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江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座6——应用题归类分析及应对策略


应用题归类分析及应对策略
一、试题特点
2011 全国 35 套(不包括江苏)试卷的应用题中,只有考查湖北、湖南理考查了分段函数, 湖南文考查了数列应用题,山东考查了函数与导数,上海浙江没有应用题(含概率) ,其余 省市都是考查了概率与统计. 2010 全国 36 套(不包括江苏)试卷的应用题中,只有陕西(理)、福建(文、理)考查了解三 角形,其余省市都是考查

了概率与统计. 2009 全国 36 套(不包括江苏)试卷应用题中,只有湖北(文) 考查了基本不等式(函数) , 福建(理) 、辽宁、宁夏考查了解三角形, 上海考查函数,其余都是概率与统计. 2011 年-2003 年江苏高考应用题类型: 2011 包装盒问题(几何背景:实则为几何问题代数化) 2010 测量问题:几何背景:解直角三角形与基本不等式 填空题 14 函数与导数 的应用 2009 利润问题:基本不等式 销售背景: 2008 几何最值(费马点)问题:函数与导数(几何背景:几何问题代数化) 2007 概率 2006 体积最值问题:函数与导数(几何背景:几何问题代数化) 2005 概率 2004 线性规划 2003 概率 数学应用题的发展趋势:越来越去生活化,数学化,实际建模的要求越来越低. 江苏高考的应用题,06(蒙古包体积问题) 、08(费马点距离问题) 、10(解三角形测量 问题) 、11(包装盒体积问题)年都是几何背景,只有 09 年是销售问题(买进与卖出).其 中 08(费马点距离问题) 、10(解三角形测量问题) 、11(包装盒体积问题)题目给出自变 量,06(蒙古包体积问题) 、09(销售问题买进与卖出)需要学生自己变量. 数学应用性问题是江苏历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型. 解答这类问题有一个宏观的解题程序表: 步骤 1:将一个实际问题转化为一个数学问题,进行数学化设计. 步骤 2:将一个数学问题化归为一个常规问题,进行标准化设计. 步骤 3:求解常规数学问题或是解方程、或是证明(求解)不等式、或是函数求极值、或 是几何求值、几何论证、或是解三角形等等.很多情况下,步骤之间没有明显的界线,是环 环相扣、一气呵成. 但仅仅有这个表或者告诉学生这个解题程序, 学生是不会解题的, 因为能否很好得完成 步骤 1 反映了学生的数学素养, 能否很好得完成步骤 2 反映了学生的数学技能, 数学技能可 以通过一定的训练形成, 但数学素养不是几节课或是几天课就能形成的, 它需要长期的有意 识的培养才能较好地形成.学生不能完成步骤 1,那完成后面的步骤就无从谈起.因此我们在 平常的教学中,应时刻关注学生素养的培养,同时还要把这个宏观的解题程序表细致化,使 得应用题的解法具有较好的可操作性. 仔细分析江苏高考应用题,除去概率题目外,其它的题目不论是函数、不等式、线性规 划、三角,还是几何问题,都有一个共同的特征,那就是变量. 函数与导数问题是单变元问 题,线性规划是双变元问题,高中阶段的基本不等式问题是双变元问题,但由于两变元之间 往往有一定的联系,所以其本质是单变元问题.因此要很好地解决应用性问题,心中首先应

有强烈的变量意识,对学生来讲能从变元角度思考问题,就等于抓住了解应用性问题的“牛 鼻子” ,若能再适当了解一些应用性问题的常见背景,那么解决应用性问题就更是如虎添翼 了.所以在应用问题的复习教学中,应紧紧把握变元这条主线,这应该是应用题复习教学的 重点,例题选择侧重于不同背景的问题,对于同一问题注重变式(背景变换)教学,以利于 学生能更好得弄清各变元之间的关系,这应该是应用题复习教学的难点.

“抓重点,变元思想是主线;破难点,变式教学是关键.”
具体教学操作举例如下: 教学路线图: 从给定变元→选择变元; 从给定模式→背景变换(变式教学) ; 从单一主元→多参变元. 例、有一块边长为 4 的正方形钢板,现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、 焊损耗忽略不计) .有人应用数学知识作了如下设计:如图(a) ,在钢板的四个角处各切去 一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(b). (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V1.

变换背景(变式教学) 变式 1:由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费) ,请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少, 而且所得长方体容器的容积 V2>V1 解法 1:由题中的三个重要信息,①切割、焊接;②材料浪费减少;③V2>V1(教学中 在此要强调审题的重要性:审题要慢、要品).只需把方法 1 中省余的材料裁成细条接在上 面的长方体的上沿即可. 解法 2:为了制作简单,利于操作,只需如图分割钢板, 128 则 V2=2×3×1=6> V1= 27
侧面

2 侧面

2 侧面 1

解法 3:如图分割钢板再焊接,也满足要求. 2 128 则 V2=(2 2)2× 2 = 4 2 > V1= 27

底面

侧面

侧面

底面

3

1

1

变式 2 现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器,请你重新设计切焊方法,使得所制 作的长方体容器的容积最大.(徐州期末) 解:设容器的底面正方形边长为a,容器的高为h,下底面和四个侧面的面积和为S=16, S- a2 则由题意知a2+4ah=S,故h= 4a S- a2 1 1 则V= a2h= a2 4a =4a·(S- a2) =4 (Sa – a3) (a>0)

∴V/ =0得a1=

S 3(负值舍去) S 32 3= 9 3≈6.16.

当a< a1时,V是a的增函数;当a>a1时,V是a的减函数. ∴ 当a = S S 3时有最大容积,最大容积为6

上面的变式实质是在条件 a2+4ah=S 为定值时,求 V= a2h 最大值.学生可把多变元化为一 元函数问题用导数求解;也可采用双变元,利用基本不等式求最值,问题变为在约束条件 a2+4ah=S 下,求 a2(2ah)(2ah)的最大值. 变式 3 若要把制作长方体容器改为制作圆柱型无盖容器,请你重新设计切焊方法,使得所 制作的长方体容器的容积最大.问题变为在约束条件 πr2+2πrh=S 下,求 V=πr2h 的最大值, 解法同上. 理论可求,实际操作会非常繁琐(如何制作圆?) 请学生谈谈对上述解法的感受. 如图的所示的制作方法应是实际操作中的较好的选择,体积接近最大值,又操作简单. 从数学的角度来看,长、宽、高分别为 1,2,3,大小是整数值又比较接近. 对于较好的班级可以增加以下变式: 变式 4 请你重新设计切焊方法,使得所制作的无盖长方体容器的容积最大. 解: 设容器的底面边长分别为 a,b, 容器的高为 h, 下底面和四个侧面的面积和为 S=16, 则由题意知 ab +2(a+b)h=S,求 V=abh 的最大值.

2 侧面

2 侧面 1

侧面

侧面

底面

3

1

1

二、基本题型与基本策略:
基本题型一: 例 1. (南京盐城 2012 届一模).17.(本小题满分 14 分) 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴 对称图形),其中矩形 ABCD 的三边 AB 、 BC 、 CD 由长 6 分米的材料弯折而成, BC 边

3 ); 曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线 C1 是一段余弦 2 曲线(在如图所示的平面直角坐标系中 , 其解析式为 y ? cos x ? 1 ),此时记门的 最高点 O 到 BC 边的距离为 h1 (t ) ; 曲线 C2 是一段抛物线,其焦点到准线的距离 9 为 ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h2 (t ) . 8 A (1)试分别求出函数 h1 (t ) 、 h2 (t ) 的表达式; (2)要使得点 O 到 BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?
的长为 2t 分米( 1 ? t ? 从阅卷情况看,得分并不理想,函数关系都给出了,为什么还解不好啊?是 哪个环节出问题了,题目懂了吗?计算参过关吗?需要好好思考,怎样把这类问 题搞定! B

y O D x

C
第 17 题

例 2. (2008 江苏高考 17) (本题满分 14 分)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的 顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB=10km,为了处理三家工厂的污水,现 要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,
D P O C

并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 ykm. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAD=θ (rad),将 y 表示成的θ 函数关系式 ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式 (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂 的位置,使三条排污管道总长度最短。 例 3.全国高考西红柿种植问题(题目略) 基本策略:这一类应用题特点是命题者已经选好主变元,降低了应试的难度,第一问只 要考生弄清多变元中主变元(自变量)与各变元的之间关系从而得到等量关系即可,难点定 位在第二问(完成步骤 2) ,主要考查学生的数学技能.对于这样的应用题,老师在讲解时往 往一带而过,不注重挖掘、提炼其中解题程序和方法,其实这样的问题完全可以让学生解后 反思,教师事先设计的问题可以集中在让学生提炼分析问题的中变量及各变量之间的关系, 比如在例 1(或例 3)中,可提出这样的问题: 问题中共有几个变量(时间、价格、销量、销售额)? 随着时间的变化价格(或销量)如何变化? 销售额如何计算? 对于例 2,可以让学生对照选择不同的自变量(函数关系)对第二问中解题的影响: 20 π 选择函数关系式 y=cosθ+10tanθ+10 (0<θ<4)会碰到什么困难?如何解决? 选择函数关系式为 y=x+ 2x2-20x+200(0<x<10)会碰到什么困难?如何解决? 也可以让学生实际运算对照两种解法所碰到的困难,增加学生的对哪是“好”变元的感 性认识,让学生谈谈他的选择,为什么那样选择?你选的变元到底好在哪里 ?你能总结出 ...... “好”变元(自变量)的选择原则吗? 基本题型二: D 例 4.(南京 2011 届一模)节选)如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮 上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 A,B 在直径上,点 C,D 在圆周上.若将所截得 的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面 (不计剪裁和拼接损耗) , A 应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积. 例 5. (2006 江苏高考)请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为 1m 的正 六棱柱,上部形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示),试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O/的距离为多少时,帐篷的体积最大? 基本策略:这一类应用题特点是以几何为背景,都是变化着的几何背景, 都有变化的量影响着几何图形(体)的形状,从而面(体)积也是变化的,要求 学生能从变化中求出最值. 对于这类问题,老师可以引导学生从下列角度入手: 问题 1:是什么在影响着几何体形状的变化?主动点(幕后的黑手)是谁? 问题 2:如何把这种“影响”用一个变量来体现? 问题 3:可以用选好的变量来算出的几何体体积吗? 问题 4:你选择的变量是“好”变量吗? 例 6. (2011 届南通二模)如图,实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成,圆 P 和圆 Q 的半径都是 2km,点 P 在圆 Q 上,现要在公园内建一块顶 点都在圆 P 上的多边形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积; C

O

B

(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD,求场地的最大面积. 变化着的几何背景,变元在哪儿? 想明白了,怎样表述? 【解】 (1)如右图,过 S 作 SH⊥RT 于 H, S△RST=
S T P Q R M B C D P Q A M

1 SH ? RT ????????2 分 2

N

N

由题意,△RST 在月牙形公园里, RT 与圆 Q 只能相切或相离; ????????4 分

RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, 则有 RT≤4,SH≤2, 当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时(如下左图) ,上面两个不等式中等号同时成立.

1 此时, 场地面积的最大值为 S△RST= ? 4 ? 2 =4 (km2) . 2

R M B θ S P Q C T N 甲 D N 乙 P Q A M

????????6

(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓 形, AD 必须切圆 Q 于 P,再设∠BPA= ? ,则有

S四边形ABCD ? 1 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? sin(π ? 2? ) ? 4(sin ? ? sin ? cos? ) 0 ? ? ? π . 2 2 2
???8 分 令 y ? sin? ? sin? cos ? ,则
y ? ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin? (? sin? ) ? 2 cos 2 ? ? cos? ? 1 .

?

?

??????

? 11 分 若 y ? ? 0 , cos? ? 1 ,? ? π , 2 3 又
y? ? 0 ,

? ? 0,π

? 3?





y? ? 0



? ? π ,π

? 3 2?





???????14 分

函数 y ? sin? ? sin? cos ? 在 ? ? π 处取到极大值也是最大值, 3

故 (km2) .

??π

3

























3 3

???????16 分

基本题型三: 例 7. (2009 江苏高考 19 (本小题满分 16 分) )按照某学者的理论,假设一个人生产某 m 产品的单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满意度为m+a;如果他 a 买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为n+a. 如果一个人对两种交易(卖出或买进)的 满意度分别为 h1 和 h2, 则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2.现假设甲生产 A,B 两种产品 的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A,B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元. 设产 品 A,B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲,乙卖出 A 与买 进 B 的综合满意度为 h 乙. 3 (1) 求 h 甲和 h 乙关于 mA,mB 的表达式;当 mA=5mB 时,求证:h 甲=h 乙; 3 (2) 设 mA=5mB 当 mA,mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满 意度为多少? (3) 记(2)中最大的综合满意度为 h0,试问能否适当选取 mA,mB 的值,使得 h 甲≥h 乙和 h 乙 ≥h0 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由. 基本策略:根据 09 江苏高考命题组的说明,这是一道在函数概念、函数最值及基本不 等式的交汇处命制的自编题, 重在考查学生运用函数知识解决实际问题的能力以及数学建模 的能力.试题背景贴近生活实际,只要学生具有较强 的数学阅读能力,建模并不困难,着重 .. 考查学生的数学素质,属难题.预测难度系数为 0.21,预测均分为 3.3.对于变量多,等量关系 复杂的问题,要让学生理清各变量之间的关系,最好的方法是列表,在教学中可引导学生从 下列角度思考问题: 题中有哪些变量?变量之间有怎样的变化关系?你能列一个表格来表示各变量之间的 关系吗? 列表:

甲 A

生产成 本 12

卖出单 价

卖出满意 度

买入单 价 3 mA = 5 mB

买进满意度 12 mA +12 12 3 5mB +12

综合满意度 h 甲 12 mB ·m +5 3 B 5mB +12



B

5

mB

mB mB +5 卖出满意度 mA mA +3 3 5mB 3 5mB +3 mB 20 mB +20 买 入 单价 买进满 意度 综合满意度 h 乙 3 5mB mB ·m +20 3 B 5mB +3

乙 A

生产成 本 3

卖出单 价 3 mA = 5 mB



B

20

列表手段,思路清晰自然,学生很快就可以理顺复杂的变量关系,不仅具有很好的可操 作性,而且变量关系一目了然, “好”变元暴露无遗,大大降低了步骤 1(实际问题数学化) 的难度,使得学生能顺利通过应用问题最难的一关:阅读关,也为学生完成后面的问题打下 了良好的基础. 基本题型四:(解析几何、三角、数列、概率、统计….) 例 8. (南京模考与数列有关的问题)某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原 因,企业的生产能力逐年下降,若不进行技术改造,预计从今年起每年比上一年纯利润 减少 20 万元。 今年初该企业一次性投资 600 万元进行技术改造, 预计在未扣除技术改造 1 资金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+ 2n )万元(n 为正整数)。 (Ⅰ)设从今年起的前 n 年,该企业不进行技术的改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术 改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An、Bn 的表达式; (Ⅱ)以上述预测, 从今年起该企业至少经过多少年, 进行技术改造后的累计纯利润超过不 进行技术改造的累计纯利润? 说明:数列的应用题虽然不像函数应用题地位重要,但也不要轻视,它毕竟也是课本上的内 容, 其实数列应用问题不过就是等差或等比的问题, 这两个类问题都可以归结为利润 问题,单利是等差,复得是等比,因此在二轮的复习过程中,也可以就单利与复利问 题入手总结出数列应用题的这两类问题,上面的例题既有等差问题也有等比的问题. 例 9. (南京模考与三角有关的问题)如图,港口 B 在港口 O 正东方向 120 海里处,小岛 C 在港口 O 北偏东 60?方向、港口 B 北偏西 30?方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿 北偏东 30?的 OA 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O,一艘快艇从港口 B 出发,以 60 海里/小时的速度驶向小岛 C,在 C 岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发, 补给物资的装船时间要 1 小时, 问快艇驶离港口 B 后最少要经过多少小时才能和考察船相 遇?



A



A

C 东 O B O

D

C 东 B

例 10. (2009 宁夏海南卷文) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB =50m,BC=120m,于 A 处测得水深 AD=80m,于 B 处测得水深 BE=200m,于 C 处测得水 深 CF=110m,求∠DEF 的余弦值. 例 11. (2007 山东理 20)如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定 方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 1050 方向的 B1 处,此时两 船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 1200 方向的 B2 北 北 处,此时两船相距 10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?

120 A 2

120 A 2

B2

B1


105 A 1


B2

B1


105 A 1


说明:解三角形是一大类应用问题,上面的例题中△DEF 中没有已知元素,需要学生自己找 到三角形可解的条件,通过分割把非三角形变为可解的三角形,虽然问题不复杂,但要求学 生要有良好的解三角形的素养, 要有判断一个三角形是否可解的能力, 要求什么?怎样才能 可解?条件到哪儿去找? 例 12. (南京模考概率问题)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些 队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率; 羽毛球 篮球 2 5 3 (2)该队员最多属于两支球队的概率.
1 2 4 乒乓球
大海
G D y

3

_
_ _

例 13. (南京 06 模考与解析几何有关的问题)某校兴趣小组运用计算机 对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验.如图,内陆海湾的入口 处有暗礁,图中阴影所示的区域为暗礁区, 其中线段 AA1,B1B,CC1,D1D 关于坐标轴或原点对称,线段 B1B 的方程为 y=x,x∈[a,b],过 O 有一条航

B

F

航 道 B1 D1 海岸
M A1 H A O C1 C E N

暗礁区
x

内陆海湾

道. 5 有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾,在点 M(- 2 a,0)处测得该船发出的汽 5 笛声的时刻总比在点 N( 2 a,0)处晚 1 s(设海面上声速为 a m/s).若该船沿着当前的航线航 行. (不考虑船的体积) (Ⅰ )问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么? (Ⅱ )这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾?请说明理由. 基本策略: 以上各问题与实际生活联系并不是很紧密, 问题的数学特征明显, 完成步骤 1 (实 际问题数学化)不会很困难,学生只要从变量的角度入手,分析问题中呈现的各变量,复杂 问题通过列表理顺各变量之间的关系, 恰当选择出 “好” 变量, 就能很快把实际问题数学化, 对于数学技能熟练的学生,也能迅速把数学标准化问题转化为常规问题.因此从变量的角度 入手,抓出“好”变元,通过列表显化变量关系是非常有效的通用的应用题解题手段.当然 要解好应用题仅仅靠从变量的入手思考是远远不够的,更重要的是学生的综合能力的提高, 包括学生数学技能的不断提高,这个提高是一个螺旋上升的过程,也是一个综合过程,我们 在教学中不可操之过急,要有一个长期的教学主线.有些学生通过苦练数学技能或技巧也能 有效促进应用题解题能力的形成, “只有想得妙,才能解得好” ,对于一部分优秀学生有技巧 较强的解法,我们在教学中要做到合理引导,主张通性通法,不排斥巧思妙想,但老师应了 解这些解法,研究这些想法,不断丰富我们对问题的认识. 限于时间和篇幅, 本讲仅仅就应用问题如何进行数学化设计进行了通用方法的探讨, 希望能 抛砖引玉,对各位老师的教学有一点帮助,欢迎提出宝贵意见.

三、二轮专题与课时建议:
专题 第 一 课 时 简单的应用题 内容说明 侧重于“好” 变元明显的应用题,着重于学 生提练方法,初步掌握思考问题的角度,形 成“好”变元的选择标准 侧重于与实际生活联系密切及变量关系的应 用题,着重于学生应用“好”变元的选择标 准去选择主变元,提高学生分析及解决问题 的能力. 巩固学生的数学解题技能,拓宽学生的认知 面,提高学生解决应用题的能力和速度. 以小题训练为 主,重在提练方 法 精选典型例题, 讲准讲透

第 二 课 时 第 三 课 时

复杂的应用题

其它类型应用题

控制难度,注重 覆盖面


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