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数学归纳法的教案 使用


单县一中

高中数学学科教案

2011.3.23

《2.3 数学归纳法》教案
单县一中 朱瑞朋 2011.3.23 教学目标: 1、 知识与技能: 使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数
学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.

2、过程与方法:培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历
知识的构建过程, 体会类比的数学思想.努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆 质疑的氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率;通过学习,让学生体会用归纳推理发现规律, 再用数学归纳法证明规律。

3、情感、态度与价值观:通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学
习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神;通过数学归纳法的学习,开拓数学视野, 体会数学的科学意义。

教学重点:借助具体的实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数 n(n 取无限
多个值)有关的数学命题。

教学难点:1)学生不易理解数学归纳法的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归纳假设作出
证明; 2)运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 。 教学方法:类比启发探究式教学方法 教学用具:ppt 课件、多媒体计算机、一副骨牌等。

教学过程:

一、 复习与引入(共同回忆)
1) 归纳推理概念:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(这种由某类事物的部分对象具有的某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别 事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称推理) 。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一 般的推理) 指出: 归纳是立足于观察、 经验、 实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论; 结论不一定正确, 需要证明。

处理方式:共同回忆这些基础知识。
问题引入:

问题1:已知数列?an ? 的通项公式为an ? ? n 2 ? 5n ? 5? ( , 1)求出其前四项,你能得到什么样的猜想?
2

(2)你的猜想一定是正确的吗?

解:(1)a1 ? (12 ? 5 ?1 ? 5)2 =1,a2 ? (22 ? 5 ? 2 ? 5) 2 ? 1,a3 ? (32 ? 5 ? 3 ? 5) 2 ? 1, a4 ? (42 ? 5 ? 4 ? 5)2 ? 1,猜想该数列的通项公式可以写为an ? 1(n ? N * )
(2)a5 ? (52 ? 5 ? 5 ? 5)2 ? 25 ? 1 ,所以猜想不正确!
an (n ? 1, 2, 3?), (1)求出数列前4项, 1 ? an

问题2:已知数列?an ?的第1项a1 ? 1且a n?1 ?

你能得到什么猜想?(2)你的猜想一定是正确的吗?
1

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1 1 1 1 (过程:a1 ? 1,a2 ? , a3 ? , a4 ? ,由此得到:an ? , n ? N ? ) 2 3 4 n

思考: 对于问题 2, 我们只能肯定这个猜想对前 4 项成立, 而不敢肯定它对后续的项也成立这个猜想对 n=8000
时成立吗?我们怎样解决这个问题?这个猜想对 n 取所有的自然数时成立吗?我们怎样解决这个问 题?

处理方式:学生回答这两个问题,在教师引导下,共同思考问题并引入新课。
通过分析,我们需要学习一种特殊的证明方法,用于证明与正整数有关的问题,那就是我们这节课所要学习的一 种新的证明方法---------数学归纳法 二、新知学习 1、创设情境引发学生学习数学归纳法的学习欲望 你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一下那场景! 实验:多米诺骨牌游戏(这是一种码放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一 定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌,由于第一块骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下,而第二块骨牌倒 下,就可导致第三块骨牌倒下??最后,不论有多少骨牌,都能全部倒下.) 2、详细分析“多米诺骨牌”全部倒下的所蕴含的原理 思考:这个游戏中,能使所有“多米诺骨牌”全部倒下的条件是什么?你认为每个条件的作用是什么? 可以看出,只要满足以下两个条件,所有“多米诺骨牌”就都能倒下。

点明课题《2.3 数学归纳法》 。

(1)第一块骨牌倒下;
(2) 任意相邻的两块骨牌,前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌也倒下。 条件(1)的作用是奠基; 条件(2)的作用是给出了一个递推关系:当第 k 块倒下时,相邻的第 k+1 块也倒下。

多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型。事实上,条件(1) 、 (2)就是数学归纳法原理的雏形 处理方式:在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.学生回答。 3、利用“多米诺骨牌”原理证明关于数列的猜想
1 思考:你认为证明数列的通项公式是a n ? 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗? n 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?

分析: 多米诺骨牌游戏原理 (1)第一块骨牌倒下。

a 通项公式

n

?

1 n

的证明方法

(1)当 n=1 时 a1=1,猜想成立
1

ak ? k , (2)若第 k 块倒下时,则相邻的第 k+1 块也 (2)假设当 n=k 时猜想成立,即 1 倒下。 ? a k ?1 k ?1 。 则当 n=k+1 时猜想也成立,即
根据(1)和 (2)可知,不论有多少块骨牌, 根据(1)和(2)可知,对任意的正整数 n,猜 都能全部倒下。 想都成立。
[来源:学科网 ZXXK]

处理方式:让学生思考后填表;通过课件展示,让学生了解利用“多米诺骨牌”原理证明关于数列的猜想。
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这样对于猜想,有已知n=1成立,就n=2也成立;n=2成立,就n=3也成立; n=3成立,就n=4也成立;当n=4成立,就n=5也成立...... 1 所以,对任意的正整数n,猜想都成立,即数列的通项公式是a n ? . n
4、数学归纳法原理:一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0 ? N ? )时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k ? n 0 ,k ? N ? )时命题成立,证明当n=k ? 1时命题也成立
学科网 ZX

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。这种证明方法叫做数学归纳法
[来源:

别忘了做总结:根据(1)和(2) ,可知对任意的正整数 n,猜想都成立。
5、巩固数学归纳法原理

对于前面的问题2:已知数列?an ?的第1项a1 ? 1且a n?1 ?

an (n ? 1, 2, 3?), 求出数列前4项, 1 ? an

你能得到什么猜想?用刚学的知识证明一下你的猜想是不是正确?

证明:( 1)当n ? 1时a1 ? 1,猜想成立,--------这就相当于游戏的条件(1)---归纳奠基
(2)假设当n=k是猜想成立,即a k ? 1 , k

1 ak 1 那么当n ? k ? 1时a k ?1 ? ? k ? , 1 ? ak 1 ? 1 k ? 1 k 即当n ? k ? 1时猜想也成立-----------这就相当于游戏的条件(2)----归纳递推 根据( 1)和(2),可知对任意的正整数n,猜想都成立。
注意: (1)这两个步骤及总结缺一不可。 (2)用数学归纳法证明命题时,难点和关键都在第二步,主要在于合理运用归纳假设,结合已知 条件和其他数学知识,证明“当 n=k+1 时命题成立”。 (3)数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学 习时要具体问题具体分析。

(4)第一步中,当n取第一个值n0 (n0 ? N ? )时命题成立,这个n0就是使这个命题成立的最小自然数。
处理方式:结合课件展示,师生共同解决。
为了加深学生的印象,教师结合反例进行说明: (1)为了强调第一步-----归纳奠基,举反例: 例如: “奇数是 2 的倍数”显然是个假命题,但是如果没有第一步奠基,直接假设“如果奇数 k 是 2 的倍数” (这 是一个不合实际的假设) ,却能推出“那么后一个奇数 k+2 也是 2 的倍数” (错因是缺少第一步) (2)为了强调第二步-----归纳递推,举反例: 例如: “n2+n+11 是质数”这个命题对于 n=1,2,3,….9 都成立,但是你不能说“n2+n+11 是质数”正确,因为当 n=10 时,102+10+11=121=112 故结论不成立。 (错因是缺少第二步) 可以设计题目: 判断题: (错误的指出错因) 1) 假设“如果奇数 k 是 2 的倍数” (这是一个不合实际的假设) ,却能推出“那么后一个奇数 k+2 也是 2 的倍数” ,所
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2011.3.23 )

以“奇数是 2 的倍数”是真命题。 ( ) 2 2)当 n=1,2,3 时命题“n +n+11 是质数”都成立,所以命题“n2+n+11 是质数” 是真命题( 目的是:加深学生对数学归纳法的理解。

三、 知识应用
例1:用数学归纳法证明12 ? 22 ? 32 ? ... ? n 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) (n ? N ? ) 6 分析:第 1 步如何写?第 2 步中当 n=k 时的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发?

点评:证 n=k+1 时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. 处理方式:让学生思考,然后结合课件给以说明,目的是让学生熟悉用数学归纳法证明命题的步骤。
巩固练习:1.用数学归纳法证明

1? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?

处理方式:让学生独立完成,找一位同学到黑板上去书写;点评,课件展示答案。
2、两个判断题(见课件)

1 n(n ? 1).(n ? N ? ) 2

处理方式:让学生口答;结合课件点评。
1 1 1 1 , , , , , 计算S1,S2 ,S3 ,S 4 根据计算的结果, 1×4 4×7 7×10 (3n - 2)(3n + 1) 猜想S n的表达式, 并用数学归纳法进行证明. 例2 :已知数列

处理方式:让学生独立思考并完成,找一位同学到黑板上去书写;点评,课件展示答案。

四、知能巩固练习(说明:第 1 题与第 2 题课堂处理,第 3 与 4 题留作作业题)
1、 用数学归纳法证明:“ 1 ? a ? a ?
2

1 ? a n?1 ?a ? ? a ? 1, n ? N ? ”在验证n=1成立时,左边计算所得 1? a
n

的结果是( A .1 2. 已知: f ( n) ?

) B. 1 ? a C. 1 ? a ? a
2

D. 1 ? a ? a )

2

? a3

1 1 1 ? ? ... ? ,则 f ( k ? 1) 等于( n?1 n? 2 3n ? 1

A: f ( k ) ?

1 3( K ? 1) ? 1
1 1 1 1 ? ? ? 3K ? 2 3K ? 3 3K ? 4 K ? 1

B: f ( k ) ?

1 3K ? 2
1 1 ? 3K ? 4 K ? 1

C: f ( k ) ?

D: f ( k ) ?

1 3. 用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)= n( n ? 1)(n ? 2) 3

4

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2011.3.23

4.数列?an ? 满足sn ? 2n ? an ,(n ? N ? ), 先计算前4项后猜想an,并用数学归纳法证明 2n ? 1 答案:an ? n?1 2
× 2 + 2× 3 +?+ n(n ? 1) (n∈N*),求证:an< 课后思考题:设 an= 1

五、课堂小结(通过回答问题做总结)

1 (n+1) 2 . 2 1 1 1 2 2 提示关键:an+1= n(n ? 1) + (k+1) < (k+1) + (k ? 1)(k ? 2) = (k+1) 2 + k 2 ? 3k ? 2 2 2 2 1 3 1 < (k+1) 2 +(k+ )= (k+2) 2 2 2 2

1、数学归纳法能够解决哪一类问题? 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么? 两个步骤和一个总结,缺一不可,不要忘记总结 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里? 关键在第二步,即归纳假设要用到,解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么? 递推思想,运用“有限”的手段,来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用
处理方式:让学生回答这几个问题,进行总结

六、布置作业
教材第 96 页习题 2.3 A 组的第 1 (2) (3)题与第 2 题,B 组第 1 题;知能巩固练习的第 3 题与第 4 题

七、板书设计

2.3 数学归纳法
一、复习归纳推理 三、例题与练习 四、小结与作业

二、数学归纳法

八、教学心得与反思:(上过课后书写)

备选题目 1、用数学归纳法证明: 1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? ( ?1) n?1 n 2 ? ( ?1) n?1
n( n ? 1) 2

2 求证:当 n ? N * 时, 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 。 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n
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