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2009年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)


试卷类型:A

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)


注意事项:

学(文科)
2009.4

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自 己所

在的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ? 球的表面积公式 S

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

? 4? R2 ,其中 R 为球的半径.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,3, 4,5? ,则 ?U ? A ? B? ? A. ?6,7,8? D. ?1,2,3,4,5? B. ?1,4,5,6,7,8? C. ?2,3?

2 2 2.如果复数 m ? 3m ? m ? 5m ? 6 i 是纯虚数,则实数 m 的值为

?

? ?

?

A.0 3.已知函数 f ? x ? ? ? A.1
2

B.2

C.0 或 3

D.2 或 3

? x ? x ? 4 ?, x ? 0, ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为 ? x ? x ? 4 ?, x ? 0. ?
B.2 C.3 D.4

4.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是

数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

第 1 页 共 13 页

A. ?x ? R , x ? 2 x ? 1≥0
2

B. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

5.在空间直角坐标系中,以点 A ? 4,, ? , B ?10, 1 6? , C ? x,, ? 为顶点的 ?ABC 是以 1 9 ?, 4 3 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为 A. ?2 B.2 C.6 D.2 或 6 6.如图 1 所示的图形是由若干个小正方体所叠成的几何体的侧(左) 1 2 2 视图与俯视图, 其中俯视图的小正方形中的数字表示该几何体在 3 同一位置上叠放的小正方体的个数,则这个几何体的正(主) 俯视图 侧(左)视图 视图是 图1

C. ?x ? R , x ? 2 x ? 1≥0
2

D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

A.
3

B.

C.

D.

7.曲线 y ? x 在点 ?1 1? 处的切线与 x 轴及直线 x ? 1 所围成的三角形的面积为 ,

1 1 1 1 B. C. D. 12 6 3 2 2 2 2 2 8.已知圆 x ? y ? 9 与圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为
A. A. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 9.在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 A.

1 的概率为 2

1 3 7 C. D. 2 4 8 * 10. 在平面内有 n ? n ? N , n ≥ 3) 条直线, 其中任何两条不平行,任何三条不过同一点, 若这 n
B. 条直线把平面分成 f ? n ? 个平面区域,则 f ? 6 ? 等于 A.18 B.22 C.24 D.32 开始 输入 x 是

1 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小 题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.阅读如图 2 所示的程序框图,若输入 x 的值为 2,则 输出 y 的值为 . 12.在某项才艺竞赛中,有 9 位评委,主办单位规定计算 参赛者比赛成绩的规则如下:剔除评委中的一个最高 分和一个最低分后,再计算其他 7 位评委的平均分作 为此参赛者的比赛成绩.现有一位参赛者所获 9 位评 数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准 y =x ? 4x+4
2

x ? 1?




x ? 1?
是 y=x

y =1

输入 y 第 2 页 共 13 页 结束 图2

委一个最高分为 86 分、一个最低分为 45 分,若未剔除最高分与最低分时 9 位评委的平均 13.在 ?ABC 中,已知 tan A ? 3tan B ,则 tan ? A ? B? 的最大值为 小为 ? . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3 所示,在四边形 ABCD 中, EF ? BC , 分为 76 分,则这位参赛者的比赛成绩为 ?? 分. ,此时角 A 的大

FG ? AD ,则

EF FG ? 的值为 BC AD



15 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 直 线 ? (

s ? x ? 2 ? 5 c o? , ( ? 为参数)所截得的弦长为 ? n ? y ? 1? 5 s i ?

? x ? ?2 ? 4t , ?t为参数? 被 圆 ? y ? ?1 ? 3t
. 图3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知向量 m ? ? 2cos

(1)求函数 f ? x ? 的值域;

? ?

x ? x ? ? , 1? , n ? ? sin , ? ? x?R ? ,设函数 f ? x ? ? m? ?1 . 1 n 2 ? 2 ? ?
5 3 , f ? B? ? ,求 13 5

( 2 )已 知 锐角 ?ABC 的 三 个内 角 分别 为 A,B,C, f ? A ? ? 若

f ? A? B? 的值.
17. (本小题满分 12 分) 已知实数 a , b???2, 1 1 2? . ? ,, (1)求直线 y ? a x ? b 不经过第四象限的概率; ...
2 2 (2)求直线 y ? a x ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点的概率.

18. (本小题满分14分) 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A 、 C1 、 1 1

D1

C1

B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图4所示的几何体 40 ABCD ? AC1D1 ,且这个几何体的体积为 . 1 3
(1)证明:直线 A B ? 平面 CDD1C1 ; 1 (2)求棱 A A 的长; 1 数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

A1

D
第 3 页 共 13 页 A 图4

C
B

(3)求经过 A、C1、B、D 四点的球的表面积. 1 19. (本小题满分14分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率 为 ,且经过点 P 2 2 a b

? 3? ?1, ? . ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的左焦点,判断以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关 系,并说明理由.

20. (本小题满分14分)

* 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , am , m?2 , m?1 m ? N 成等差数列, 若 试判断 Sm , a a

?

?

Sm?2 , Sm?1 是否成等差数列,并证明你的结论.

21. (本小题满分14分)

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
已知函数 f ? x ? ? x ? (2)若对任意的 x1, x2 ??1 e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实 , 数 a 的取值范围.

数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

第 4 页 共 13 页

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种 解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能 力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超 过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再 给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 答案

1 B

2 A

3 C

4 C

5 D

6 A

7 B

8 D

9 C

10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.第 13 题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分.

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第 5 页 共 13 页

11.0

12.79

13.

3 ? , 3 3

14.1

15.6

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思 想方法,以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? m? ? 1 ? ? 2cos , ?? sin , ? ? 1 n 1 ? 1

? ?

x 2

?? ??

x 2

? ?

x x ? 2 c o s s i n? ? 1? 1 xs.n i 2 2


x?R, ∴函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1 1? . ,
5 3 , f ? B? ? , 13 5 5 3 ∴ sin A ? , sin B ? . 13 5
(2)∵ f ? A ? ? ∵ A, B 都是锐角, ∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

12 4 2 , cos B ? 1 ? sin B ? . 13 5

∴ f ? A ? B ? ? sin ? A ? B ?

? sin A cos B ? cos A sin B 5 4 12 3 ? ? ? ? 13 5 13 5 56 ? . 65 56 ∴ f ? A ? B ? 的值为 . 65

17. (本小题主要考查古典概型等基础知识,考查化归和转化、分类与整合的数学思想方法,

数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

第 6 页 共 13 页

以及简单的推理论证能力) 解: 由于实数对 ? a, b ? 的所有取值为: ?2, 2? , ?2,1? , ?2,? , ?2, ? , ?1 ? 2? , ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ,

? 2 ? ? 1 2 ? ? 1 ? ?1,1? , ? ?1,? , ? ?1, ? , ?1, 2? , ?1,1? , ?1,? , ?1, ? , ? 2, 2? , ? 2, 1? , 1 2 ? 2,? , ? 2, ? ,共16种.
设“直线 y ? a x ? b 不经过第四象限”为事件 A , “直线 y ? ax ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共 点”为事件 B . (1)若直线 y ? a x ? b 不经过第四象限,则必须满足 ?

即满足条件的实数对 ? a,b ? 有 ?1 1? , ?1 2? , ? 2,? , ? 2, ? ,共4种. , , 1 2 ∴ P ? A? ?

0, ? a≥  0. ?b≥ 

4 1 ? . 16 4 1 . 4

故直线 y ? a x ? b 不经过第四象限的概率为

(2)若直线 y ? ax ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点,则必须满足
2 2

b a ?1
2

≤1,即 b ≤ a ? 1 .
2
2

? ,, 若 a ? ?2 ,则 b ? ?2, 1 1 2 符合要求,此时实数对( a,b )有4种不同取值;
1 若 a ? ?1 ,则 b ? ?1, 符合要求,此时实数对( a,b )有2种不同取值; 1 若 a ? 1 ,则 b ? ?1, 符合要求,此时实数对( a,b )有2种不同取值; ? ,, 若 a ? 2 ,则 b ? ?2, 1 1 2 符合要求,此时实数对( a,b )有4种不同取值.
∴满足条件的实数对 ? a,b ? 共有12种不同取值. ∴ P ? B? ?

12 3 ? . 16 4
2 2

故直线 y ? ax ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点的概率为

3 . 4

18. (本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等知识,考查数形结合的数学思

数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

第 7 页 共 13 页

想方法,以及空间想象能力、运算求解能力) (1)证法1:如图,连结 D1C , ∵ ABCD ? A B1C1D1 是长方体, 1 ∴ A D1 1

? BC 且 A1D1 ? BC .

∴四边形 A BCD1 是平行四边形. 1 ∴ A B ? D1C . 1 ∵ A1B ? 平面 CDD1C1 , D1C ? 平面 CDD1C1 , ∴ A B ? 平面 CDD1C1 . 1 证法2:∵ ABCD ? A B1C1D1 是长方体, 1 ∴平面 A AB ? 平面 CDD1C1 . 1 ∵ A1B ? 平面 A AB , A1B ? 平面 CDD1C1 , 1 ∴ A B ? 平面 CDD1C1 . 1 (2)解:设 A A ? h ,∵几何体 ABCD ? AC1D1 的体积为 1 1 ∴ VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 即 S ABCD ? h ? ? S ?A1B1C1 ? h ?

40 , 3

40 , 3

1 40 , 3 3 1 1 40 即 2? 2? h ? ? ? 2? 2? h ? ,解得 h ? 4 . 3 2 3 ∴ A A 的长为4. 1

(3)如图,连结 D1B ,设 D1B 的中点为 O ,连 OA,OC1,OD, 1 ∵ ABCD ? A B1C1D1 是长方体,∴ A1 D1 ? 平面 A AB . 1 1 ∵ A1B ? 平面 A AB ,∴ A1 D1 ? A B . 1 1

1 1 D1 B .同理 OD ? OC1 ? D1 B . 2 2 ∴ OA ? OD ? OC1 ? OB . 1
∴ OA1 ? ∴经过 A , C1 , B , D 四点的球的球心为点 O . 1 ∵ D1B2 ? A D12 ? A A2 ? AB2 ? 22 ? 42 ? 22 ? 24 . 1 1 ∴ S球 ? 4? ? ? OB ?
2

? DB? ? 4? ? ? 1 ? ? ? ? D1B2 ? 24? . ? 2 ?
第 8 页 共 13 页

2

数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

故经过 A , C1 , B , D 四点的球的表面积为 24? . 1 19. (本小题主要考查椭圆、圆的方程和圆与圆的位置关系等基础知识,考查数形结合思想, 以及运算求解能力) 解: (1)∵椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 P 2 2 a b

? 3? , ?1 ? , ? 2?

? a 2 ? b2 1 ? , ? ? a 2 ∴? ? 1 ? 9 ? 1. ? a 2 4b 2 ? ?3a 2 ? 4b2 ? 0, ? a 2 ? 4, ? ? 即? 1 解得 ? 2 9 ?b ? 3. ? ? 2 ? 2 ? 1. ? a 4b x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 4 3
(2)∵ a ? 4 , b ? 3 ,∴ c ? a2 ? b2 ? 1.
2

2

∴椭圆 C 的左焦点坐标为 ? ?1 , ? . 0 以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2=4 ,圆心坐标是 ? 0, ? ,半径为2. 0

5 3 ? 25 ? 3? ? 以 PF 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ? ? ,圆心坐标是 ? 0, ? ,半径为 . 4 4 ? 16 ? 4? ?
2

2

5 ?3 ? 3 ∵两圆心之间的距离为 ? 0 ? 0 ? ? ? ? 0 ? = = 2 ? , 4 ?4 ? 4 故以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
2

2

20. (本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项求和公式等知识,考查化归与 转化、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) 解:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ? a1 ? 0, q ? 0? , 若 am , am?2 , am?1 成等差数列,

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则 2am?2 ? am ? am?1 . ∴ 2a1qm?1 ? a1qm?1 ? a1qm . ∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ 2q 2 ? q ? 1 ? 0 . 解得 q ? 1 或 q ? ?

1 . 2

当 q ? 1 时,∵ Sm ? ma1 , Sm?1 ? ? m ? 1? a1 , Sm?2 ? ? m ? 2? a1 , ∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? 1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 不成等差数列. 当q ? ?

1 时, Sm , Sm+ 2 , Sm+ 1 成等差数列.下面给出两种证明方法. 2

证法1:∵ ? Sm ? Sm?1 ? ? 2Sm?2 ? ? Sm ? Sm ? am?1 ? ? 2 ? Sm ? am?1 ? am?2 ?

? ?am?1 ? 2am?2
? ?am?1 ? 2am?1q
? 1? ? ?am?1 ? 2am?1 ? ? ? ? 2?
? 0,
∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

证法2:∵ 2Sm? 2

? ? 1 ?m? 2 ? 2a1 ?1 ? ? ? ? ? m? 2 ? ? 2? ? 4 ? ? 1? ? ? ? ? a 1? ? ? 1? ? ? ?, 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1? 2

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? ? 1 ?m ? ? ? 1 ?m?1 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? m m ?1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 a ?2 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 又 Sm ? Sm?1 ? 1? ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? 2? ? 2? ? ? ? 1? 1? 2 2
?
m?2 m?2 m? 2 2 ? ? 1? ? 1? ? 4 ? ? 1? ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 3 ? ? 2? ? 2? ? 3 ? ? 2? ? ? ? ? ?

∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 . ∴当 q ? ?

1 时, Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列. 2

21. (本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学 思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,??? , (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? x a2 1 ∴ h? ? x ? ? 2 ? 2 ? . x x ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,
∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 ,
2

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验,当 a ? 3 时, x =1是函数 h ( x) 的极值点, ∴a ? 3. ?

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,??? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理得, 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) x2 ? , , 4 4
第 11 页 共 13 页

数学(文科)试题 A 参考答案及评分标准

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0,x2 ?


x2
0 极小值

? ? x2, ??


?

?

?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . (2)解:对任意的 x1, x2 ??1 e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 e? , , 都有 ? f ? x ? ? min ≥ ? g ? x ? ? max . ? ? ? ?

1 ?0. x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 e? 上是增函数. ,
当 x ??1 e? 时, g ? ? x ? ? 1 ? , ∴ ? g ? x ? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ? ? ∵ f ?? x? ? 1?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1 e? , a ? 0 , , x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ??1 e? 时, f ? ? x ? ? , x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1 e? 上是增函数. , x 2 ∴ ? f ? x ? ? min ? f ?1? ? 1 ? a . ? ?
由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,
2

又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x ? a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 若 a ? x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? . x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1 a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. , x

? x ? a ?? x ? a ? ? 0



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∴ ? f ? x ? ? min ? f ? a ? ? 2a . ? ? 由 2a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

③当 a ? e 且 x ??1 e? 时, f ? ? x ? ? , ∴函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 e? 上是减函数. , x
a2

∴ ? f ? x ?? ? f ? e ? ? e ? . ? ? min e 由e?

a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e

又 a ? e ,∴ a ? e . 综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? , ?? ? . ? 2 ?

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