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§3.3.3点到直线的距离教学设计


《点到直线的距离》教学设计
镇海中学 金国林

一、教学内容分析
《点到直线的距离》是人教 A 版必修 2 第三章第三节中的一个重要知识点,是对平面图 形进行定量研究的一个重要公式。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具, 它使学生对点与直线位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。 同时它可被用于研究 曲线的性质,如求两条平行

线间的距离、三角形的高、圆心到直线的距离等等,借助它也可 以求点的轨迹方程, 如角平分线的方程、 抛物线的方程等, 因此它具有承前启后的重要作用。 另外, 点到直线的距离公式也体现了解析几何中的数学美, 在解决数学问题中所展现的逻辑 美。

二、学情分析
在本节课之前学生已学习掌握了有关直线计算的相关知识,如两直线交点、两点间距离 公式等,同时也学习了三角函数、平面向量、不等式等有关知识,具备了一定的利用代数方 法研究几何问题的能力。另外我校学生基础知识扎实、代数运算能力较强,思维较活跃,但 处理抽象问题的能力还有待进一步提高。由于学生刚刚学习解析几何,对解析法不够熟练, 而且用解析法结合平面几何、三角的知识解决问题的例子不多,综合运用知识的能力不高, 所以公式的推导是个难点。

三、设计策略
结合教学实际情况,本节课采用探究式课堂教学方式,在教师启发引导下,学生自主探 索推导“点到直线距离公式” ,同时思考如何在推导过程中简化运算。

四、学法指导
“授人以鱼,不如授人以渔。 ”我体会到,必须在传授知识给学生的同时,教给他们好 的学习方法,就是让他们“会学习” 。 首先让学生明确“为什么在两直线的位置关系这一节讨论点到直线的距离公式” ,激发 学生的学习兴趣。在公式的推导中,比较两种推导思路的不同,让他们体会到“思路 1 难在 什么地方?” “思路 2 妙在哪里?” ,使他们熟悉解析法,同时领会到用解析法结合其它数学 方法的妙处。这样,学生不仅学到了知识,而且通过公式推导思路的优化,深化了对数形结 合思想的理解,提高了学生转化问题的能力。

五、教学目标
1.知识与技能 (1)理解点到直线的距离公式的推导过程; (2)掌握点到直线的距离公式; (3)掌握点到直线的距离公式的应用。 2.过程与方法 (1)参与公式的探索和推导过程,体会算法思想; (2)通过公式推导的优化,提高类比化归、数形结合的能力; (3)提高观察、分析和解决问题的能力,增强合作交流能力,发展创新意识和提高创造 性思维能力。 3.情感、态度与价值观 (1)进一步认识代数与几何的内在联系,体会数形结合的思想; (2)通过公式的推导与优化,提高自己锲而不舍的钻研精神,体验数学中的辩证统一性。

六、教学重点与难点

(1)教学重点 1.点到直线距离公式的推导 2.点到直线距离公式的简单应用。 (2)教学难点 1.公式推导的思路分析; 2.公式推导过程中的代数优化。 (3)教学准备:制作多媒体课件,直尺,投影仪等

七、教学过程设计
1.开门见山,引入课题 同学们,通过前几节课的学习,我们在平面直角坐标系下可以用一组有序实数对 ? x, y ? 来表示一个点,用二元一次方程来表示一条直线,这样我们可以从代数角度来研究几何了。 对于几何, 我们主要研究它的位置关系和数量关系, 下面我们以学习过的点和直线为例来梳 理一下。

几何


代数
? x, y ?
Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ?
A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

基本图形

直线 点与点

位置关系

点与直线 直线与直线

点在直线上 点不在直线上 平行 相交(交点)

Ax1 ? By1 ? C ? 0 Ax1 ? By1 ? C ? 0
A1B2 ? A2 B1 ? 0且AC 1 2 ?A 2C1 ? 0
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

角度(倾斜角)

k?
点与点
AB ?

y1 ? y2 x1 ? x2

数量关系
长度(距离)

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

点与直线 直线与直线

为了更好的对几何进行定量研究,本节课我们重点来探索一下点到直线的距离。 【设计意图】 快速回顾之前所学内容的同时, 说明对于直线有关问题我们已经可以用代数来 刻画。为了更好的进行定量研究,我们有必要进一步探索点到直线的距离,引出课题。 2.给出定义 师:初中时是如何来定义点到直线的距离的呢? 生(全体) :点 P 到直线 l 的距离,是指从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长度,其中 Q 是垂 足。 3.公式推导 已知点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ? ,如何求点 P 到直线 l 的距离?

思路 1:利用两点间距离公式直接计算 策略:特殊到一般

y
Q
l:y?? C B

10 当A ? 0时,l : y ? ?

C B
O

P ? x0 , y0 ?

d ? y0 ? y ?

By0 ? C B
C A

x
l:x?? C A

y
P ? x0 , y0 ?

20 当B ? 0时,l : x ? ?

Q

d ? x0 ? x ?

Ax0 ? C A
O

x

3?当A ? 0且B ? 0时,l : Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ?

此时 PQ :y ? y0 ?

B ? x ? x0 ? A

y

l : Ax ? By ? C ? 0

Q ? x, y ?
P ? x0 , y0 ?

联立方程,解得 x ?

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC , y ? A2 ? B 2 A2 ? B 2

x0 ? x ?

A ? Ax0 ? By0 ? C ? B ? Ax0 ? By0 ? C ? , y0 ? y ? 2 2 A ?B A2 ? B 2
2 2

O

x
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

d?

? x0 ? x ? ? ? y0 ? y ?

?

A2 ? Ax0 ? By0 ? C ?

2

?A

2

?B

2 2

?

?

B 2 ? Ax0 ? By0 ? C ?

2

?A

2

?B

2 2

?

?

综上,由1? , 2? ,3? 得:d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

【设计意图】这种思路最直接,也最容易想到。引导学生在今后解决较复杂问题时,可以先 从特殊、 简单的情况出发来逐步深入, 因为特殊的情况中往往蕴含了一些本质且共性的东西, 可以帮助我们进一步解决问题。 这种推导方式的优点是直接易懂, 但对学生的计算能力要求 高,在推导过程中易出错。 4.优化运算 问:通过上面的推导,我们思考:为什么当 A ? 0 或 B ? 0 时推导容易? 因为这时的直线是“直”的,交点坐标易求。而当直线 PQ 是“斜”的时,交点坐标难求, 所以较复杂。因此我们可以试着将直线 PQ 化“斜”为“直” ,进行分解处理。 思路 2:化斜为直(几何图形角度)

3?当A ? 0且B ? 0时,l : Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ?

过P作直线y ? y0 , x ? x0 , 分别交直线l于R,S ,
Ax ? C ? ? By ? C ? ? 得 R?? 0 ,y0 ? , S ? x0, ? 0 ? A B ? ? ? ?

y

l : Ax ? By ? C ? 0

S
Q
P ? x0 , y0 ?

R

PR ?

Ax0 ? By0 ? C A
2 2

, PS ?
2

Ax0 ? By0 ? C B
2

O

x

RS ?

PR ? PS ?

A ?B Ax0 ? By0 ? C AB

Ax0 ? By0 ? C 1 1 由面积公式, d ?RS ? PR ?PS , 得d ? 2 2 A2 ? B2
【设计意图】利用几何图形特征,通过面积相等我们可以间接推导距离公式,简化运算复杂 度。引导学生在今后解析几何学习中要重视几何性质的利用,同时明白方法选择的重要性。 提问:万一以后我们在解题时没有想到更好方法呢?同时运算能力也不太好,怎么办? 思路 3:恒等变形(代数结构角度)

3?当A ? 0且B ? 0时,l : Ax ? By ? C ? 0 ? A2 ? B 2 ? 0 ?

此时PQ:y ? y0 ?
处理 1: x ?

B ? x ? x0 ? , d ? A

? x0 ? x ? ? ? y0 ? y ?
2

2

B 2 x0 ? ABy0 ? AC , d? A2 ? B 2

A2 ? B 2 x0 ? x A

【设计意图】利用三角函数知识,避免计算 y 导致错误的可能性来简化运算,提高运算正确 性。这种尽量用较少变量来解决问题的想法要引起学生的高度重视。 处理 2: ?

? ? B ? x ? x0 ? ? A ? y ? y0 ? ? 0 ? ? A ? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? ? ? Ax0 ? By0 ? C ?

?1? ? 2?

由(1) (2)可得 x0 ? x ?

A ? Ax0 ? By0 ? C ? B ? Ax0 ? By0 ? C ? ; y0 ? y ? 2 2 A ?B A2 ? B 2

【设计意图】通过对目标 d ?

? x0 ? x ? ? ? y0 ? y ?
2

2

的分析思考,将直线方程进行整体换

元(平移变换) ,整体求解处理,大大简化运算。在代数中,将什么看做处理对象(元)是 非常重要的,它将直接导致不同的处理方式,产生不同的复杂度,有时甚至有天壤之别,因 此在解决问题前先确定好变元很重要。 处理 3:由 ?1? ? ? 2 ? 得d
2 2 2

? Ax0 ? By0 ? C ? ?
A2 ? B 2

2

,d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

【设计意图】在前面两种代数变形基础上,进一步介绍通过变形来“秒杀”问题,从而说明 熟练应用代数恒等变形很重要,可以代数巧算。

5.公式剖析 点 P ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? 注: (1)此公式的作用是求点到直线的距离; (2)用此公式时直线要先化成一般式。 6.公式应用 例:已知点 A?1, 3? , B ? 3, 1? , C ? ?1, 0? 求(1)点 C 到直线 AB 的距离; (2)? ABC 的面积。

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

解 : 设AB边上的高为h, 则AB边所在直线的方程为
y - 3 x ?1 ? 1- 3 3 ? 1 即x ? y ? 4 ? 0

y
A

? h?

| ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

?

5 5 ? 2 2 2
C
2

B
O

又 | AB |? (3 ? 1) ? (1 ? 3) ? 2 2
2

x

1 5 因此S?ABC ? ? 2 2 ? ?5 2 2
思考:还有其他解法吗? 利用化斜为直思想,将 ? ABC 补成矩形,则

y
A

S? ABC ? 4 ? 3 ?

1 ?4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2? ? 5 2

B
C

O

【设计意图】 将教材中的例 5 和例 6 合并成一个例题的两 小问,同时运用“化斜为直”思想求三角形面积进行了补充,这为今后大学里利用行列式求 多边形面积奠定了基础。 7.归纳小结 (1)知识内容:点到直线距离公式 (2)思想方法:特殊到一般;化归;数形结合

x

八、作业布置
1.基础巩固:评测练习 2.实践探究:课后查阅资料,进一步探索其他推导方式,体会不同方法中蕴含的思想。

九、板书设计
§3.3.3 点到直线的距离 1. 2. 3. 定义 策略 公式剖析 例题 推导过程 优化运算


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