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§3.2.1-函数模型的应用实例1(Ⅰ)


饶平二中 2010 学年度第一学期高一数学(必修 1)教案 课题 §3.2.1 几类不同增长的函数模型 课时 1 课时 教学目标 知识与 技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长 差异性.

过程与 方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行 比较,初步体会它们的增长

差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、 对数函数、幂函数、分段函数等) ,了解函数模型的广泛应用.

情感态度与价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型, 体验指数函数、 对数函数等函数与现实 世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 教学重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差 异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 教学难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学方法

教学程序与环节设计:

教学过程: 1、创设情景: 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透 了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子 的天敌, 兔子数量不断增加, 不到 100 年, 兔子们占领了整个澳大利亚, 数量达到 75 亿只. 可 爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大 大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这 些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利 亚人才算松了一口气. 师生双边互动: 师:指出:一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害 等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限环境(空间有限,食物有 限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度后不增长,曲线呈“S”型.可用指数函数 描述一个种群的前期增长,用对数函数描述后期增长的 组织探究: 例 1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 探究: 1)在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系? 2)分析解答(略) 3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么 认识? 4)你能借助计算器或计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方案的特点吗? 5)根据以上分析,你认为就作出如何选择? 师:创设问题情境,以问题引入能激起学生的热情,使课堂里的有效思维增强. 生:阅读题目,理解题意,思考探究问题. 师:引导学生分析本例中的数量关系,并思考应当选择怎样的函数模型来描述. 生:观察表格,获取信息,体会三种函数的增长差异,特别是指数爆炸,说出自己的发现, 并进行交流. 师:引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况,对于“增加量”进行比较,体会“直线 增长” 、 “指数爆炸”等. 师:引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势. 生:对三种方案的不同变化趋势作出描述,并为方案选择提供依据. 师: 引导学生分析影响方案选择的因素, 使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益, 还要考虑一段时间内的总收益. 生:通过自主活动,分析整理数据,并根据其中的信息做出推理判断,获得累计收益并给出 本全的完整解答,然后全班进行交流. 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在

销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金(单位:万元)随销售利润(单位: 万元) 的增加而增加但奖金不超过 5 万元, 同时奖金不超过利润的 25%. 现有三个奖励模型: . 问:其中哪个模型能符合公司的要求? 探究: 本例涉及了哪几类函数模型?本例的实质是什么? 2)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗? 3)通过对三个函数模型增长差异的比较,写出例 2 的解答. 师: 引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响, 使学生明确问题的实质就 是比较三个函数的增长情况. 生:进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用,体会它们的增长差异. 师:引导学生分析问题使学生得出:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万元,以及 奖励比例是否超过 25%进行分析,才能做出正确选择. 生:分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求. 师:引导学生利用解析式,结合图象,对三个模型的增长情况进行分析比较,写出完整的解 答过程. 生:进一步认识三个函数模型的增长差异,对问题作出具体解答. 探究与发现: 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差 异,并进行交流、讨论、概括总结,形成较为准确、详尽的结论性报告. 师:引导学生仿照前面例题的探究方法,选用具体函数进行比较分析. 生:仿照例题的探究方法,选用具体函数进行研究、论证,并进行交流总结,形成结论性报 告. 师:对学生的结论进行评析,借助信息技术手段进行验证演示. 练习: 教材 P116 练习 1、2; 教材 P119 练习. 小结: (收获与体会) 让学生说说这节课的收获,进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用. 作业布置:

教学反思:通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模 型的增长的含义,认识数学的价值,认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体 会数学的实用价值,享受数学的应用美. 授课教师: 授课班级: 授课时间:

周星期


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