此类问题常考虑目标函数的几何 意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点: (1) 离。 (2)
y x
x ? y
2 2

表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; ( x ? a ) ? ( y ? b ) 表示点(x,y)与(a,b)的距
2 2

表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;

y?a x?b

表示点(x,y)与(a,b)连线的斜率。

这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键。
? x? y?2? 0 ? Ex3:已知 ? x ? y ? 4 ? 0 ,求 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

(1) z ? x ? 2 y ? 4 的最大值 (2) z ? x ? y ? 1 0 y ? 2 5 的最大值
2 2

(3) z ?

2y ?1 x ?1

的取值范围

课时小结:
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课时作业:

第四节
考试说明:1、了解基本不等式的证明过程;

基本不等式

2、会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题。 知识梳理: 1、 基本不等式 a b ?
a?b 2

(1) 基本不等式成立的条件: (2) 等号成立的条件:当且仅当 (3) 其中
a?b 2

时取等号 , a b 称为正数 a , b 的

称为正数 a , b 的

2、 几个重要的不等式 (1) a ? b ?
2 2

(a, b ? ? )

(2)

a b

?

b a

?

( a , b 同号)

(3) a b ? (

a?b 2

) (a, b ? ? )
2

(4) 不等式链:如果 a , b 都是正数,则有

2ab a?b

?

2 1 a ? 1 b

?

ab ?

a?b 2

?

a ?b
2

2

2

3、利用基本等式求最值 已知 x ? 0, y ? 0 则 (1) 如果积 x y 为定值 p 那么当且仅当 x ? y 时, x ? y 有最小值 2
p 4
2

p (简记:积定和最小)

(2) 如果和 x ? y 为定值 p 那么当且仅当 x ? y 时, x y 有最小值 基础检测: (1)已知 0 ? x ? 1 ,则 x (3 ? 3 x ) 取得最大值是 x 的值为( A.
1 3

(简记:和定积最大)



B.

1 2

C.

3 4

D.

2 3

(2)已知 m ? 0, n ? 0 ,且 m n ? 81 ,则 m ? n 的最小值( A. 18 B. 3 6 C. 81 D. 2 4 3 (3)在下列函数中,当 x ? 0 时,最小值为 2 的是( )



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2013 届高三一轮复习讲义

A. y ? ? x ?

4 x

B. y ? lg x ?

1 lg x

C. y ?

x ?1 ?
2

1 x ?1
2

D. y ? x ? 2 x ? 3
2

(4)已知 x ? 0 ,则 y ? (5)若 x ? 1 ,则 x ? 例题讲解
4

x ? 4x ?1
2

的最小值

x

x ?1

的最小值

探究点一:利用基本不等式求最值 例 1: (2011 重庆)若函数 f ( x ) ? x ? (1) A. 1 ?
2
1 x?2

( x ? 2 )在 x ? a 处取最小值,则 a ? ( D. 4 )



B. 1 ?

3

C. 3

(2) (2012 浙江)若 x ? 0, y ? 0 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3 x ? 4 y 的最小值为( A.
24 5

B.

28 5

C. 5
2 2

D. 6

(3) (2011 浙江)若实数 x , y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 (4)若 x ? ? ,求 f ( x ) ? sin x ? 1 ?
2

5 sin x ? 1
2

的最小值

Ex1: (2009 湖南改编)若 x ? 2 ,则 x ? (1) (2) (2009 重庆)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A. 2 B. 2 2 C. 4

2 x 1
a

的最小值为
? 1 b ? 2 a b 的最小值是(



D. 5
1 a )(1 ?
2 x

(3)已知 a , b 为正实数且 a ? b ? 1 ,则 (1 ?

1 b

) 的最小值为

(4) 已知 x ? 0, y ? 0, lg x ? lg y ? 1 ,求 z ?

?

5 y

的最小值

利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正; (2)和或积为定值;

(3)等号能否成立,即一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可。

探究点二:基本不等式的实际应用
第 15 页 共 17 页 2013 届高三一轮复习讲义

例 1:(2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时)
f v?x?

?x? ?

x .v ? x ?

可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

Ex2:(1)(2011 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元,若每批生产 x 件,则平 均仓储时间为
x 8

天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用 ) C.100 件 D.120 件

之和最小,每批应生产产品( A.60 件 B.80 件

课时小结:

课时作业: (1)(2012 泉州)当 x ? 1 时,不等式 x ? A. ? ? ? , 2 ? B. ? 2, ? ? ?
1 x ?1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围为(

)

C. ? 3, ? ? ? )

D. ? ? ? , 3 ?

(2)(2011·日照模拟)下列结论正确的是( A. x∈R,使 2 x ? x ? 1 ? 0 成立
2

B. ? x ? 0 ,都有 lg x ?

1 lg x

? 2 成立

C. y ?

x ?1 ?
2

1 x ?1
2

的最小值为 2

D. 0 ? x ? 2 时,函数 y ? x ?
1 a 1 b

1 x

有最大值为

3 2

(3)(2009 天津)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是 3 与 3 的 等 比 中 项 , 则
a b

?

的最小值为

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A 8

B 4

C1

D

1 4

(4)(2010 安徽)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 有正确命题的编号). ① ab ? 1 ; ② a ?
b ? 2 ;

(写出所

③ a ? b ? 2 ; ④a ? b ? 3 ;
2 2 3 3



1 a

?

1 b

? 2

(5)(2012 陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则 ( A. a ? v ?
ab



B. v ?

ab

C.

ab ? v ?

a?b 2

D. v ?

a?b 2

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