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惠州市2013届高三第一次模拟考试(文数)答案


惠州市 2013 届高三第一次模拟考试试题 数 学(文科)答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)2013419 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 B 6 C 7 C 8 B 9 B 10 A

1. 【解析】 A ? B ? ? 0 ,1? ,故 x ? -1 ,故选 A。 2.【解析】因为 z ? i

(1 ? i ) ? ? 1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i ) ? ? 1 ? i 对应的点在复平面的第二象 限. 故选 B . 3.【解析】抛物线的准线方程为 x ? -2 , ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为
y
2

? 2 p x ( p ? 0 ) ? 则其准线方程为 x ? ?
2

p 2

? ∴?

p 2

? ? 2 ? 解得 p ? 4 ? ∴抛物线的标准

方程为 y ? 8 x .故选 B 。 4.解析】 【 数字共有 n 个,当数字 n ? 6 时,有 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 1 项,所以第 2 5 项是 7, 故选 C。 5.【解析】由三视图可知,该几何体为底面是正方形边长为 2 c m ,高为 2 c m 的四棱锥, 故V ?
1 3
? ?

?2 ?2 ?
2

8 3

c m ,故选 B。
3

6.【解析】乙,丙的平均成绩最好,且丙的方差小于乙的方差,丙的发挥较稳定,故选 C。 7.【解析】 a ? b ? ( 2 , m ? 1) , a //( a ? b ) 故 ? ( m ? 1) ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 3 ,故选 C 8.【解析】做出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3 x ? 2 y 得
y ? 3 2 x? z 2
? ? ?

,由图象可知当直线 y ?

3 2

x?

z 2

经过点 C ( 0 , 2 ) 时,

直线的截距最大,而此时 z ? 3 x ? 2 y 最小 ? 4 为,选 B。
1 ) 9. 【 解 析 】 利 润 L ( x ) ? 2 0x ? C ( x ? ? (x ? 1 8 )?
2

2

1 4 2 ? 当

x ? 1 8 时,有最大值.故选 B

10.【解析】设 P ( x 0 , y 0 ) ,倾斜角为 ? , y ? ? 2 x ? 2 ,则 k ? ta n ? ? 2 x 0 ? 2 ? ? 0 , 1? ,解

1

得 x 0 ? ? ? 1, ? ? ,故选 A。 2? ? 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 11. 200 12. 16 13. -1 14.
3 2 ?1

?

1?

15. 3 3
900 9000

11.【解析】200 人,高中生共有 9000 人,抽取 900,抽取比例为 应抽学生 2 0 0 0 ?
1 10 ? 2 0 0 人。

,故 A 类学校中

2 12.【解析】 ∵ { a n } 是等比数列且 2 ? 8 ? 2 ? 5 ? ∴ a 2 ? a 8 ? a 5 ? 1 6 .

13.【解析】由框图知: S ? 2 , k ? 1; S ? ? 1 , k ? 2; S ?

1 2

, k ? 3;

S ? 2 , k ? 4; S ? ? 1, k ? 5 , 不满足条件,输出 S 的值是 ? 1 .

14.【解析】直线的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 ,为圆;
2 2

d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为 d m a x ?

0? 0? 6 2

?1? 3

2 ?1

15.【解析】连接 C O , A B ? 2 r ? 6 ,? r ? 3 , R t ? C O P 中, ? C P O ? 3 0 ? ,故
O P ? 2 C O ? 2 r ? 6 ,所以 B P ? 6 ? O B ? 3 ,由切割线定理 C P
? CP ? 3 3
2

? BP ? AP ? 27 ,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A co s C . ??2 分 因为 0 ? A ? ? , 所以 s in A ? 0 . 从而 sin C ? co s C . ??4 分 又 c o s C ? 0 , 所以 ta n C ? 1, 则 C ? (2)由(1)知 A ? B ? C ? ? , C ?
? 3 s in A ? c o s ( B ?

?
4

??6 分
?
4 ? ? ? A . ??7 分

?
4

? B ?

?
4

) ? ?

3 s in A ? c o s ( ? ? A ). 3 s in A ? c o s A ? 2 s in ( A ?

?
6

) ??9 分

? 0 ? A ?

3? 4

,?

?
6

? A ?

?
6

?

1 1? 12

, ????????????10 分

从而当 A ?

?
6

?

?
2

,即A ?

?
3

时, 2 s in ( A ?

?
6

) 取最大值 2.?????12 分

2

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由表可知,样本容量为 n ,由
y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ?

2 n

? 0 .0 4 ,得 n ? 5 0 ,由 x ? 14 50 ? 0 .2 8

25 n

? 0 .5 ;?3 分

y n

?

??6 分

(2)设样本视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a , b , c ,在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e .7 分 由题意从 5 人中任取两人的基本事件如下: ( a , d ), ( a , e ), ( b , d ), ( b , e ), ( c , d ), ( c , e ),
( a , b ), ( a , c ), ( b , c ), ( d , e ) ,共有 10 个基本事件???9 分

设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5” ,则事件 A 等价于“抽取两人来 自同一组”包含的基本事件有:
( a , b ), ( a , c ), ( b , c ), ( d , e ) ,共有 4 个基本事件

??11 分
2 5

∴ P ( A) ?

4 10

?

2 5

, 故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为

. ??12 分 D

18. (本小题满分 14 分) (1)证:取 B D 的中点 P ,连接 E P 、 F P ,???? 1 分 则 P F 为中位线, P F / / 又? E A / /
1 2 1 2 D C ? E A / / P F ????3 分 DC

P E C

F 故四边形 A F P E 是平行四边形,即 A F / / E P ?5 分 ? EP ? 面 BDE ; AF ? 面 BDE A ? A F / / 面 B D E ???7 分 (2)解:? B A ? A C ,面 A B C ? 面 A C D E 且交于 A C ? B A ? 面 A C D E ,即 B A 就是四面体 B ? C D E 的高, B A ? 2 ???10 分
? D C ? A C ? 2 A E ? 2,A E / / C D
1 1 ? S 梯 形 A C D E ? (1 ? 2 ) 2 ? 3, S ? A C E ? ? ?1? 2 ? 1 2 2
? S ?CDE ? 3 ? 1 ? 2

B

????????????????????12 分
1 3 ?2?2 ? 4 3 . ???????????14 分

? V B -C D E ?

1 3

? B A ? S ?CDE ?

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)直线 l 是函数 f ? x ? ? ln x 在点 ? 1, 0 ? 处的切线,故其斜 率 k ? f ' ?1 ? ? 1 , ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 .
3

???????2 分

又因为直线 l 与 g ? x ? 的图象相切,且切于点 ? 1, 0 ? , ∴g ?x? ?
1 3 x ?
3

1 2

x

2

? m x ? n 在点 ? 1, 0 ? 的导函数值为 1.

?m ? ?1 ? g ?1 ? ? 0 ? ? ? ? 1 ,???????4 分 ? ? g ' ?1 ? ? 1 ?n ? ? 6 ?

∴g ?x? ?

1 3

x ?
3

1 2

x

2

? x ?

1 6

?????6 分 ???????7 分

(2)? h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? ? ln x ? x 2 ? x ? 1 ? x ? 0 ? ∴ h '? x ? ?
1 x 1? 2x x
2

? 2x ?1 ?

? x

? ?

?2x

? 1 ? ( x ? 1) x

???????9 分

令 h ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x ?
1 2 1 2

1 2

或 x ? ? 1 (舍)???????10 分

时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递增; ????12 分
1 1 ?1 ? ? ??14 分 ? ? ln 2 4 ? 2 ?

时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递减
1 2

因此,当 x ?

时, h ? x ? 取得极大值,? ? h ( x ) ? 极 大 ? h ?

20. (本小题满分 14 分) 解 (1)设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , 则 b ? 1 . ??????1 分

令右焦点 F ( c , 0 )( c ? 0 ) , 则由条件得 3 ?

|c ? 0 ? 2 2

2 |

,得 c ?

2 .????3 分

那么 a ? b ? c ? 3 ,∴椭圆方程为
2 2 2

x

2

? y

2

? 1 .???5 分

3

(2)若直线 l 斜率不存在时,直线 l 即为 y 轴,此时 M , N 为椭圆的上下顶点,
B N ? 0 , B M ? 2 ,不满足条件;???6 分
2

故可设直线 l : y ? k x ?

3 2

( k ? 0 ) ,与椭圆

x

? y

2

? 1 联立,

3

4

消去 y 得: ? 1 ? 3 k
2

2

?x

2

? 9 kx ?
2

15 4

? 0 .???7 分
2

由 ? ? ? 9 k ? ? 4 ?1 ? 3 k

??

15 4 9k

? 0 ,得 k

?

5 12

. ??????8 分

由韦达定理得 x 1 ? x 2 ? ?

1 ? 3k

2

而 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 3 ? ?

9k

2 2

1 ? 3k

? 3

??????10 分

设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) 的中点 P ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ? 由 B N ? B M ,则有 B P ? M N .
y1 ? y 2 k BP ? y0 ? 1 x0 ? 2 x1 ? x 2 2 9k
2

x1 ? x 2 2

, y0 ?

y1 ? y 2 2

?1 ?

?

? 5 2 1 1 ? 3k ? ? ??????11 分 9k k ? 2 1 ? 3k

可求得 k 检验 k
2

2

? 2 3

2 3

.
5 12

??????12 分
, ?? )

?

? (

??????13 分
3 2 6 3 3 2

所以直线方程为 y ? 21. (本小题满分 14 分)

6 3

x ?

或y ? ?

x ?

.???14 分

(1)证明:? a n , a n ? 1 是方程 x ? 2 x ? b n
2 n

? a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 ( n ? N ) 两根,? ? ?1 分 ? b n ? a n a n ?1
n
?

a n ?1 ? ? an ?
? ?

1 3 1 3

? 2 ? 2

n ?1

2 ?

n

? an ? an ? 1 3

1 3

? 2
n

n ?1

? (an ? ?

1

? 2 )
n

n

? 2

3 1 n an ? ? 2 3

? ? 1 ??3 分

故数列 ? a n ?

1

2 1 n ? ? 2 ? 是等比数列,首项 a 1 ? ? , 公比为-1 的等比数列??4 分 3 3 3 ? 1 3 ?2
n

(2)由(1)得 a n ?

?

1 3

? ( ? 1)

n ?1

,即 a n ?

1 3

?2 ?

n

? ( ? 1) ? ??5 分 ?
n

5

S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n

?

1

?(2 3

1

? 2

2

? 2 ? ? 2 ) ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) ? ??6 分 ? ?
3 n 1 2 3 n

?

=

1 ? 2 (1 ? 2 ) ? 1[1 ? ( ? 1) ] ? 1 ? n ?1 ( ? 1) ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? = ?2 ? ??7 分 3 ? 1? 2 1 ? ( ? 1) 3? 2 ? ?
n n n

(3) b n ? a n a n ? 1 ?

1 9

?2 ?

n

? ( ? 1) ? ? ? 2 ? ?
n

n ?1

? ( ? 1)

n ?1

? ? ?

1 9

?2 ?

2 n ?1

? ( ? 2 ) ? 1 ? ??8 分 ?
n

? 要使 b n ? ? S n ? 0 对任意 n ? N 都成立,



1 9

?2 ?

2 n ?1

? ( ? 2 ) ? 1? ? ?
n

? ?

?2 3 ?
1 9

n ?1

? 2 ?

( ? 1) ? 1 ? ? ? ? 0 (*)对任意 n ? N 都成立 2 ?
n
n

①当 n 为正奇数时,由(*)得 即
1 9
? 2
n ?1

(2

2 n ?1

? 2

? 1) ?

?
3

(2

n ?1

? 1) ? 0

(2

n ?1

? 1)( 2

n

? 1) ?

?
3

(2

n ?1

? 1) ? 0

? 1 ? 0,

? ? ?

1 3

(2

n

? 1) 对任意正奇数 n 都成立。 1
n

当且仅当 n ? 1 时, ( 2 ? 1) 有最小值 1,? ? ? 1
3

??11 分
(2
n ?1

②当 n 为正偶数时,由(*)得 即
1 9
? 2
n ?1

1 9

(2
n

2 n ?1

? 2

n

? 1) ?

?
3

? 2) ? 0

(2

2 n ?1

? 1)( 2

n

? 1) ? ? ? ? 1 6

2? 3

(2

? 1) ? 0 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立。 3 2

? 1 ? 0,

1 6

(2

n ?1

当且仅当 n ? 2 时,

(2

n ?1

? 1) 有最小值

,? ? ?

3 2

??13 分

? 综上所述,存在常数 ? ,使得使得 b n ? ? S n ? 0 对任意 n ? N 都成立,

? 的取值范围是 ( ? ? , 1)

??14 分

6


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