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数系的扩充和复数的概念学案11


§ 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
教学目标:知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位 i
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教学重点:复数的概念,虚数单位 i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数 相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地 位和作用
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教学难点:虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是 在引入虚数单位 i 并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定 i 的 第二条性质时,原有的加、乘运算律仍然成立 讲解新课: 1.虚数单位 i : (1)它的平方等于-1,即
i 2 ? ?1 ;
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(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然 成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方 程 x2=-1 的另一个根是- i ! 4.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数 的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示*
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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数 表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且 仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数; 当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们 就说这两个复数相等
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这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据
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一般地,两

个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 数都是实数,就可以比较大小
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如果两个复
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只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例 1 请说出复数 2 ? 3i,?3 ? 数? 答:

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部,有没有纯虚 2 3

例 2 复数-2i+3.14 的实部和虚部是什么? 答: 例 3(课本例 1)实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

[分析]因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实数、 虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值.

解:

例4 解:

已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y.

课堂练习: 1.设集合 C={复数} ,A={实数} ,B={纯虚数} ,若全集 S=C,则下列结 论正确的是( B=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=- ) ) A.A∪B=C B. CS A=B C.A∩ CS B= ? D.B∪ CS

1 2

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

3.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1, 3}.M∩P={3} ,则实数 m 的值为( A.-1 B.-1 或 4 C.6 ) D.6 或-1

4.满足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是 ______. 5.复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是 ______. 6.设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的 值.

7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值.

m(m ? 2) +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m ?1 1 (1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z= +4i. 2
8.已知 m∈R,复数 z=


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