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湖南省十二校2013届高三第一次联考数学理Word版含答案


湖南十二校 2013 届高三第一次联考

数学(理)试题
由 长郡中学;衡阳八中;永州四中;岳阳县一中;湘潭县一中;湘西州民中 石门一中; 澧县一中;郴州一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中联合命题 炎德文化审校、制作 总分:150 分 时量:120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目 要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知 i 是虚数单位,且 ( x ? i)(1 ? i) ? y ,则实数 x, y 分别为 A.x=一 1,y=l C.x=1,y=l B.x=-1,y=2 D.x=1,y=2

2.已知条件 p:x≤1,条件 q:

1 <1,则 ? p 是 q 的 x
B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体 积为 10 3 ,则 h=

A.

3 2

B. 3

C.3

3

D.5

3

4.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an ·an?1 ), bn ? (n, n ? 1)n ? N * 下列命题中真命题是 A.若对任意的 n ? N ,都有 cn∥n 成立,则数列 {an } 是筹差数列 b
*

B.若对任意的 n ? N ,都有 cn∥n 成立,则数列 {an } 是等比数列 b
*

C.若对任意的 n ? N ,都有 cn⊥n 成立,则数列 {an } 是等差数列 b
*

D.若对任意的 n ? N ,都有 cn⊥n 成立,则数列 {an } 是等比数列 b
*

5.若下边的程序框图输出的 S 是 126,则条件① 可为 A.n≤5 C.n≤7 B.n≤6 D.n≤8

6.若在直线 l 上存在不同的三点 A、B、C,使得关于 x 的方程 x OA ? xOB ? OC ? 0 有解(点 O 不在直线
2

??? ?

??? ??? ? ?

l 上) ,则此方程的解集为
A. ? B.{一 1,0} D. ?

C.{-1}

? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? , ? 2 ? ? 2 ? ?

7.已知 f ( x) ? a tan 值为 A.-3

?
2

? b sin x ? 4 (其中以 a、b 为常数且 ab ? 0 ) ,如果 f (3) ? 5 则, f (2012? ? 3) 的

B.-5

C.3

D.5

8 . 已 知 函 数 f ( x), x? R 是 偶 函 数 , 且 f ( 2 ? x ) ? f ( 2? x ) 当 ? [0 , 2] 时 , f ( x) ? 1? x , 则 方 程 ,

f ( x) ?
A.8

1 在区间[-10,10]上的解的个数是 1? | x |
B.9 C.10 D.11

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. (一)选做题(请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9. (极坐标与参数方程)极点到直线 2 p ?

1

sin(? ? ) 4

?

( p ? R) 的距离为



10. (几何证明选讲)如图,BC 是半径为 2 的⊙ 的直径, O 点 P 茌 BC 的延长线上,PA 是⊙ 的切线,点 A 在 O 直径 BC 上的射影是 OC 的中点,则 PB· PC= 。 。

11. (不等式证明选讲)若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为 (二)必做题(12 ~16 题) 12.已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2}, N ? { y | y ?

1 2 x ? 1, x ? M }, 则/ M ? N ? 2



13.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的 成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的 平均成绩的概率为 。

14.设 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点.过点 F 的直线 l 与双曲线右支交于点 P,与圆 O:x2+ a 2 b2


y2 =a2 恰好切于线段 PF 的中点 M,则双曲线的离心率为 15.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,…,9 的 9 个 小正方形(如右图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所 涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜 色,则符合条件的所有涂法共有 种.

16.设数列 {an } 满足:a1=1,a2=4,a3 =9,an=an-1+an-2-an-3,则: (1)a8=

, (2)a2013=



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) △ ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,m=(2b -c,a) ,n=(cos A-cosC) ,且 m⊥ n. (1)求角 A 的大小; (2)当 y= 2sin2 B+sin(2B 十 18. (本小题满分 12 分) 某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验,准备用 A、B、C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地 实施人工降雨,其试验数据统计如下: 方式 A B C 实施地点 甲 乙 丙 大雨 4次 3次 2次 中雨 6次 6次 2次 小雨 2次 3次 8次 摸拟试验总次数 2次 12 次 12 次

? )取最大值时,求角 B 的大小. 6

假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. (1)求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率; (2)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即能达到理想状态,乙地必须是大雨才能达到理想状 态,丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态,求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,AB⊥ AD,AB∥ CD,CD= 3AB=3,平面 SAD⊥ 平面 ABCD,E 是线段 AD 上一点,

AE=ED= 3 ,SE⊥ AD. (1)证明:平面 SBE⊥ 平面 SEC; (2)若 SE=1,求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 13 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N * ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 an 与 an+1,之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列 ? 前 n 项和 Tn.

?1? ?的 ? dn ?

21. (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的离心率为

6 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角 3

形的面积为

5 2 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+l)与椭圆 C 相交于 A、B 两点. ① 若线段 AB 中点的横坐标为一

1 ,求斜率 k 的值; 2

② 轴上是否存在定点 M,使 MA ·MB 为定值?若存在,试求出点 M 的坐标和定值;若不存在,请说 x

???? ????

明理由.

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? b ·g ( x) ? a1nx (1)若 f ( x ) 在/ x ? ? ? ,1? 上的最大值为

? 1 ? ? 2 ?

3 ,求实数 b 的值; 8

(2)若对任意 x∈ [1,e],都有 g ( x) ? ? x3 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上是否存在两 ? g ( x), x ? 1

点 P、Q,使得△ POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

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