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高中数学热点难点突破-不拉分系列之(三)攻克抽象函数的五类问题


抽象函数是高中数学的难点,大多数同学感 觉找不着头绪,对抽象函数的研究往往要通过函 数的性质来体现,如函数的奇偶性、单调性和周 期性.利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函 数问题的重要策略.下面从 5 个不同的方面来探 寻一些做题的规律.

1.抽象函数的定义域 抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域,利用代换法得到不等式(组)进行求解. [典例 1] ________. 已知函数 y=f(x)的定义域是[0,8],则函数 g(x)= f?x2-1? 的定义域为 2-log2?x+1?

?0≤x -1≤8, ? [解析] 要使函数有意义,需使?x+1>0, ?2-log ?x+1?≠0, ? 2 ?1≤x ≤9, ? 即?x>-1, ?x≠3, ?
[答案] [1,3) [题后悟道] 函数 y=f(g(x))的定义域的求法, 常常通过换元设 t=g(x), 根据函数 y=f(t) 的定义域,得到 g(x)的范围,从而解出 x 的范围.在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结 构,使得分式、对数等都要有意义. 2.抽象函数的函数值 [典例 2] (文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, 则 f(-2)=( A.2 C.6 ) B.3 D.9
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则 1≤x<3,所以函数的定义域为[1,3).

[解析] 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 x=y=1,得 f(2)=2f(1)+2=6,由 0=f(2-2)=f(2) +f(-2)-8 得 f(-2)=2. [答案] A [典例 2] (理)已知定义在 R 上的单调函数 f(x)满足:存在实数 x0,使得对于任意实数 x1,x2,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立. 求:(1)f(1)+f(0); (2)x0 的值. [解] (1)因为对于任意实数 x1,x2,总有 f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,令 x1 =1,x2=0,得 f(x0)=f(x0)+f(0)+f(1),所以 f(0)+f(1)=0. (2)令 x1=0,x2=0,得 f(0)=f(x0)+2f(0),即 f(x0)=-f(0).故 f(x0)=f(1).又因为 f(x) 是单调函数,所以 x0=1. [题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法,需要结合已知条件,通过观察和多次 尝试寻找有用的取值, 挖掘出函数的性质, 特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化 解答. 3.抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与 x 对应的函数值之间的关系,从而得到函 数图象关于原点或 y 轴对称,结合函数的图形作出进一步的判断. [典例 3] 已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y),且 f(0)≠0, 求证:f(x)是偶函数. [证明] 取 x=0,y=0,得 2f(0)=2f2(0),因为 f(0)≠0,所以 f(0)=1;再取 x=0,得 f(y) +f(-y)=2f(0)· f(y)=2f(y).所以 f(y)=f(-y),所以函数 f(x)是偶函数. [题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时,等式中如果还有其他的量未解决,例 如本题中的 f(0),还需要令 x,y 取特殊值进行求解. 4.抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点, 常出现一些综合性问题, 利用导数进 行判断求解, 并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围, 再根据单 调性求解或证明抽象不等式问题.(结合本节例 2(2)学习). 5.抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性, 特别是在求自变量值较大的函数值时, 就要考虑寻找函 数的周期,从而利用周期把函数值转化为已知求出. 1 [典例 4] 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 014) 4 =________. [解析] 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n),

联立,得 f(n+2)=-f(n-1),所以 f(n+3)=-f(n),f(n+6)=-f(n+3)=f(n),所以函 1 数的周期为 T=6,故 f(2 014)=f(4)=-f(1)=- . 4 1 [答案] - 4 [题后悟道] 判断抽象函数的周期性时,给一个变量赋值是关键,但由于函数的周期性 是函数的整体性质,因此另一个变量必须具有任意性. 从以上几种类型来看,解答抽象函数问题并不是无计可施,只要我们善于观察、分析、 掌握解题规律,把抽象问题形象化、具体化,问题就可以化难为易、迎刃而解.


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