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圆锥曲线的参数方程学习教育课件PPT


二、圆锥曲线的参数方程 1、椭圆的参数方程 x y 由例4我们得到了椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ? x ? a cos? 的一个参数方程为 (?为参数) ? ? y ? b sin ? 这是中心在原点 O,焦点在x轴上的椭圆 的参数方程。 2 2 2、已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos2 ? ? 0, (?为参数),那么圆心的轨迹的普 通 方程为__________ __________ ? 解:方程x ? y ? 4 x cos? ? 2 y sin ? ? 3 cos ? ? 0 2 2 2 可以化为( x ? 2 cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 2 2 ? x ? 2 cos? 所以圆心的参数方程为 (?为参数) ? ? y ? sin ? 2 x 2 化为普通方程是 ? y ? 1 4 ? x ? 2cos? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ( ? 是 ? y ? sin ? 参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为 ( 2 ),焦点坐标是((? 3 , 0)),离心率是 ( 3 2 )。 x y 例1、在椭圆 ? ? 1上求一点 M, 9 4 使点 M到直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离最小, 并求出最小距离 . 2 2 ? x ? 3 cos? 解:因为椭圆的参数方 程为? (?为参数) ? y ? 2 sin ? 所以可设点M (3 cos? ,2 sin ? ) 由点到直线的距离公式 ,得到点M到直线的距离 d? 3 cos? ? 4 sin ? ? 10 5 3 4 5(cos? ? ? sin ? ? ) ? 10 1 5 5 ? ? 5 cos(? ? ? 0 ) ? 10 5 5 3 4 其中?0满足 cos? 0 ? , sin ?0 ? 5 5 由三角函数性质知,当 ?-?0=0时,d取最小值 5 9 8 此时3 cos? ? 3 cos? 0 ? ,2 sin ? ? 2 sin ?0 ? 5 5 9 8 所以,当点M位于( , )时,点M与直线 5 5 x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。 x2 y2 ? ? 1有一内接矩形ABCD, 例2、已知椭圆 100 64 求矩形ABCD的最大面积。 Y y D 解 : 设A ?10cos ? ,8sin ? ? AD ? 20cos ? , AB ? 16sin ? S ? 20 ?16sin ? cos ? ? 160sin 2? 所以, 矩形ABCD最大面积为 160 A1 B2 A F1 C O B1 B F2 X A2 X ? ?1 练习2: 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆 弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大. x2 9 y2 4 解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos? ,2sin? ) S ABC 面积一定, 需求 S ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值 x 线AB的方程为 3 ? y 2 ? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 ? 6 13 d? | 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | 22 ? 32 2 sin( ? ??) 4 所以当? = ? 4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2) 时, d 有最大值, 面积最大 思考: 与简单的线性规划问

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