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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:开卷速查(选修4-5-1绝对值不等式)


开卷速查(选修 4-5-1)

绝对值不等式

A 级 基础巩固练 3 1 1.设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为 A,且2∈A,2?A. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
?3 ? ?1 ? 3 1 解析:(1)因为2∈A,且2?A,所以?2-2?<a,且?2-2?≥a, ?

? ? ?

1 3 解得2<a≤2.又因为 a∈N*,所以 a=1. (2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号. 所以 f(x)的最小值为 3. 2.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;
? a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? ?

解析:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x -3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

?-5x,x<2, ? 则 y=?-x-2,1≤x≤1, 2 ? ?3x-6,x>1.
-1-

1

其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.

所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}.
? a 1? (2)当 x∈?-2,2?时,f(x)=1+a. ? ?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.
? a 1? 所以 x≥a-2 对 x∈?-2,2?都成立. ? ?

a 4 故-2≥a-2,即 a≤3. 4? ? 从而 a 的取值范围是?-1,3?.
? ?

1 3.[2014· 课标全国Ⅱ]设函数 f(x)=|x+a|+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1 1 1 解析: (1)由 a>0, 有 f(x)=|x+a|+|x-a|≥|x+a-(x-a)|=a+a≥2.

-2-

所以 f(x)≥2. 1 (2)f(3)=|3+a|+|3-a|. 5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a, 1+ 5 由 f(3)<5 得 2 <a≤3.
?1+ 5 5+ 21? ? 综上,a 的取值范围是? . , ? 2 ? ? 2 ?

4.已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, 求 a 的值. -2x+6,x≤2, ? ? 解析:(1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4. 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4, 解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}.

-3-

(2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),则 -2a,x≤0, ? ? h(x)=?4x-2a,0<x<a, ? ?2a,x≥a. a-1 a+1 由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, a-1 ? ? 2 =1 , 所以? a+1 ? ? 2 =2 ,

于是 a=3.

B级

能力提升练

5.[2014· 福建]已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小 值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. 解析:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立, 所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)由(1)知 p+q+r=3,又因为 p,q,r 是正实数, 所以 (p2 + q2 + r2)(12 + 12 + 12)≥(p×1 + q×1 + r×1)2 = (p + q + r)2 =9,即 p2+q2+r2≥3.

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6.[2014· 辽宁]设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤4.

?3x-3,x∈[1,+∞?, 解析:(1)f(x)=? ?1-x,x∈?-∞,1?
4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤3,故 1≤x≤3; 当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0,故 0≤x<1. 4 所以 f(x)≤1 的解集为 M={x|0≤x≤3}. 1? ? 1 3 (2)由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16?x-4?2≤4,解得-4≤x≤4.
? ?

1 3 3 因此 N={x|-4≤x≤4},故 M∩N={x|0≤x≤4}. 当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x,于是 1 ? 1? 1 x2f(x)+x· [f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x· f(x)=x(1-x)=4-?x-2?2≤4.
? ?

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