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2011年河南省示范性高中五校联谊模拟考试 数学理


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2011 年河南省示范性高中五校联谊模拟考试理科

数学试题
(洛阳一高、信阳高中、开封高中、漯河高中、南阳一中)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。其中第Ⅱ卷第(22)~(23) 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
(1)已知 a 为实数, (A)1 1+2i 3 > ,则 a = a+i 2 1 (B) (C) 2

1 3

(D)-2

(2)最小二乘法的原理是

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n

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n

(A)使得
(C)使得

?? [y i -(a+bx i )] 最小
i =1

(B)使得
(D)使得

?? [y
i =1

i

-(a+bx i ) 2 ] 最小
-(a+bx i )] 2 最小

i ?? [y 2 -(a+bx i ) 2 ] 最小
i =1

n

?? [y
i =1

n

i

(3)函数f(x) = lnx-

1 的零点个数为 x-1

(A)0 个

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

(4)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB = 45°,∠CAB = 105°后,就可以计算出 A、B
两点的距离为 (A)50 (C)25 2 m 2 m (B)50 (D) 3 m
25 2 m 2

(5)给出右边的程序框图,那么输出的数是

(A)89 (B)55
(C)34

(D)21

(6)下列有关命题的叙述错误的是 (A)对于命题 p: x∈R,x2 + x + 1 < 0,则 p 为: x∈R,x2 + x +1 ≥ 0

(B)命题“若 x2-3x + 2 = 0,则 x = 1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” (C)若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 (D) > 2”是“ x2-3x + 2 > 0”的充分不必要条件 “x
(7)已知A(-1, 0), B(1, 0),点P满足 (A)2 2 (B) 2 PA · PB = 1,则| PA + PB | = (C)2 (D)1

(8)从 8 名女生 4 名男生中,选出 6 名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则 不同的抽取方法数为
(A)C
4 12

(B)C

3 8

C3 4

(C)C

4 8

C2 4

(D)A

4 8

A2 4

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(9)在(3
1 0 p

x-2 3 x)11 的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为p,则

∫ x dx 等于
(A)1 (B) 6 7 (C)
x2 a2

7 6
- y2 b2

(D)

11 13

(10)如果以原点为圆心的圆经过双曲线

= 1(a>0, b>0)的焦点,并且

被直线 x =

a2 (c 为双曲线的半焦距)分为弧长为2∶1的两段弧,则该双曲 c

线的离心率等于
(A)2 2 (B) 2 (C) 2 +1 (D) 3

(11)不等式组

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

(k>1) 所表示平面区域的面积为S,则

kS 的最 k-1

小值为 (A)30 (B)32 (C)34 (D)36

(12)已知函数 y = f (x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y = f (x-1) 的图象关于点 (1, 0) 对称. 若对任意的 x, y∈R,不等式 f (x2-6x + 21) + f (y2-8y) < 0 恒成立,则当 x > 3 时,x2 + y2 的取值范围是 (A)(3, 7) (B)(9, 25) (C)(13, 49) (D)(9, 49)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的 外接球表面积为_____________.

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(14)设 ? ∈(0,

π ),函数f(x) = sin 4

2

(x+ ? ),且f(

π 3 )= ,则 ? = _______. 4 4

(15)已知直线 l1 ∥l2,点 A 是 l1 、l2 之间的定点,点 A 到 l1 、l2 之间的距离分别为 3 和 2, 点 B 是 l2 上的一动点,作 AC⊥AB,且 AC 与 l1 交于点 C,则ΔABC 的面积的最小 值 为______________.
(16)设等比数列{a 记T
n

}的公比为q (q>0), 前n项和S Tn Sn

n

>0(n∈N*), b

n

=a

n+2

-2a n+1 ,

n

为{b n}的前n项和,则

的取值范围是____________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an}中,a1 = 1, a4 = 7,且 nan+1 = (n +1)an +λ. (Ⅰ)求λ值及数列{an}的通项公式 an ;
(Ⅱ)设b n = 8 ,求数列{b n}的前 n 项和T (a n+1)(a n+3)(a n+5)
n

.

(18) (本小题满分 12 分) 某班同学利用寒假在 A、 两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 B 及宣传活动.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” 否则,称为“非低碳族” 各小区中, , . 这两“族”人数分别与本小区总人数的比值如下表:

(Ⅰ)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是“低碳族”的 概率;

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(Ⅱ)经过大力宣传后的连续两周,A 小区“非低碳族”中,每周有 20%的人加入到“低碳 族”的行列.这两周后,如果从 A 小区中随机地选出 25 个人,用ξ表示这 25 个人中的“低碳 族”人数,求数学期望 E(ξ). (19) (本小题满分 12 分) 如图,1、2 是两条互相垂直的异面直线, P、 在直线 l1 上, A、 在直线 l2 上, l l 点 C 点 B M、N 分别是线段 AB、AP 的中点,且 PC = AC = a,PA =
(Ⅰ)证明:PC⊥平面ABC;
2 a.

(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为 θ(0°<θ≤90°), 且AB = 求cosθ的值. 2 a,BC⊥AC,

(20) (本小题满分 12 分) 设直线 l:y = k (x + 1) 与椭圆 x2 + 3y2 = a2 (a > 0) 相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点.
(Ⅰ)证明:a
2

>

3k 2 1+3k 2



(Ⅱ)若 AC = 2 CB ,求ΔOAB的面积取得最大值时的椭圆方程.

(21) (本小题满分 12 分)
函数f(x) = 1 2 x -mln 2 1+2x + mx-2m,其中m<0.

(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性;
(Ⅱ)求证:当m=-1 时, 对任意x
1

, x 2∈(0,1), x

1

≠x 2,有

f(x 2)-f(x 1) x2-x 1

<

1 . 3

请考生在第(22)(23)两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。答 、 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,∠BAC = 90°,AB = AC. 直线 l 与以 AB 为直径的圆相切于点 B. 点 E 是圆上

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异于 A、B 的任意一点,直线 AE 与 l 相交于点 D.
(Ⅰ)如果AD = 10,BD = 6,求DE的长; (Ⅱ)连接CE,过E作CE的垂线交线段AB 于点F. 求证:BD = BF.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x) = | x + 2 |-| x-1 | . (Ⅰ)试求 f (x) 的值域;
(Ⅱ)设g(x) = ax 2-3x + 3 x (a>0),若对

s∈(0, +∞), t∈(-∞, +∞), 恒有 g (s) ≥ f

(t) 成立,试求实数 a 的取值范围.

理科数学答案
1. B 2. D 3. B 4. A 5. B 6. C 7. A 8. C 9. B 10.B 11. B
(13)4π (14)

12. C

π 12

(15)6

(16)[-1, +∞)

(17)解: (Ⅰ)∵nan+1 = (n+1) an+λ 且 a1 = 1, a4 = 7 ∴a2 = 2+λ, a3 = 3+2λ, a4 = 4+3λ ∴4+3λ = 7 ∴λ=1 ……………………………………………………3 分


a n+1 an 1 = + n+1 n n(n+1) an 1 1 令C n = 则C n+1 -C n = - n n n+1 an 2n-1 2n-1 ∴C n = ∴ = n n n ∴na n+1 = (n+1)a
n

+1

∴an = 2n-1 (n∈N*)

……………………………………………………7 分

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1 1 1 1 = [ - ] …………10分 n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 ∴T n =b 1 +b 2 +…+b n = [ - + - +…+ - 2 1× 2 2× 3 2× 3 3× 4 n(n+1) (n+1)(n+2) 1 1 1 = [ - ] 2 2 (n+1)(n+2) 1 1 ∴T n = - …………………………………………12分 4 2(n+1)(n+2)
(Ⅱ)b n =

]

(18)解: (Ⅰ)记“这 4 人中恰有 2 人为低碳族”为事件 A
则P ( A) =
= 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 × × × + 4× × × × + × × × 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 33 …………………………………………4分 100

(Ⅱ)设 A 小区的总人数为 a,过两周后,A 小区中的“非低碳族”人数与本小区的
a× 总人数之比为 1 1 2 × (1- ) 2 5 8 = a 25

………………………… 8分

从而易知,这两周后小区中的“低碳族”人数与本小区的总人数之比为 1- 8 17 = 25 25
17 ) 25
∴E(ξ) = 25×

∴ξ~B ( 2 5 ,

17 = 17 25

故数学期望 E(ξ)为 17 (19) (Ⅰ)证明:∵在ΔPAC 中,

…………………………………12 分

∴PC⊥平面 ABC ……………………………………………4 分 (Ⅱ)解:

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……………………8 分

……10 分

∴cosθ =

3 3

…………………………………………12分

(20)证明:

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(21)解(Ⅰ)易知f(x)的定义域为x∈(- 2x 2+(2m+1)x m +m = 1+2x 1+2x 1 2

1 , +∞) 2 2x(x+m+ = 1+2x 1 ) 2

f '(x) = x-

由 f '(x) = 0得:x = 0或x = -m-
∵m < 0 ∴-m-

1 1 ∈(- , +∞) ………………………………2分 2 2

①当m<-

1 1 时,则x∈(- ,0)时,f '(x)>0, f(x)为增函数 2 2 1 )时,f '(x)<0, f(x)为减函数 2

x∈(0, -m- x∈(-m-

1 , +∞)时,f '(x)>0, f(x)为增函数 2
1 时,f '(x) = 2
2x 2 ≥0 1+2x

②当m = - f(x)在(-

1 , +∞)为增函数 2

1 1 1 ③当- <m<0时,则x∈(- , -m- )时,f '(x)>0, f(x)为增函数 2 2 2 1 x∈(-m- ,0)时,f '(x)<0, f(x)为减函数 2

x∈(0, +∞)时,f '(x)>0, f(x)为增函数…………………………6分

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(Ⅱ)当m = -1时,函数f(x) = 构造辅助函数 g(x) = f(x)-

1 2 x +ln 2

1+2x -x+2.

1 x,并求导得 3

g'(x) = x+

6x 2-5x-1 1 4 (6x+1)(x-1) - = = 1+2x 3 3(1+2x) 3(1+2x)

显然当 x∈(0, 1)时,g' (x) < 0, g (x) 为减函数 …………………………8 分
1 1 ∴对任意 0<x 1<x 2<1,都有g(x 1)>g(x 2)成立,即f(x 1)- x1 > f(x 2)- x2 3 3

即 f(x 2)-f(x 1)<
又∵x 2-x 1>0

1 (x -x 1) 3 2 f(x 2)-f(x 1) <



x2-x 1

1 …………………………12分 3

(23) (Ⅰ)解:∵| | x +2 |-| x-1| | ≤ | (x+2)-(x-1)| = 3 ∴-3≤| x+2|-|x-1| ≤3 ∴f (x) 的值域为[-3, 3] …………………………………………4 分 (Ⅱ)解:由题意得:(g(x))min ≥ (f(x))max
又g( x) = a x + ∴(g(x))

3 -3 且 a>0 x
3a -3 ∴a≥3

∴g(x)≥2

3a -3 ……………6分 又(f(x)) = 3 ……8分

min

=2

此时 x =

3 a

max

∴2 3a -3≥3

∴实数 a 的取值范围是[3, +∞) …………………………………10分
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