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2012年高考数学按章节分类汇编(人教A文:选修1-1理:选修2-1):第二章圆锥曲线与方程


2012 年高考数学按章节分类汇编(人教 A 文:选修 1-1 理:选修 2-1) 第二章圆锥曲线与方程
一、选择题 1 . (2012 年高考(山东理) 已知椭圆 C : )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心学率为

3 2

.双曲线 x ? y ? 1 的渐
2 2

近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 A.
x
2





?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1
x a
2 2

C.
? y b
2 2

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

8

2

12

6

16

4

20

5

2 . (2012 年高考 (山东文) 已知双曲线 C 1 : )

? 1( a ? 0, b ? 0 )

的离心率为 2.若抛物线 C 2 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) ( )

的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程为 A. x 2
? 8 3 3 y

B. x 2

?

16 3 3

y

C. x 2 ? 8 y

D. x 2 ? 1 6 y

3 . (2012 年高考(浙江文) 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦 )

点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭 圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. 3 D. 2
x a
2 2





4 . (2012 年高考(浙江理) 如图,F1,F2 分别是双曲线 C: )

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)

的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心 率是 A. C.
2 3 3
2





B. D.
2

6 2
3

5 . (2012 年高考(辽宁文) 已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛 )

物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 A.1 B.3 C. ? 4

( D. ? 8



6 . (2012 年高考 (四川文) 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y 0 ) .若点 M )

到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | O M |? A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5





7 . (2012 年高考 (课标文) 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 1 6 x 的准线交于 A 、 )
2

B 两点, | A B | = 4 3 ,则 C 的实轴长为

( C.4 D.8



A. 2

B. 2 2

8 . (2012 年高考(课标文) 设 F1 , F2 是椭圆 E : )

x a

2 2

?

y b

2 2

=1( a > b >0)的左、右焦点, P 为直线 x ? (
4 5

3a 2

上一

点,△ F 2 P F1 是底角为 3 0 0 的等腰三角形,则 E 的离心率为 A.
1 2



B.

2 3

C.

3 4

D.

9 . (2012 年高考(江西文) 椭圆 )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.

若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.
1 4

( D. 5 -2



B.

5 5

C.
2 2

1 2

10 . (2012 年高考(湖南文) 已知双曲线 C : )

x a

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的 ( )

方程为 A.
x
2

-

y

2

=1

B.

x

2

-

y

2

=1

C.
2 2 2

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1[w~、ww.zz&st^ep.com@]

20

5

5

20 x a y

80

20

20

80

11 . (2012 年高考(福建文) 已知双曲线 )

-

=1 的右焦点为 (3, 0 ) ,则该双曲线的离心率等于

5
3 2
2 2

A

3 14 14

B.

3 2 4

C.

D.

4 3

12. (2012 年高考(大纲文) 已知 F1 , F 2 为双曲线 x ? y ? 2 的左,右焦点,点 P 在 C 上, | P F1 |? 2 | P F 2 | ,则 )
cos ? F1 P F2 ?
1 4 3 5 3 4 4 5





A.

B.

C.

D.

13. (2012 年高考(大纲文) 椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ? 4 ,则该椭圆的方程为( )



A.

x

2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

12

12

8

8

4

12

4
2

14 . (2012 年高考(新课标理) 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y )

? 16 x 的准线交

于 A , B 两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为 A. 2 B. 2 2 C. ?
x a
2 2

( D. ?
? y b
2 2



15 . (2012 年高考(新课标理) 设 F1 F 2 是椭圆 E : )

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为直线 x ?

3a 2



一点, ? F 2 P F1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 (
1 2 2 3 ? ?


? ?

A.

B.

C.

D.

16 . (2012 年高考(四川理) 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M ( 2, y 0 ) .若点 )
M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | O M |?

( D. 2 5
2



A. 2 2

B. 2 3

C. 4
x ? y
2

17 . 2012 年 高 考 ( 上 海 春 ) 已 知 椭 圆 C 1 : ( )

12

4

? 1, C 2 :

x

2

?

y

2

? 1, 则

[答] )

16

8

( A. C 1 与 C 2 顶点相同. C. C 1 与 C 2 短轴长相同.
18 . (2012 年高考(湖南理) 已知双曲线 C : )

B. C 1 与 C 2 长轴长相同. D. C 1 与 C 2 焦距相等.
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的 ( )

方程为 A.
x
2

-

y

2

=1

B.

x

2

-

y

2

=1

C.
2 2 2

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1

20

5

5

20 x y b

80

20

20

80

19 . (2012 年高考(福建理) 已知双曲线 )

?

? 1 的右焦点与抛物线 y ? 1 2 x 的焦点重合,则该双曲线的
2

4

焦点到其渐近线的距离等于 A. 5 B. 4 2 C.3
2 2

( D.5



20 . (2012 年高考(大纲理) 已知 F1 , F 2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | P F1 |? 2 | P F 2 | , )

则 cos ? F1 P F2 ?
1 4 3 5 3 4 4 5





A.

B.

C.

D.

21 . 2012 年 高 考 ( 大 纲 理 ) 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 距 为 4, 一 条 准 线 为 x ? ? 4 , 则 该 椭 圆 的 方 程 为 ( )

( A.
x
2



?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

12

16

8
2

8

4

12

4

22. 2012 年高考 ( (安徽理) 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,点 O 是原点,若 A F ? 3 ; )

则 ? A O B 的面积为





A.
二、填空题

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

23. (2012 年高考(天津文) 已知双曲线 C 1 : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与双曲线 C 2 :

x

2

?

y

2

? 1 有相同的

4

16

渐近线,且 C 1 的右焦点为 F ( 5 , 0 ) ,则 a ? ______, b ? _______.
24. (2012 年高考(重庆文) 设 P 为直线 y ? )
b 3a x 与双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 左支的交点, F1 是左焦

点, P F1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? ___
25. (2012 年高考(四川文) 椭圆 )
x a
2 2

?

y

2

? 1( a 为定值,且 a ?

5 ) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交

5

于点 A 、 B , ? F A B 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______.
26. (2012 年高考(陕西文) 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, )

水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽
27. (2012 年高考(辽宁文) 已知双曲线 x )
2

米.

? y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1⊥P

F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
28. (2012 年高考(安徽文) 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A , B 两点,若 | A F |? 3 ,则 )
2

| B F | =______

? x = 2 pt 2 , 29. (2012 年高考(天津理) 己知抛物线的参数方程为 ? ) ( t 为参数),其中 p > 0 ,焦点为 F ,准线为 l , y = 2 pt, ?

过抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 | E F |= | M F | ,点 M 的横坐标是 3,则 p = _______.
30 . 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) 过 抛 物 线 y ? 2 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A , B 两 点 , 若 ( )
2

AB ?

25 12

, A F ? B F , 则 A F =_____________________.

31. (2012 年高考(四川理) 椭圆 )

x

2

?

y

2

? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,当 ? F A B 的

4

3

周长最大时, ? F A B 的面积是____________.
32. (2012 年高考(上海春) 抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为_______. )
2

33. (2012 年高考(陕西理) 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米 )

后,水面宽____米.
34. (2012 年高考(辽宁理) 已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 )
2

y x

4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________.

35. (2012 年高考(江西理) 椭圆 )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
36 . 2012 年 高 考 ( 江 苏 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中 , 若 双 曲 线 ( )

y
x
2

?

y
2

2

m

m ?4

? 1 的离心率为

5 ,则 m 的值为____.
x a
2 2

37. (2012 年高考(湖北理) 如图,双曲线 )
A1 , A 2

?

y b

2 2

? 1 ( a , b ? 0 ) 的两顶点为

B2 B A A2 O C B1 D F2

,虚轴两端点为 B 1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F 2 . 若以 A1 A 2 为直径的
B, C , D

圆内切于菱形 F1 B1 F2 B 2 ,切点分别为 A , (Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ________; (Ⅱ) 菱 形
S1 S2 ?

. 则

A1 F1

x

F1 B1 F 2 B 的 面 积 S 1 2

与矩形

A B C D的

面积

S2

的比值

________.
2

38. (2012 年高考 (北京理) 在直角坐标系 xo y 中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x )

的焦点 F,且与该抛物线相较于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面 积为________.
三、解答题 39. (2012 年高考(重庆文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) )

已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,上顶点为
A ,左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,线段 O F1 , O F 2



中点分别为 B1 , B 2 ,且△ A B1 B 2 是面积为 4 的直角 三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过
B1 作直线交椭圆于 P , Q , P B 2 ? Q B 2 ,求△ P B 2 Q

的面积

40. (2012 年高考(浙江文)(本题满分 14 分)如图,在 )

直角坐标系 xOy 中,点 P(1,

1 2

)到抛物线 C: y =2px(P>0)的准线的距离为

2

5 4

。点 M(t,1)是

C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。 (1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。

41. (2012 年高考(天津文) 已知椭圆 )

x a

2 2

+

y b

2 2

=1 ( a > b > 0 ) ,点 P (

5 5

a,

2 2

a ) 在椭圆上.

(I)求椭圆的离心率. (II)设 A 为椭圆的右顶点, O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足 | A Q |? | A O | ,求直线 OQ 的斜率的值.

42. (2012 年高考(四川文) 如图,动点 M 与两定点 A ( ? 1, 0 ) 、 B (1, 0) 构成 ? M A B ,且直线 M A、 M B 的斜率 )

之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? x ? m ( m ? 0 ) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q 、 R ,且 | P Q |? | P R | ,求 取值范围.
| PR | | PQ |



y

M

A

O B

x

43. (2012 年高考(上海文) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1 . )
2 2

(1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点. 若|MF|=2 2 ,求过 M 点的坐标;(2)过 C 的左顶点作 C 的两条 渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的 面积; (3)设斜率为 k (| k |? 求证:OP⊥OQ;
2 ) 的直线 l 交 C 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,
2 2

44. (2012 年高考(陕西文) 已知椭圆 C 1 : )

x

2

4

? y ? 1 ,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率.
2

(1)求椭圆 C 2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上, O B ? 2 O A ,求直线 A B 的方程.
??? ? ??? ?

45. (2012 年高考(山东文) 如图,椭圆 M : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

3 2

,直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成

的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m ( m ? R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形

ABCD 有两个不同的交点 S , T .求

| PQ | | ST |

的最大值及取得最大值时 m 的值.

46. (2012 年高考 (课标文) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p >0)的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,已知以 F 为 )
2

圆心, F A 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点. (Ⅰ)若 ? B F D ? 9 0 0 , ? A B D 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A , B , F 三点在同一条直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m , n 距离的比值.

47 . 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) 已 知 三 点 O (0, 0 ), A ( ? 2,1), B ( 2,1) , 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x , y ) 满 足 ( )
? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? | M A ? M B |? O M ? ( O A O )B? 2 ? 。

(1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q ( x 0 , y 0 )( ? 2 ? x 0 ? 2) 是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l ,点 P 的坐标是 (0, ? 1), l 与
P A , P B 分别交于点 D , E ,求 ? Q A B 与 ? P D E 的面积之比。

48. (2012 年高考(湖南文) 在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 )

1 2

的椭圆 E 的一个焦点为圆

C:x +y -4x+2=0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 标.
1 2

2

2

的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐

49. (2012 年高考(湖北文) 设 A 是单位圆 x ? y ? 1 上任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l )
2 2

与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | D M |? m | D A | ( m ? 0, 且 m ? 1) ,当点 A 在圆上运动时,记点
M 的轨迹为曲线 C .

(1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标. (2)过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射影为点 N ,直 线 Q N 交曲线 C 于另一点 H ,是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 P Q ? P H ?若存在,请说明理由.

50. (2012 年高考(广东文) (解析几何)在平面直角坐标系 xO y 中,已知椭圆 C 1 : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左

焦点为 F1 ? ? 1, 0 ? 且点 P ? 0,1 ? 在 C 1 上. (Ⅰ)求椭圆 C 1 的方程; (Ⅱ)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.

51 . 2012 年 高 考 ( 福 建 文 ) 如 图 , 等 边 三 角 形 O A B 的 边 长 为 8 3 , 且 其 三 个 顶 点 均 在 抛 物 线 ( )
E : x ? 2 p y( p 0 ) ? 上.

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ? 1 相较于点 Q .证明以
P Q 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.

52. (2012 年高考(大纲文) 已知抛物线 C: y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? )
2
2

1 2

) ? r ( r ? 0 ) 有一个公共
2 2

点 A ,且在 A 处两曲线的切线为同一直线上. (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m , n 是异于 l 且与 C 及 M 都切的两条直线, m , n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离.

53. (2012 年高考(北京文) 已知椭圆 C : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A ( 2, 0 ) ,离心率为

2 2

.直线

与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. y ? k ( x ? 1) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 得面积为
10 3

时,求 k 的值.

54. (2012 年高考(安徽文) 如图, F 1F 2 分别是椭圆 C : )

x a

2 2

+

y b

2 2

=1(

a ? b ? 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C

的顶点, B 是直线 AF 2 与椭圆 C 的另一个交点, ? F1 A F2 ? 6 0 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知 ? A F1 B 面积为 40 3 ,求 a , b 的值

55. (2012 年高考(天津理) 设椭圆 )

x a

2 2

+

y b

2 2

=1 ( a > b > 0 ) 的左、

右顶点分别

为 A , B ,点 P 在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 A P 与 B P 的斜率之积为 ?
1 2

,求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若 | A P |= | O A | ,证明直线 O P 的斜率 k 满足 | k |> 3 .

56. (2012 年高考 (新课标理) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心, )
2

F A 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点;

(1)若 ? BFD ? 90 , ? ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A , B , F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值.

57.2012 年高考 ( (浙江理)如图,椭圆 C: )

x a

2 2

+

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率为

1 2

,其左焦点到点 P(2,1)的距离为

10

.

不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平 分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

58. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) )

如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F 2 ,线段 O F1 , O F 2 的中点分 别为 B1 , B 2 ,且△ AB 1 B 2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB 2 ? QB 2 ,求直线 l 的方程

59. (2012 年高考(四川理) 如图,动点 M 到两定点 A ( ? 1, 0) 、 B ( 2, 0 ) 构成 ? M A B ,且 ? M B A ? 2 ? M A B , )

设动点 M 的轨迹为 C .

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ? 2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于 且 | P Q |? | P R | ,求
| PR | | PQ |

点 Q、 R ,

的取值范围.

y

M

A

O

B x

60. (2012 年高考(上海理) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C 1 : 2 x ? y ? 1 . )
2 2

(1)过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C 1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证:
2 2

OP⊥OQ;
(3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 . 若 M、N 分别是 C 1 、 C 2 上的动点,且 OM⊥ON,
2 2

求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

61. (2012 年高考(上海春) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. )

已知双曲线 C 1 : x ?
2

y

2

? 1.

4

(1)求与双曲线 C 1 有相同的焦点,且过点 P ( 4 , 3 ) 的双曲线 C 2 的标准方程; (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C 1 的两条渐近线于 A、 B 两点.当 O A ?O B ? 3 时,求实数 m 的值.
??? ??? ? ?

62. (2012 年高考(陕西理) 已知椭圆 C 1 : )

x

2

4

? y ? 1 ,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率.
2

(1)求椭圆 C 2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上, O B ? 2 O A ,求直线 A B 的方程.
??? ? ??? ?

63. (2012 年高考(山东理) 在平面直角坐标系 xO y 中, F 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是抛物 )
2

线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为
3 4

.

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 M Q 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明 理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? k x ?
1 4 1 2
2 2

与抛物线 C 有两个不同的交点 A , B , l 与圆 Q 有两个

不同的交点 D , E ,求当

? k ? 2 时, A B

? D E 的最小值.

64 .( 2012 年 高 考 ( 辽 宁 理 )) 如 图 , 椭 圆 C 0 :
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ,a,b 为 常 数 ), 动 圆

C 1 : x ? y ? t1 , b ? t1 ? a .点 A1 , A2 分别为 C 0 的左,右顶点, C 1 与 C 0 相交于 A,B,C,D 四点.

(Ⅰ)求直线 A A1 与直线 A 2 B 交点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)设动圆 C 2 : x ? y ? t 2 与 C 0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t 2 ? a ,
2 2 2

/

/

/

/

t1 ? t 2 .若矩形 A B C D 与矩形 A B C D 的面积相等,证明: t1 ? t 2 为定值.
/ / / /

2

2

65. (2012 年高考(江西理) 已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 ) ???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? C 上任意一点 M(x,y)满足 M A ? M B ? O M ? ( O A ? O B ) ? 2 .

(1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值.若不存在, 说明理由.
66. (2012 年高考(江苏) 如图,在平面直角坐标系 xo y 中,椭圆 )
? 3?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为

F1 ( ? c ,0)

, F2 ( c ,0 ) .已知 (1 ,e ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. ? 2 ? ? ?

(1)求椭圆的方程; (2)设 A , B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 A F1 与直线 B F 2 平行, A F2 与 B F1 交于点 P. y A (i)若 A F1 ? B F 2 ?
6 2

,求直线 A F1 的斜率;
F1

P O
F2

B x

(ii)求证: P F1 ? P F2 是定值.

(第 19 题)

67. (2012 年高考(湖南理) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2:(x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M )

2

2

到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证 明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

68. (2012 年高考 (湖北理) 设 A 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l )

与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | D M 轨迹为曲线 C .

|? m | D A | ( m ? 0, 且 m ? 1) .

当点 A 在圆上运动时,记点 M 的

(Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N ,直 线 Q N 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k 存在,请说明理由。
?0

,都有 P Q ? P H ?若存在,求 m 的值;若不

69. (2012 年高考(广东理) (解析几何)在平面直角坐标系 xO y 中,已知椭圆 C : )
2 3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的离

心率 e ?

且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0, 2 ? 的距离的最大值为 3.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m , n ? ,使得直线 l : m x ? n y ? 1 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点
A 、 B ,且 ? O A B 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ? O A B 的面积;若不存在,请说明理由.

70. (2012 年高考(福建理) 如图,椭圆 E : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的

左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ?
A , B 两点,且 ? A B F 2 的周长为 8.

1 2

.过 F1 的直线交椭圆于

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相较于点 Q .试探究:在坐 标平面内是否存在定点 M ,使得以 P Q 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明 理由.

71. (2012 年高考(大纲理) (注意:在试卷上作答无效) ) ........
2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ?
2

1 2

) ? r ( r ? 0 ) 有一个公共点 A ,且在 A 处两曲线
2 2

的切线为同一直线 l . (1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离.

72. (2012 年高考(北京理) 已知曲线 C: (5 ? m ) x ? ( m ? 2 ) y ? 8( m ? R ) )
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆,求 m 的范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的两 点 M,N,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G 求证:A,G,N 三点共线.

73. (2012 年高考(安徽理) 如图, F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 分别是椭圆 C : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 过点 F2 作直线 P F 2 的垂线交直线 x ?
a
2

于点 Q ;

c

(I)若点 Q 的坐标为 ( 4, 4 ) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 P Q 与椭圆 C 只有一个交点.

2012 年高考文科数学解析分类汇编:圆锥曲线参考答案 一、选择题 1. 【解析】 因为椭圆的离心率为
3 2

,所以 e ?

c a

?

3 2

,c 2 ?

3 4

a ,c

2

2

?

3 4

a

2

? a

2

? b ,所以 b
2

2

?

1 4

a ,

2

即 a 2 ? 4b 2 , 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y ? ? x , 代 入 椭 圆 得

x a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ,即

x

2 2

?

x b

2 2

?

5x 4b

2 2

? 1 ,所以

4b

x

2

?

4 5

b ,x ? ?
2

2 5

b,y

2

?

4 5

b ,y ? ?
2

2 5

b ,则第一象限的交点坐标为 (

2 5

b,

2 5

b ) ,所以四边形

的面积为 4 ?

2 5

b?
x a
2 2

2 5
?

b ?
y b
2 2

16 5

b

2

? 16 ,所以 b

2

? 5 ,所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 ,选 D.

20

5
3 a ,则双曲线的渐近线方程为

2.

解析:由双曲线 C 1 :
y ? ? b a

? 1( a ? 0, b ? 0 )

的离心率为 2 可知 c ? 2 a , b ?
p 2 ) ,则 d ? p 4

2 x ? ? 3 x ,抛物线 C 2 : x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的焦点 F ( 0 ,

? 2 , d ? 8 ,抛物线 C 2 的方程

为 x 2 ? 1 6 y ,答案应选 D.
3.

【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质,通过对两者公交点求解离心率的关系. 【解析】设椭圆的长轴为 2a,双曲线的长轴为 2 a ? ,由 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 2 a ? 2 ? 2 a ? ,即 a ? 2 a ? , 又 因 为 双 曲 线 与 椭 圆 有 公 共 焦 点 , 设 焦 距 均 为 c, 则 双 曲 线 的 离 心 率 为
e? ? c a?

,e ?

c a

,

e? e

?

a a?

? 2.

4.

【答案】B 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .
c c
b ? ? y= c ( x + c ) ? ? ? y= b x ? a ? b ? ? y= c ( x + c ) ? ? ? y= - b x ? a ?

b

b

直线 PQ 为:y=

b c

(x+c),两条渐近线为:y=

b a

x.由

,得:Q(

ac c?a

,

bc c?a

);由

,

得:P(

? ac c? a

,

bc c? a
c
2 3

).∴直线 MN 为:y-

bc c? a

=﹣ (xc

b

? ac c? a
c
2 3

), ,解之得: e 2
? c a
2 a

令 y=0 得:xM=
5.

c ?a

2

.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=

c ?a

2

?

3 2

,即 e=

6 2

.

【答案】C 【 解 析 】 因 为 点 P,Q 的 横 坐 标 分 别 为 4, ? 2, 代 人 抛 物 线 方 程 得 P,Q 的 纵 坐 标 分 别 为 8,2. 由
x ? 2 y,则 y ?
2

1 2

x ,? y ? ? x , 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的抛物线
2

的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ? 2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ? 4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的 关键.

6.

[答案]B [解析]设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为(
2

p 2

, 0 ),准线方程为 x= ?

p 2

,

? M 在抛物线上, ? M 到焦点的距离等于到准 ? (2 p 2 ) ? y 0 ? (2 ?
2 2

线的距离,即 p 2 ) ? 3
2

解得: p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点 M ( 2 , 2 2),根据两点距离公式 ?| OM |? 2 ? (2 2 )
2 2

有:

? 2 3

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线 的距离). 7. 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.
2 2 2 【解析】由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x ? y ? a ,将 x ? 4 代入等轴双曲线

方程解得 y = ? 1 6 ? a ,∵ | A B | = 4 3 ,∴ 2 1 6 ? a = 4 3 ,解得 a =2,
2 2

∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 8. 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题. 【解析】∵△ F 2 P F1 是底角为 3 0 的等腰三角形,
0

∴ ? P F2 A ? 6 0 0 , | P F2 |? | F1 F2 |? 2 c , ∴ | A F 2 | = c , ∴
2c ? 3 2 a ,∴ e = 3 4

,故选 C.

9.

【答案】B[]
F 【 解 析 】 | A 1 ?| a ? ,c 1| F ? | F 2 2 c , |? B?| 由 a| A Fc |, | F1 F 2 |, | F1 B | 成 等 比 数 列 得 F , 1 1
5 5

( 2 c ) ? ( a ? c )( a ? c ) ? a ? 5 c ? e ?
2 2 2

.

【考点定位】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果. 10. 【答案】A 【解析】设双曲线 C :
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 1 0, c ? 5 .

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?

b a

?2 ,即 a ? 2 b .

2 2 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5, b ?

5 ,? C 的方程为

x

2

-

y

2

=1.

20

5

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算 能力,是近年来常考题型.

11.

【答案】C 【解析】由 a 2 ? 5 ? 3 2 ? a ? 2 ? e ?
c a ? 3 2

,C 答案正确.

【考点定位】本题主本考查双曲线的方程与基本性质,属于基础题. 12. 答案 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义 得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知, a ? 故
2 ? b ,? c ? 2 ,设 | P F1 |? 2 x , | P F 2 | ? x ,则 | P F1 | ? | P F2 |? x ? 2 a ? 2 2 ,

| P F1 |? 4 2 , | P F 2 | ? 2 2
P F1 ? P F 2 ? F1 F 2
2 2 2

,
?

F1 F2 ? 4
2

,
2


2


3 4













co s ? F1 P F 2 ?

(4 2 ) ? (2 2 ) ? 4 2?2 2 ?4 2

2 P F1 ? P F 2

?

.

13. 答案 C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦 距和准线求解参数 a , b , c ,从而得到椭圆的方程. 【 解 析 】 因 为 2c ? 4 ? c ? 2 , 由 一 条 准 线 方 程 为 x ? ?4 可 得 该 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 县
a
2

? 4 ? a ? 4 c ? 8 ,所以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 .故选答案 C
2
2 2 2

c

14.

【解析】选 C 设 C : x ? y ? a ( a ? 0 ) 交 y ? 16 x 的准线 l : x ? ? 4 于 A ( ? 4, 2 3 ) B ( ? 4, ? 2 3 )
2 2 2

2

得: a ? ( ? 4) ? (2 3 ) ? 4 ? a ? 2 ? 2 a ? 4
2 2 2

15. 16.

? 【解析】选 C ? F 2 P F1 是底角为 30 的等腰三角形 ? P F2 ? F2 F1 ? 2( a ? c ) ? 2 c ? e ?

3 2

c a

?

3 4

[答案]B [解析]设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为(
2

p 2

, 0 ),准线方程为 x= ?

p 2

,

? M 在抛物线上, ? M 到焦点的距离等于到准 ? (2 p 2 ) ? y 0 ? 3, 且 ( 2 ?
2 2

线的距离 . p 2 ) ?3
2

解得: p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点 M ( 2 , 2 2) ?| OM | ? 2 ? (2 2 )
2 2

? 2 3

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线 的距离). 17. D 18. 【答案】A

【解析】设双曲线 C :

x a

2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 1 0, c ? 5 .

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?

b a

?2 ,即 a ? 2 b .

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5, b ?
2 2 2

5 ,? C 的方程为

x

2

-

y

2

=1.

20

5

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算 能力,是近年来常考题型. 19. 【答案】A 【解析】∵抛物线的焦点是 F (3, 0 ) ,∴双曲线的半焦距 c ? 3 ,? 4 ? b ? 3 ? b ?
2 2

5 , a ? 4 ,故双曲线

的渐近线的方程为 y ? ?

5 2

x

【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系.考查推理谁 能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想. 20. 答案 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义 得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知, a ? 故
2 ? b ,? c ? 2 ,设 | P F1 |? 2 x , | P F 2 | ? x ,则 | P F1 | ? | P F2 |? x ? 2 a ? 2 2 ,

| P F1 |? 4 2 , | P F 2 | ? 2 2
P F1 ? P F 2 ? F1 F 2
2 2 2

,
?

F1 F2 ? 4
2

,
2


2


3 4













co s ? F1 P F 2 ?

(4 2 ) ? (2 2 ) ? 4 2?2 2 ?4 2

2 P F1 ? P F 2

?

.

21.答案 C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦 距和准线求解参数 a , b , c ,从而得到椭圆的方程. 【 解 析 】 因 为 2 c ? 4 ? c ? 2, 由 一 条 准 线 方 程 为 x ? ? 4 可 得 该 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 县
a
2

? 4 ? a ? 4 c ? 8 ,所以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 .故选答案 C
2
2 2 2

c

22. 【解析】选 C

设 ? A F x ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 B F ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ? 1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3 co s ? ? co s ? ?
1 3
1 2 1 2 3 2

又 m ? 2 ? m co s( ? ? ? ) ? m ?

2 1 ? co s ?
3 2 2

?

3 2

? A O B 的面积为 S ?

? O F ? A B ? sin ? ?

? 1 ? (3 ?

)?

2 2 3

?

二、填空题

23. 【 解 析】 双 曲线 的

x

2

?

y

2

? 1 渐 近线 为 y ? ? 2 x , 而

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的 渐 近线 为 y ? ?

b a

x ,所以有

4
b a
5? a
2

16 x a
2 2

? 2 , b ? 2a , 又 双 曲 线

?

y b

2 2

? 1 的 右 焦 点 为 ( 5 ,0 ) , 所 以 c ?

5 ,又 c

2

? a

2

?b

2

,即

? 4a

2

? 5 a ,所以 a
2

2

? 1, a ? 1, b ? 2 .

24. 【答案】

3 2 4

b ? ? y ? 3a x ? 【解析】由 ? ? 2 2 y ?x ? a2 ? b2 ? 1 ?

? 3 2 a ?x ? ? 4 3 2 3 2 ? a ?c? e? ,又 P F1 垂直于 x 轴,所以 ? 4 4 ? 2 b ?y ? ? ? 4

【考点定位】本题考查了双曲线的焦点、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想.
25. [答案]
2 3
2 2 [解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5

? c ? 2 ,? e ?

c a

?

2 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
26. 解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 x = - 2 y ,当 y = - 3 时,
2

y
x= 6 ,所以水面宽 2 6 米。

27. 【答案】 2 3

x
2 ,? P F1 ? P F 2 ? 2 a ? 2,

【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?
? P F1
2

? 2 P F1 P F 2 ? P F 2
2

2

? 4

? P F1 ? P F 2 ,? P F1
2

? P F2

2

? ( 2 c ) ? 8,? 2 P F1 P F 2 ? 4,
2

? ( P F1 ? P F 2 ) ? 8 ? 4 ? 1 2,? P F1 ? P F 2 ? 2 3

【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中.解题时要充分 利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化.
28. 【解析】 | B F |?
3 2

设 ? A F x ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 B F ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ? 1 的距离为 3

得: 3 ? 2 ? 3 co s ? ? co s ? ?
29. 【答案】2

1 3

又 m ? 2 ? m co s( ? ? ? ) ? m ?

2 1 ? co s ?

?

3 2

【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质.
? x = 2 pt 2 , p 2 【解析】∵ ? 可得抛物线的标准方程为 y = 2 px ( p > 0 ) ,∴焦点 F ( ,0 ) ,∵点 M 的横坐标是 2 ? y = 2 pt,

3,则 M (3, ?

6 p ) ,所以点 E ( ?

p 2

,?

6 p ) , EF =(

2

p 2

?

p 2

) + (0 ?

2

6p)

2

由抛物线得几何性质得 M F =

p 2

+ 3 ,∵ E F = M F ,∴ p + 6 p =

2

1 4

p + 3 p + 9 ,解得 p = 2 .

2

30. 【答案】

5 6

【 解 析 】 设

| A F |? m , | B F |? n

, 则 有

1 m

?

1 ? n

1

, 又
p

| A B |?

25 12

, 所 以

m?n ?

2 12

5 , mn ? 24

2 5 ? m ? 6

,n ? 4

.

5

5

【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常 根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题.
31. [答案]
2 3

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5
2 2

? c ? 2 ,? e ?

c a

?

2 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
32. ( 2, 0 ) 33.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 x = - 2 y ,当 y = - 3 时,
x= 6 ,所以水面宽 2 6 米.
2

34. 【答案】 ? 4

【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y,则 y ?

1 2

x ,? y ? ? x , 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的抛物
2

线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ? 2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ? 4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的

关键.
35.
5 5

【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化

与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: A F1 ? a ? c , F1 F 2 ? 2 c , F1 B ? a ? c .又已知
A F1 , F1 F 2 , F1 B 成等比数列,故 ( a ? c )( a ? c ) ? ( 2 c ) ,即 a ? c ? 4 c ,则 a ? 5 c .故 e ?
2
2 2 2 2 2

c a

?

5 5

.

即椭圆的离心率为

5 5

.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a , c 的方程,然后化为有关 a , c 的齐次式方程, 进而转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要 注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 36. 【答案】2. 【考点】双曲线的性质. 【解析】由
c a
x
2

?

y
2

2

m

m ?4
2

? 1 得a=

m, b =

m ? 4, c =
2

m?m ?4 .
2

∴ e=

=

m ?m ?4 m

= 5 ,即 m ? 4 m ? 4 = 0 ,解得 m = 2 .
2

37.考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算.

解析:(Ⅰ)由于以 A1 A 2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B 2 ,因此点 O 到直线 F 2 B 2 的距离为 a ,又由于虚轴 两端点为
1 2 1 2
B1

,

B2

, 因 此 OB
1 2
5 ?1 2

2

的 长 为 b , 那 么 在 ? F 2 OB 2 中 , 由 三 角 形 的 面 积 公 式
2

知,

bc ?

a | B 2 F 2 |?

a (b ? c )

,又由双曲线中存在关系 c ? a ? b 联立可得出 ( e ? 1) ? e ,
2 2 2

2

2

2

根据 e ? (1, ?? ) 解出 e ?

;

(Ⅱ)设 ? F 2 OB 2 ? ? ,很显然知道 ? F 2 A 2 O ? ? AOB 得 sin ? ?
b b ?c
2 2

2

?? ,

因此 S 2 ? 2 a sin( 2? ) .在 ? F 2 OB 2 中求
2

, cos ? ?
2

c b ?c
2

, 故 S 2 ? 4 a 2 sin ? cos ? ?

4 a bc b ?c
2 2

2

;

菱形 F1 B1 F2 B 2 的面积 S 1 ? 2 bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出
38. 【答案】 3

S1 S2

?

2? 2

5

.

【解析】 y ? 4 x ,可求得焦点坐标为 F (1, 0) ,因为倾斜角为 6 0 ? ,所以直线的斜率为 k ? tan 6 0 ? ? 由
2

3,

利 用 点 斜 式 , 直 线 的 方 程 为 y?

3x ?

3

, 将 直 线 和 曲 线 方 程 联 立

? y ? 3x ? ? ? ? y2 ? 4x ?

3

1 2 3 1 1 ? A (3, 2 3 ), B ( , ? ) ,因此 S ? O A F ? ? O F ? y A ? ? 1 ? 2 3 ? 3 3 2 2

3.

【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题把握住抛物线的 基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键.当然还要知道三角形面积公式.
三、解答题 39. 【答案】:(Ⅰ)
x
2

+

y

2

=1(Ⅱ)

16 10 9

20

4

【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,右焦点为 F2 ( c , 0)

由 ? A B1 B 2 是 直 角 三 角 形 且 | A B1 |? | A B 2 | , 故 ? B1 A B 2 ? 9 0 ? , 从 而 | O A |? | O B |, 即 b ? 2

c 2

,结合

c ? a ? b ? a ?5 b , c ? 4 b ,所以椭圆的离心率 e ?
2 2 2 2 2 2 2

c a

?

2 5 5

,在 R t ? A B1 B 2 中, O A ? B1 B 2

故 S ?AB B ?
1 2

1 2

| B B1 || O A |? | O B 2 || O A |?

c 2

?b ? b

2

, 由 题 设 条 件 S ?AB B ? 4 ? b ? 4 ? b ? 2 , 从 而
2
1 2

a ? 5 b ? 20 ,因此所求椭圆的标准方程为
2 2

x

2

?

y

2

?1.

20

4

(2)由(1)可知 B1 ( ? 2, 0 ), B 2 (2, 0 ) ,由题意,直线 P Q 的倾斜角不为 0,故可设直线 P Q : x ? m y ? 2 ,代入 椭圆的方程可得 ( m ? 5) y ? 4 m y ? 16 ? 0 (*)
2 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ),
?16 m ?5
2

则 y 1 , y 2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y 2 ?
???? ?

4m m ?5
2

,

y1 ? y 2 ?

又 B1 P ? ( x1 ? 2, y1 ), B 2 P ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ,所以 B1 P ? B 2 P ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
? 1 6 ( m ? 1)
2 2

????

???? ???? ?

? y1 y 2 ? ( m y1 ? 4)( m y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? ( m ? 1) y1 y 2 ? 4 m ( y1 ? y 2 ) ? 1 6 ?
2

m ?5
2

?

16m
2

m ?5

? 16

? ?

16m ? 64
2

m ?5
2

由 P B2 ? Q B2
2

2 ,知 B 2 P ? B 2 Q ? 0 ,即 1 6 m ? 6 4 ? 0

???? ???? ? ?

,解得 m ? ? 2

当 m ? 2 时,方程(*)化为: 9 y ? 8 y ? 1 6 ? 0
4 ? 4 10 9 4 ? 4 10 9 8 10 9

故 y1 ?

, y2 ?

, | y1 ? y 2 |?

? P B 2 Q 的面积 S ?

1 2

| B1 B 2 || y 1 ? y 2 |?

16 10 9

当 m ? ?2

时,同理可得(或由对称性可得) ? P B 2 Q

的面积 S ?

16 10 9

综上所述, ? P B 2 Q 的面积为

16 10 9

.

40. 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本

思想方法和运算求解能力.
1 ?2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2 . p 5 ,得 ? 1? ? ? ?t ? 1 ? 2 4 ?

(2)设 A ( x1 , y 1 ), B ? x 2 , y 2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q ( m , m ) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ).
? y 12 ? 2 p x 1 ? 由? 2 ,得 ( y 2 ? y1 )( y1 ? y 2 ) ? k ( x 2 ? x1 ) ,得 k ? 2 m ? 1 ? y2 ? 2px 2 ?

所以直线的方程为 y ? m ?

1 2m

( x ? m ) ,即 x ? 2 m y ? 2 m ? m ? 0 .
2

? x ? 2my ? 2m 2 ? m ? 0 ? 2 2 由? 2 ,整理得 y ? 2 m y ? 2 m ? m ? 0 , ?y ? x ?
2 所以 ? ? 4 m ? 4 m , y1 ? y 2 ? 2 m , y1 y 2 ? 2 m 2 ? m .从而得

AB ?

1?

1 k
2

y1 ? y 2 ?

1 ? 4m

2

4m ? 4m ,
2

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则
d ? 1 ? 2m ? 2m 1 ? 4m
2 2

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 2

AB ? d ? 1 ? 2(m ? m ) ?
2

m?m .
2

2 由 ? ? 4 m ? 4 m ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .

令t ?

m?m

2

,0 ? t ?

1 2 1 2

,则 S ? t (1 ? 2 t ) .
2

设 S ? t (1 ? 2 t ) , 0 ? t ?
2

,则 S ? ? 1 ? 6 t .
2

2 由 S ? ? 1 ? 6 t ? 0 ,得 t ?

6 6 ? 1? ? ? 0, ? ,所以 S m ax ? 9 ,故 ? ABP 的面积的最大值为 9 . 6 ? 2?

6

41. 解:因为点 P (

5 5

a,

2 2
6

a ) 在椭圆上,故

a

2 2

?

a

2 2

?1?

a b

2 2

?

5 8

,于是 e ?
2

a ?b
2

2

5a

2b

a

2

? 1?

b a

2 2

?

3 8

,所以

椭圆的离心率 e ?

4

(2)设直线 O Q 的斜率为 k ,则其方程为 y ? kx ,设点 Q 的坐标为 ( x 0 , y 0 )

42. [解析](1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在.

于是 x≠1 且 x≠-1.此时,MA 的斜率为

y X ?1

,MB 的斜率为

y x ?1

.

由题意,有

y X ?1
2 2

?

y x ?1

=4

化简可得,4x -y -4=0 2 2 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x≠1 且 x≠-1) (2)由 ?
?y ? x ? m ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

消去 y,可得 3x -2mx-m -4=0. (﹡)

2

2

对于方程(﹡),其判别式

? =(-2m)2-4?3(-m2-4)=16m2+48>0

而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1 设 Q、R 的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根. 因为 PQ ? PR ,所以

X

Q

?

X
2

R

,X

Q

?

m?2

m
3

2

?3 ,

X

P

?

m?2

m
3

2

?3

2 1?

3

?1 ? 1? 2 2 1? 3
2

所以

PR PQ

?

X X

P R

? 2 1?

m
3 m

.
?1

2

?1

m
? 2

此时 1 ?

3

m
所以 1 ? 1 ?

2

? 1, 且 1 ?

3

m
2 3 ?1

2

? 3, 且 1 ?
2

2 2 1? 3
2

? ?1

5 3

2 1?

m

m

所以 1 ?

PR PQ

?

X X

R P

? 3, 且

PR PQ

?

X X

R P

?

5 3

综上所述,

PR PQ

的取值范围是(

5 5 1, ) ( , ? 3) 3 3

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、 分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
43. [解](1)双曲线 C :
x
2 1 2

? y ? 1 ,左焦点 F ( ?
2

6 2

, 0) .
2 2

设 M ( x , y ) ,则 | MF | ? ( x ?
2

6 2

) ? y ? ( 3x ?
2 2

) , ? 2 2 ,得 x ?
6 2

2

由 M 是右支上一点,知 x ? 所以 M (
6 2

2 2

,所以 | MF |?

3x ?

2 2

.

,?

2)
2 2

(2)左顶点 A ( ?

, 0 ) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 x 平行的直线方程为: y ?

过 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?
?y ? ? ?y ?

2 (x ?

2 2

) ,即 y ?

2x ? 1 .

2 x 2 x ?1

,得 ?

? ?x ? ? ?y ? ?
1 2

2 4

所求平行四边形的面积为 S ? | OA || y |?

2 4
|b | k
2

(3)设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? b .因直线与已知圆相切,故
2 2 即 b ? k ? 1 (*).

?1

?1,

由?

? y ? kx ? b ?2 x ? y ? 1
2 2

,得 ( 2 ? k ) x ? 2 kbx ? b ? 1 ? 0 .
2 2 2

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x 2 ? ? ? x1 x 2 ? ?

2 kb 2?k
2 2

?1? b 2?k

.

2

y1 y 2 ? ( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) ,所以
OP ? OQ ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? (1 ? k ) x1 x 2 ? kb ( x1 ? x 2 ) ? b
2 2

(1 ? k

2

)( ? 1 ? b )
2

2

2?k

?

2k b 2?k

2

2 2

?

?1? b ? k 2?k
2

2

2

.

由(*)知 OP ? OQ ? 0 ,所以 OP⊥OQ

44.

45. 解:(I) e ?

c a

?

3 2

?

a ?b
2

2

a

2

?

3 4



矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2 b

?8②

由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,∴椭圆 M 的标准方程是 (II) ?
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? y ? x ? m,

x

2

? y ?1.
2

4
? 5 x ? 8m x ? 4m ? 4 ? 0
2 2

,
4m ? 4
2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? m , x1 x 2 ?
5

8

,

5

由 ? ? 64 m 2 ? 20(4 m 2 ? 4) ? 0 得 ?
2 2

5 ? m ?

5

.

| P Q |?

2

4m ? 4 4 2 ? 8 ? ? ?? m? ? 4 5 5 ? 5 ?

5?m

2

.

线段 CD 的方程为 y ? 1( ? 2 ? x ? 2 ) ,线段 AD 的方程为 x ? ? 2 ( ? 1 ? y ? 1) . (1)不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1 ? m ? 所以 ST ?
2 SD ? 2 [1 ? ( m ? 2 )] ?
5 , S ( ? 2 , m ? 2 ), D ( ? 2 ,1) .

2 ( 3 ? m ) ,则

PQ ST

?

4 5

5?m

2 2

(3 ? m )

,

令 t ? 3 ? m (1 ? m ?

5 ), m ? 3 ? t , t ? ( 3 ?

1 1 3? 5 ) 5 , 2 ] ,则 ? [ , t 2 4

所以

PQ ST

?

4 5
4 3

5 ? (3 ? t ) t
2

2

?

4 5

1 3 5 ? 4( ? ) ? , t 4 4
2 5
5 3

当且仅当 t ?



PQ ST

取得最大值

5

,此时 m

?

;

(2)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时 ? 1 ? m ? 1 , 因此 ST ?
2 AD ? 2 2 ,此时

PQ ST

?

2 5

5?m

2

,

当m ? 0 时

PQ ST

取得最大值

2 5

5

;

(3)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,可知 ? 由椭圆和矩形的对称性可知当 m 综上所述当 m
? ? 5 3 ? ? 5 3

5 ? x ? ? 1,
2 5



PQ ST

取得最大值
2 5

5

;

和 0 时,

| PQ | | ST |

取得最大值

5

.

46. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、

线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】(1)由对称性知: ? B F D 是等腰直角 ? ,斜边 B D ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? F A ? F B ? 又 4 2 ? S ? ABD ?
1 BD d ? 1 2
y
2 2

2 p ,所以圆 F 的半径为

2 p,

?2p?

2p ?

2p

2

,所以 p ? 2 ,

2 y

进而圆心 F ?0 , 1 ? ,所以圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
A

A

?

F x

F

?
O x D

O H B D

B

l

l

m

n

(2) ∵ A 、 B 、 F

0 三 点 共 线 于 m , 所 以 AB 为 ⊙ F 的 直 径 , 所 以 ? ADB ? 90 , 由 抛 物 线 定 义

知: AD ? AF ?

1 2

AB

,所以 ? ABD ? 30 0 ,可取直线 m 的倾斜角为 ? ABD ? 30 0 ,又直线 m 过焦

点F?0 ,
?

?

p? ? ,所以直线 m 的方程为: y ? 2 ?

3 3

x?

p 2

; m 的纵截距为 b m ?

p 2

因直线 m ∥直线 n ,
? 3 x?b ?y ? x ? b ,联立 ? 所以可设直线 n 的方程为 y ? ,消去 y 得: 3 3 ? x 2 ? 2 py ?
3
2

x

?

2 3 3

px ? 2 bp ? 0 ? ? (*)

已知直线 n 与抛物线 C 只有一个公共点,所以(*)的判别式等于 0,即有:

? 2 3 ? p p ?? p ? ? 4 ? 1 ? ? ? 2 bp ? ? 0 , 求得: b ? ? ;即直线 n 的纵截距为 b n ? ? , ? ? 3 6 6 ? ?
p

2

所以:坐标原点到 m , n 距离的比为:

bm bn

?

3 2 ? p 1 6

解法二:由对称性设 A ( x 0 ,

x0

2

2p

)( x 0 ? 0 ) ,则 F (0 ,
2

p 2

)

由点 A , B 关于点 F 对称得: B ( ? x 0 , p ?
3p p

x0

)? p?

x0

2

? ?

p 2

2p

2p

? x0 ? 3 p
2

2

得: A ( 3 p ,

3p 2

) ,直线 m : y ? 2

2 x? p ? x? 2 3p

?

3y ?

3p 2

? 0

x ? 2 py ? y ?
2

x

2

? y? ?

x p

?

3 3

? x?

3 3
3 6

p ? 切点 P (

3p 3

,

p 6

)

2p
p 6 3 3 3p 3

直线 n : y ?

?

(x ?

)? x?

3y ?

p ? 0

坐标原点到 m , n 距离的比值为

3p 2

:

3p 6

?3.

? ???? ???? ???? ? ??? ??? ? 47. 【解析】(1) M A ? ( ? 2 ? x ,1 ? y ) , M B ? ( 2 ? x ,1 ? y ) , O M ? ( x , y ) , O A ? O B ? (0, 2 )
2 2 代入式子可得 4 x ? 4 (1 ? y ) ? 2 y ? 2 整理得 x ? 4 y

2

48. 【解析】(Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) ? y ? 2 .故圆 C 的圆心为点
2 2 2 2

( 2 , 0 ), 从而可设椭圆 E 的方程为

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 其焦距为 2 c ,由题设知

c ? 2, e ?

c a

?

1 2

,? a ? 2 c ? 4, b ? a ? c ? 1 2 . 故椭圆 E 的方程为:
2 2

x

2

?

y

2

? 1.

16

12

( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ) , l1 , l 2 的 斜 分 率 分 别 为 k 1 , k 2 . 则 l1 , l 2 的 方 程 分 别 为
l1 : y ? y 0 ? k 1 ( x ? x 0 ), l 2 : y ? y 0 ? k 2 ( x ? x 0 ), 且 k 1 k 2 ?
2 k1 ? y 0 ? k1 x 0 k1 ? 1
2

1 2

. 由 l1 与圆 c : ( x ? 2 ) ? y ? 2 相切,得
2 2

?

2,



2 ? ( 2 ? x 0 ) 2 ? 2 ? k 12 ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k 2 ? y 0 ? 2 ? 0 . ? ? 2 ? ( 2 ? x 0 ) 2 ? 2 ? k 22 ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k 2 ? y 0 ? 2 ? 0 . ? ?

同理可得

0 2 2 从而 k 1 , k 2 是方程 ? ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? k ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k ? y 0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ?

2 ? ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ? ? ? 8 ? ( 2 ? x 0 ) ? y 0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?



且 k1 k 2 ?

y0 ? 2
2

(2 ? x2 ) ? 2
2

? 2.

2 2 ? x0 y ? 0 ? 1, ? 10 ? 16 12 由? 得 5 x 02 ? 8 x 0 ? 3 6 ? 0 . 解得 x 0 ? 2, 或 x 0 ? . 2 5 y0 ? 2 1 ? ? ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 2 2 ?

由 x 0 ? ? 2 得 y 0 ? ? 3; 由 x 0 ?

18 5
57 5

得 y0 ? ?

57 5

, 它们满足①式,故点 P 的坐标为

( ? 2, 3) ,或 ( ? 2, ? 3) ,或 (

18 5

,

) ,或 (

18 5

,?

57 5

).

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程 思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c , a , b 即得椭圆 E 的方程,第二问设出点 P 坐标,
1 2

利用过 P 点的两条直线斜率之积为

,得出关于点 P 坐标的一个方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,

联立两个方程得点 P 坐标. 49. 考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、 直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方 程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求. 解析: (Ⅰ)如图 1,设 M 可得 x
? x0

( x, y )

, A ( x 0 , y 0 ) ,则由 | D M ,|
y 0 |? 1

| ? m | D A | ( m ? 0, 且 m ? 1)
| y|.

,

,|

y |? m | y 0 | ,所以 x 0 ? x

① ②

m

因为 A 点在单位圆上运动,所以 x 0 2 ? y 0 2 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x 2 ? 因为 m ? (0, 1) ? (1, 当0 ?
? ?)

y m

2 2

? 1 ( m ? 0, 且 m ? 1)

.

,所以

m ? 1 时,曲线 C

是焦点在 x 轴上的椭圆,
1 ? m , 0) , ( 1 ? m , 0) ;
2
2

两焦点坐标分别为 ( ? 当m
? 1 时,曲线 C

是焦点在 y 轴上的椭圆,
? m ? 1)
2

两焦点坐标分别为 (0,

, (0,

m ? 1) .
2

(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ? k 直线 Q N 的方程为 y
2 2 2 2

? 0

,设 P ( x1 , kx1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 Q ( ? x1 ,

? kx1 )

, N (0,

kx1 ) ,

? 2 kx ? kx1
2 2

,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
2

( m ? 4 k ) x ? 4 k x1 x ? k x1 ? m ? 0

.

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得
? x1 ? x 2 ? ? 4 k x1 m ? 4k
2 2 2

,即 x 2

?

m x1 m ? 4k
2 2

2

.

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y 2 于是 P Q 而 PQ 即2 ?
???? ? ( ? 2 x1 , ? 2 kx1 )

? kx1 ? 2 kx 2 ?

2 km x1 m ? 4k
2 2

2

.
4 k x1
2

, P H ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? kx1 ) ? ( ?
?
?

????

m ? 4k
2

2

,

2 km x1 m ? 4k
2 2

2

).

? PH
? 0
?

等价于 P Q ? P H ,又 m
2
? 0

???? ????

4 ( 2 ? m ) k x1
2 2

2

m ? 4k
2

2

?0

,

m

2

,得 m

2

,
y
2

故存在 m

,使得在其对应的椭圆 x 2 ?

? 1 上,对任意的 k ? 0

,都有 P Q

? PH

.

2

解法 2:如图 2、3, ? x1 ? (0, 1) ,设 P ( x1 , y1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 Q ( ? x1 , 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ?
m ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 0 .
2 2 2 2 2

? y1 )

, N (0,

y1 )

,

? m 2 x1 2 ? y 1 2 ? m 2 , ? ? m x2 ? y2 ? m , ?
2 2 2 2

两式相减可得



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1
? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0

. 于是由③式可得
2

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 )

? ?m

.
? kQH

④ ,即
2 y1 x1
?

又 Q , N , H 三点共线,所以 k Q N 于是由④式可得 k P Q 而 PQ
? k PH ? y1 x1 ?

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

.
2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) m ? ? ? 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

.

? PH
?

等价于 k P Q
2

? k P H ? ? 1 ,即 ?

m 2

? ?1 y
2

,又 m

? 0

,得 m

?

2

,
? PH

故存在 m

,使得在其对应的椭圆 x 2 ?

? 1 上,对任意的 k ? 0

,都有 P Q

.

2

【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解 的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题 一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能 力有较高的要求.
2 50. 解 析 :( Ⅰ ) 由 左 焦 点 F1 ? ? 1, 0 ? 可 知 c ? 1 , 点 P ? 0,1 ? 在 C 1 上 , 所 以
2

0 a

2 2

?

1 b

2 2

?1 ,即 b ?1 ,所以
2

a ? b ? c ?2 ,于是椭圆 C 1 的方程为
2 2 2

x

? y ?1.
2

2

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率存在,假设其方程为 y ? kx ? b .

? x2 2 ? y ?1 2 ? 联立 ? 2 ,消去 y ,可得 ? 2 k 2 ? 1? x 2 ? 4 k b x ? 2 b2 ? 2 ? 0,由 ? ? ? 4 kb ? ? 4 ? 2 k 2 ? 1 ? ? 2 b 2 ? 2 ? ? 0 ? y ? kx? b ?

可 得 2k 2 ? b2 ? 1 ? 0 ① . 联 立 ?

? y2 ? 4x ? y ? kx ? b

, 消 去 y , 可 得 k 2 x 2? ? 2
? 2 ?k ? 2 ? ? ?b ? 2 ? 2 ?k ? ? 2 ? ? ?b ? ? 2

k ?b4 ?

?x

2

b0 由 ?,

? ? ? 2 kb ? 4 ? ? 4 b k ? 0 可 得 kb ? 1 ② . 由 ① ② , 解 得
2 2 2



,所以直线方程为

y ?

2 2

x?

2

或y??

2 2

x?

2

.

51. 【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导,考

查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
? ? 【解析】(1)依题意 O B ? 8 3 , ? B O Y ? 3 0 设点 B(x,y),则 x= 8 3 ? sin 30 = 4 3

? Y= 8 3 ? co s 3 0 =12 ,∴B( 4 3 ,12)在抛物线上,∴ ( 4 3 ) 2 =2p?12,∴p=2,

抛物线 E 的方程为 X =4y (2)设点 P( X 0 , Y 0 ), X 0 ≠0. ∵Y=
1 4 1 2 1 4 X ,Y ?
2 '

2

1 2

x,

切线方程:y- y 0 =

1 2

x 0 ( x ? x 0 ) ,即 y=

x0 x ?

x0

2

? x= x 0 - 4 ? y ? 1 x0 x ? 1 x0 2 ? ? 2x0 2 4 由? ?得 ? ? Y ? ?1 ? ? Y = ?1 ?
2

? ? ? ? ?

∴Q(

x

2 0

?4

2x0

,-1)

M 设 M(0, y 1 )∴ M P ? ( x 0, y 0 ? y 1) , Q = ( ?4

????

???? ?

x

2 0

?4

2x0

???? ???? ? , 1 ? y 1) ? ,∵ M P ? M Q =0

x

2 0

2x0

- y 0 - y 0 y 1 + y 1 + y 1 =0,又 y 0 =
2

1 4

x 0( x 0 ? 0),∴联立解得 y 1 =1
2

故以 PQ 为直径的圆过 y 轴上的定点 M(0,1)
52. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求

解点到直线的距离.
2 解 :(1) 设 A ( x 0 , ( x 0 ? 1) ) , 对 y ? x ? ( x ? 1) 求 导 得 y ? ? 2 ( x ? 1) , 故 直 线 l 的 斜 率 k ? 2 ( x 0 ? 1) , 当

2

x 0 ? 1 时,不合题意,所心 x 0 ? 1
( x 0 ? 1) ?
2

1 2

圆心为 M (1, ) , M A 的斜率 k ? ?
2

1

x0 ? 1

由 l ? M A 知 kk ? ? ? 1 ,即 2 ( x 0 ? 1) ?

( x 0 ? 1) ?
2

1 2 ? ? 1 ,解得 x ? 0 ,故 A (0,1) 0

x0 ? 1

所以 r ? | M A |?

(1 ? 0 ) ? (
2

1 2

? 1) ?
2

5 2

2 2 (2) 设 ( a , ( a ? 1) ) 为 C 上 一 点 , 则 在 该 点 处 的 切 线 方 程 为 y ? ( a ? 1) ? 2 ( a ? 1)( x ? a ) 即

y ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1
2

若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为

5 2

| 2 ( a ? 1) ? 1 ?

1 2
2

? a ?1|
2

,即

[ 2 ( a ? 1)] ? ( ? 1)

?
2

5 2

,化简可得

a ( a ? 4 a ? 6) ? 0
2 2

求解可得 a 0 ? 0, a1 ? 2 ? 10 , a 2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 ( a i , ( a i ? 1) 2 )( i ? 0,1, 2 ) 处的切线分别为 l , m , n ,其方程分别为
y ? 2 x ? 1 ① y ? 2 ( a1 ? 1) x ? a1 ? 1 ②
2

y ? 2 ( a 2 ? 1) x ? a 2 ? 1 ③
2

②-③得 x ?

a1 ? a 2 2

? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ? 1 ,故 D (2, ? 1)

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? ( ? 1) ? 1 | 2 ? ( ? 1)
2 2

?

6 5 5

.

【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公 共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度 加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向. 53. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的, 相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的.
a ? 2 ? ? 2 ? c 解:(1)由题意得 ? 解得 b ? ? 2 ? a 2 2 2 ?a ? b ? c ?

2 .所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

2

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 4 ? 0 . ? ?1 ? ? 4 2





M,N








4k
2 2




2k ? 4
2

( x1 , y 1 )

,

( x2 , y2 )

,



y1 ? k ( x1 ? 1) , y 2 ? k ( x 2 ? 1) , x1 ? x 2 ?

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

1 ? 2k

2

.

所以|MN|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] =
2 2 2 2

2 (1 ? k )( 4 ? 6 k )
2 2

1 ? 2k

2

.

由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1) 的距离 d ?

|k | 1 ? 2k
2
2

,

所以△AMN 的面积为 S ?

1 2

| M N | ?d ?

|k |

4 ? 6k
2

1 ? 2k
c a

. 由

|k |

4 ? 6k
2

2

1 ? 2k

?

10 3

,解得 k ? ? 1 .

54. 【解析】(I) ? F1 A F 2 ? 6 0 ? a ? 2 c ? e ?

?

?

1 2

(Ⅱ)设 B F2 ? m ;则 B F1 ? 2 a ? m 在 ? B F1 F2 中, B F1
2 2
2

? B F2

2

? F1 F 2

2

? 2 B F 2 ? F1 F 2 ? co s 1 2 0

?

? (2a ? m ) ? m ? a ? am ? m ?
2

3 5

a

? A F1 B 面积 S ?

1 2

? F 2 F1 ? A B ? sin 6 0 ?

?

1 2

? a ? (a ?

3 5

a) ?

3 2

? 4 0 3 ? a ? 1 0, c ? 5, b ? 5 3

55. 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等

基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方程,考查运算求解能力、 综合 分析和解决问题的能力. 解: (1)取 P (0, b ) , A ( ? a , 0 ), B ( a , 0 ) ;则 k A P ? k B P ?
a ?b
2 2

b a

? (?

b a

)? ?

1 2

? a ? 2b
2

2

e ?
2

a

2

?

1 2

? e?

2 2
a 2 co s ? , b 2 sin ? )

(2)设 P ( a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2 ? ) ;则线段 O P 的中点 Q (
| A P |= | O A | ? A Q ? O P ? k A Q ? k ? ? 1

k AQ ?

b sin ? 2 a ? a co s ?

? b sin ? ? a k A Q co s ? ? 2 a k A Q

? 2 a k AQ ?

b ? a k AQ ? a 1 ? k AQ ? k AQ ?
2 2 2 2

3 3

? k ?

3

方法二:依题意,直线 O P 的方程为 y ? k x ,可设点 P ( x 0 , kx 0 ) ,由点 P 在椭圆上,有
2 2 2

x0 a

2

2

?

k x0 b
2

2

2

? 1 ,因

为 a ? b ? 0, kx 0 ? 0 ,所以

x0 a

2

?

k x0 b
2

? 1 即 (1 ? k ) x 0 ? a ③
2 2 2

2 2 2 2 2 2 由 | A P |? | O A |, A ( ? a , 0) ,得 ( x 0 ? a ) ? k x 0 ? a 整理得 (1 ? k ) x 0 ? 2 a x 0 ? 0 ,于是 x 0 ?

?2a 1? k
2

,代

入③得 (1 ? k ) ?
2

4a

2 2

1? k

? a ? k
2

2

? 3 ? | k |?

3.

56. 【解析】(1)由对称性知: ? B F D 是等腰直角 ? ,斜边 B D ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? F A ? F B ?
S ?ABD ? 4 2 ? 1 2
2 2

2p

? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 (2)由对称性设 A ( x 0 ,
x0
2

2p

)( x 0 ? 0 ) ,则 F (0 ,
2

p 2

)

点 A , B 关于点 F 对称得: B ( ? x 0 , p ?

x0

)? p?

x0

2

? ?

p 2

2p
p

2p

? x0 ? 3 p
2

2

3p

得: A ( 3 p ,

3p 2

) ,直线 m : y ? 2

2 x? p ? x? 2 3p

?

3y ?

3p 2

? 0

x ? 2 py ? y ?
2

x

2

? y? ?

x p

?

3 3

? x?

3 3
3 6

p ? 切点 P (

3p 3

,

p 6

)

2p
p 6 3 3 3p 3

直线 n : y ?

?

(x ?

)? x?

3y ?

p ? 0

坐标原点到 m , n 距离的比值为
57. 【解析】

3p 2

:

3p 6

?3.

(Ⅰ)由题: e

?

c a

?

1 2

; (1)
? (2 ? c ) ? 1 ?
2 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d 由(1) (2)可解得: a 2
2 2

10

. (2)

? 4, b ? 3, c ? 1 .

∴所求椭圆 C 的方程为:

x

2

+

y

2

?1.

4

3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0.
2 2

1

1

∵A,B 在椭圆上,
? ? ? ∴? ? ? ? xA 4 xB 4
2 2

+

yA 3 yB 3

2

?1
2

? ?1

k AB ?

yA ? yB x A ? xB

? ?

3 x A ? xB 4 yA ? yB

? ?

3 2 x0 4 2 y0

? ?

3 2

.

+

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣
2 ? x2 y + ?1 ? ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y= - 3 x ? m ? ? 2

3 2

x?m

(m≠0),

?

3 x ? 3m x ? m ? 3 ? 0
2 2

.

显然 ? ∴﹣

? (3 m ) ? 4 ? 3( m ? 3) ? 3(12 ? m ) ? 0
2 2 2

.

12

<m<

12 ? xB

且 m≠0. =m, y A
? xB
? yB

由上又有: x A ∴|AB|=

=

m ?3
2

.
( x A ? xB ) ? 4 x A xB
2

3
1 ? k AB

1 ? k AB

| xA

|=

= .

39 6

12 ? m

2

.

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ∴S ? ABP= d|AB|=
2 1

?

8 ? 2m 13

?

2 4?m 13

3 6

( 4 ? m ) (1 2 ? m )
2 2

,其中﹣

12

<m<

12

且 m≠0.

利用导数解: 令 u (m ) ? 则 u ?( m ) ? 当 m= 1 ?
(4 ? m ) (12 ? m )
2 2

,
7 )( m ? 1 ? 7)

? 4( m ? 4)( m ? 2 m ? 6) ? ? 4( m ? 4)( m ? 1 ?
2

7

时,有(S ? ABP)max.
7 ?2? 0

此时直线 l 的方程 3 x ? 2 y ? 2 【答案】(Ⅰ)
x
2

. .

+

y

2

? 1 ;(Ⅱ) 3 x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0

4

3

58. 【考点定位】 本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般方程,直线与圆锥曲线的综合

问题. 解:设所求椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,右焦点为 F2 ? c , 0 ? .

因 ? A B1 B 2 是直角三角形,又 A B1 ? A B 2 ,故 ? B1 A B 2 为直角,因此 O A ? O B 2 ,得 b ?

c 2

.

2 2 2 2 结合 c ? a ? b 得 4b ? a ? b ,故 a ? 5 b , c ? 4 b ,所以离心率 e ?
2 2 2 2 2 2

c a

?

2 5

5.

在 R t ? A B1 B 2 中, O A ? B1 B 2 ,故
S ? AB B ?
1 2

1 2

B1 B 2 ? O A ? O B 2 ? O A ?
2

c 2

?b ? b

2

由题设条件 S ? A B B ? 4 ,得 b ? 4 ,从而 a ? 5 b ? 20 .
2 2
1 2

因此所求椭圆的标准方程为:
x
2

?

y

2

?1

20

4

(2)由(1)知 B1 ( ? 2, 0 ), B (2, 0 ) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为: x ? m y ? 2 ,代入 椭圆方程得 ? m ? 5 ? y ? 4 m y ? 1 6 ? 0 ,
2 2

设 P ? x1 , y 2 ? , Q ? x 2 , y 2 ? ,则 y 1 , y 2 是上面方程的两根,因此
y1 ? y 2 ? 4m m ?5
2

, y 1 ?y 2 ? ?
???? ?

16 m ?5
2

又 B 2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B 2 Q ? ? x 2 ? 2, y 2 ? ,所以
???? ???? ? ? B 2 P ?B 2 Q ? ? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 2 ? ? y1 y 2
? ? m y1 ? 4 ? ? m y 2 ? 4 ? ? y1 y 2

???? ?

? ? m ? 1 ? y1 y 2 ? 4 m ? y1 ? y 2 ? ? 1 6
2

? ?

1 6 ? m ? 1?
2

m ?5
2

?

16m
2

2

m ?5

? 16

? ?

16m ? 64
2

m ?5
2

由 P B 2 ? Q B1 ,得 B 2 P ?B 2 Q ? 0 ,即 1 6 m ? 6 4 ? 0 ,解得 m ? ? 2 ,
2

???? ???? ? ?

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 x ? 2 y ? 2 ? 0
59. [解析](1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0, y ? 0 .

当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
| y | x ? 2 2 ? 1? ( | y | x ?1 | y | x ?1

有 tan∠MBA=
2

2 tan ? MAB 1 ? tan
2

?

2

? MAB

,即

)

2

化简得:3x -y -3=0,而又经过(2,,±3) 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x -y -3=0(x>1) (II)由方程
? y ? ?2 x ? m 2 2 消去 y,可得 x ? 4 mx ? m ? 3 ? 0 .(*) ? 2 2 ?3 x ? y ? 3 ? 0
2 2

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x ) ? x ? 4 mx ? m ? 3
? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? 所以 ? f (1) ? 1 2 ? 4 m ? m 2 ? 3 ? 0 ? 2 2 ? ? ( ? 4 m ) ? 4 ( m ? 3) ? 0 ? ? ?

解得,m>1,且 m ? 2

设 Q、R 的坐标分别为 ( x 0 , y 0 ), ( x R , y R ) ,由 PQ ? PR 有
xR ? 2m ? 3 ( m ? 1) , x 0 ? 2 m ?
2

3 ( m ? 1)
2

所以

PR PQ

?

xR xQ

?

2m ? 2m ?

3 ( m ? 1)
2

2? ? 2?

3 (1 ? 3 (1 ?

1 m 1 m
2 2

) ? ?1 ? ) 2?

4 3 (1 ? 1 m
2

3 ( m ? 1)
2

)

由 m>1,且 m ? 2,有
1 ? ?1 ? 2? 4 3 (1 ? 1 m
2

? 7 ? 4 3,且 ? 1 ? ) 2?

4 (1 ? 3 1 m
2

? 7. )

所以

PR PQ

的取值范围是 ?1, 7 ? ? ( 7 , 7 ? 4 3 )

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、 分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
60. [解](1)双曲线 C 1 :
x
2 1 2

? y ? 1 ,左顶点 A ( ?
2

2 2

, 0 ) ,渐近线方程: y ? ? 2 (x ?
2 2

2 x.

过点 A 与渐近线 y ?

2 x 平行的直线方程为 y ?
2 4

) ,即 y ?

2 x ?1.

?x ? ? ?y ? ? 2 x ? 解方程组 ? ,得 ? ?y ? 1 ?y ? 2 x ?1 2 ?

所以所求三角形的面积 1 为 S ?

1 2

| OA || y |?

2 8

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
|b | 2

? 1 ,即 b ? 2
2

由?

? y ? x?b ?2 x ? y ? 1
2 2

,得 x ? 2 bx ? b ? 1 ? 0 .
2 2

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x 2 ? 2 b ? x1 x 2 ? ? b ? 1
2

.

又 y1 y 2 ? ( x1 ? b )( x 2 ? b ) ,所以
OP ? OQ ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 2 x1 x 2 ? b ( x1 ? x 2 ) ? b
? 2 ( ? b ? 1) ? b ? 2 b ? b ? b ? 2 ? 0 ,
2 2 2
2

故 OP⊥OQ (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为

3 3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时,

设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |? 由?
? y ? kx ?4 x ? y ? 1
2 2

2 2

),则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x . k
2 1? k 4?k
2 2

,得 ?
2

? 2 ?x ? ?y ? ?
2

1 4?k k
2 2 2

,所以 | ON | ?

.

4?k

同理 | OM | ?
2

1? k 2k
2

?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | ) d ? | OM | | ON | ,
2 2 2 2 2

所以 d1 ?
2

1 | OM |
2

?

1 | ON |
2

?

3k k

2 2

?3 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值
61. 解(1)双曲线 C 1 的焦点坐标为 ( 5 , 0 ), ( ? 5 , 0 ) ,设双曲线 C 2 的标准方程为
?a2 ? b2 ? 5 ? ? ?16 3 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) ,则

2 ?a2 ? 4 x ? 2 ? y ?1. ,所以双曲线 C 2 的标准方程为 ? 2 4 ?b ? 1 ?

(2)双曲线 C 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,设 A ( x1 , 2 x1 ), B ( x 2 , ? 2 x 2 )
2 ? 2 y x ? ?0 ? 2 2 2 4 ? 3 x ? 2 m x ? m ? 0 ,由 ? ? 16 m ? 0 ? m ? 0 由? ? ?y ? x? m

又因为 x1 x 2 ? ?
2

m 3

2

,而 O A ? O B ? x1 x 2 ? 2 x1 ? ( ? 2 x 2 ) ? ? 3 x1 x 2

??? ??? ? ?

所以 m ? 3 ? m ? ? 3 .
62.解析:(1)由已知可设椭圆 C 2 的方程为
a ?4
2

y a

2 2

?

x

2

?1

(a ? 2)

4

其离心率为

3 2

,故
2

?

3 2

,则 a ? 4

a
y ? x
2

故椭圆的方程为 (2)解法一
??? ?

?1

16

4

A , B 两点的坐标分别记为 ( x A , y A ),

( xB , yB )

由 O B ? 2 O A 及(1)知, O , A , B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 A B 的方程为 y ? kx
x
2

??? ?

将 y ? kx 代入

4

? y ? 1 中,得 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,所以 x A ?
2

2

2

2

4 1 ? 4k
2

将 y ? kx 代入
??? ? ??? ?

y

2

?

x

2

16
2

4

? 1 中,则 ( 4 ? k ) x ? 1 6 ,所以 x B ?
2 2
2

16 4?k
2

由 O B ? 2 O A ,得 x B ? 4 x A ,即
2

16 4?k
2

?

16 1 ? 4k
2

解得 k ? ? 1 ,故直线 A B 的方程为 y ? x 或 y ? ? x 解法二
??? ?
A , B 两点的坐标分别记为 ( x A , y A ),

( xB , yB )

由 O B ? 2 O A 及(1)知, O , A , B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 A B 的方程为 y ? kx
x
2

??? ?

将 y ? kx 代入
??? ? ??? ?

4

? y ? 1 中,得 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,所以 x A ?
2

2

2

2

4 1 ? 4k
2

由 O B ? 2 O A ,得 x B ?
2

16 4?k
2

, yB ?
2

16k

2 2

1 ? 4k
2 2

将 x B , y B 代入

2

2

y

2

?

x

2

? 1 中,得

4?k 1 ? 4k

? 1 ,即 4 ? k ? 1 ? 4 k
2

2

16

4

解得 k ? ? 1 ,故直线 A B 的方程为 y ? x 或 y ? ? x .
p 2

63.解析:(Ⅰ)F 抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点 F ( 0 ,

2

) ,设 M ( x 0 ,

x0

2

2p

)( x 0 ? 0 ) , Q ( a , b ) ,由题意可知 b ?

p 4

,

则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 b ?

p 2

?

p 4

?

p 2

?

3 4

p ?

3 4

,解得 p ? 1 ,于是抛物线 C 的方程为

x

2

? 2y .

(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M, 而 F (0,
1 2 ), O ( 0 , 0 ), M ( x 0 ,
2

x0 2

2

) ,Q (a,

1 4

) , MQ ? OQ ? QF ,

(x0 ? a) ? (
2

x0 2

?

1 4

)

2

? a

2

?

1 16

,a ?

x0 8

3

?

3 8

x0 ,

1

? ?

x0 2 5 8

2

由 x ? 2 y 可得 y ? ? x , k ? x 0 ?
2

4 x0 8
3

,则
x0

1 8

x0 ?

4

5 8

x0

2

?

1 4

?

1 2

x0 ,

2

即 x 0 ? x 0 ? 2 ? 0 ,而 x 0 ? 0 ,解得 x 0 ?

4

2

2 ,点 M 的坐标为 ( 2 ,1) .

(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,则点 M ( 2 ,1) , Q (

5 2 1 , ). 8 4

? x2 ? 2y 1 ? 2 2 ? 0 , ? ? 4 k ? 2 ? 0 .设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由? 1 可得 x ? 2 kx ? y ? kx ? 2 ? 4 ?
AB
2

? (1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ? (1 ? k )( 4 k
2 2

2

2

? 2)
k? 5 2 8 1? k
2

圆Q : (x ?

5 2 8

) ? (y ?
2

1 4

)

2

?

50 64

?

1 16
2

?

27 32

,D ?

?

5 2 k 8 1? k
2

DE

2

? 4[

27 32

?

25 k

2 2

32 (1 ? k )
2

]?

27 ? 2 k
2

8 (1 ? k ) ? 2) ?

,

于是 AB

2

? DE

? (1 ? k )( 4 k
2

2

27 ? 2 k
2

2

8 (1 ? k )
2

,令 1 ? k

2

? t?[

5 4

,5 ]

AB

2

? DE

2

? (1 ? k )( 4 k
2

2

? 2) ?

27 ? 2 k
2

8 (1 ? k )
25 8t
2

? t (4t ? 2) ?

2 t ? 25 8t

? 4t

2

? 2t ?

25 8t

?

1 4

,



g (t ) ? 4 t

2

? 2t ?

25 8t

?

1 4

, g ?( t ) ? 8 t ? 2 ?

,

当 t ? [ , 5 ] 时, g ? ( t ) ? 8 t ? 2 ?
4

5

25 8t
2

? 0,

即当 t ?

5 4

,k ?

1 2

时 g ( t ) min ? 4 ?

25 16

? 2?

5 4

?

25 8? 5 4

?

1 4

? 6

1 2

.

故当 k ?

1 2

时, ( AB

2

? DE

2

) min ? 6

1 2

.

64. 【答案及解析】

【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题,考查转化与化归能力、 运算求解能力,是难题. 【解析】设 A ? x1 , y1 ? , B ? x1 ,- y1 ? ,又知 A1 ? - a ,0 ? , A2 ? a ,0 ? ,则 直线 A1 A 的方程为 直线 A 2 B 的方程为 由①②得
y =
2

y=

y1 x1 + a - y1 x1 - a

? x+a ?

① ② ③

y=

? x -a ?
-a
2
2

- y1
2

2 2

x1 - a

?x

2

?
y1 b
2 2

由点 A ? x1 , y 1 ? 在椭圆 C 0 上,故可得

x1 a

2

+

2 x ? 2 2 ? =1 ,从而有 y 1 = b ? 1- 12 ? ,代入③得 ? a ?

x a

2 2

-

y b

2 2

=1 ? x < - a , y < 0 ?

??6 分

(2)证明:设 A ' ? x 2 , y 2 ? ,由矩形 A B C D 与矩形 A 'B 'C 'D ' 的面积相等,得
2 x ? 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 4 x1 y1 = 4 x 2 y 2 , ? x1 y1 = x 2 y 2 ,因为点 A , A ' 均在椭圆上,所以 b x1 ? 1- 12 ? = b x 2 a ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? x2 2 ? ? 1- 2 ? ? a ?

由 t1 ? t 2 ,知 x1 ? x 2 ,所以 x1 + x 2 = a 。从而 y1 + y 2 = b ,因而 t1 + t 2 = a + b 为定值?12 分 【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的 关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较大.在求解点 M 的轨迹方程时, 要注意首先写出直线 AA 1 和直线 A 2 B 的方程,然后求解.属于中档题,难度适中.
65.

【解析】 解:(1)依题意可得 M A ? ( ? 2 ? x ,1 ? y ), M B ? (2 ? x ,1 ? y ) ,
???? ???? | M A ? M B |? ???? ? ??? ??? ? ? 2 2 ( ? 2 x ) ? ( 2 ? 2 y ) , O M ? ( O A ? O B ) ? ( x , y ) ? (0, 2 ) ? 2 y ,
2 2

????

????

由已知得 ( ? 2 x ) ? ( 2 ? 2 y ) ? 2 y ? 2 ,化简得曲线 C 的方程: x ? 4 y
2

(2) 假 设 存 在 点 P(0,t)(t<0) 满 足 条 件 , 则 直 线 PA 的 方 程 是 y ?

t ?1 2

x ? t , 直 线 PB 的 方 程 是

y ?

1? t 2

x ? t ,曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为 y ?

x0 2

x?

x0 4

2

, 它与 y 轴的交点为 F (0, ?

x0 4

2

) ,由于

? 2 ? x 0 ? 2 ,因此 ? 1 ?

x0 2

?1

①当 ? 1 ? t ? 0 时, ? 1 ?
? 1 ? t ? 0 时不符合题意

t ?1 2

? ?

1 2

,存在 x 0 ? ( ? 2 , 2 ) ,使得

x0 2

?

t ?1 2

,即 l 与直线 PA 平行,故当

② 当 t ? ?1 时 ,
t ?1 ? ?y ? 2 x?t ? ? 2 ? y ? x0 x ? x0 ? ? 2 4

t ?1 2

? ?1 ?

x0 1 ? t x , ? 1 ? 0 , 所 以 l 与 直 线 PA,PB 一 定 相 交 , 分 别 联 立 方 程 组 2 2 2

1? t ? ?y ? 2 x?t ? , ,? 2 ? y ? x0 x ? x0 ? ? 2 4
x0 ? 4t
2

解得 D,E 的横坐标分别是 x D ?
x0 ? 4t
2

2 ( x0 ? 1 ? t )

, xE ?

x0 ? 4t
2

2 ( x 0 ? t ? 1)

则 x E ? x D ? (1 ? t )

x 0 ? ( t ? 1)
2

2

,又 | F P |? ?
1? t 8

x0 4

2

?t,

有 S ? PDE ?

1 2

| F P | ? | x E ? x D |?

?

( x0 ? 4t )
2 2

2 2

( t ? 1) ? x 0

,又 S ? Q A B ?

1 2

? 4 ? (1 ?

x0 4

2

)?

4 ? x0 2

2

于是

S ? QAB S ? PDE

?

4 1? t

?

( x 0 ? 4 )[ x 0 ? ( t ? 1) ]
2 2 2

( x0 ? 4t )
2

2

?

4 1? t

?

x 0 ? [ 4 ? ( t ? 1) ] x 0 ? 4 ( t ? 1)
4 2 2

2

x 0 ? 8 tx 0 ? 1 6 t
4 2

2

? ? 4 ? ( t ? 1) 2 ? 8 t ? 对任意 x 0 ? ( ? 2, 2 ) ,要使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数,只需 t 满足 ? , 2 2 ? 4 ( t ? 1) ? 1 6 t ?

解得 t=-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为 2,故存在 t=-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2. 【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭 圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基 本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、 椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求 理解的内容.
c a
1 a
2 2

2 2 2 66. 【答案】解:(1)由题设知, a = b ? c , e =

,由点 (1 ,e ) 在椭圆上,得

?

e b
? ?

2 2

?1?

1 a
2

?

c
2

2 2

=1 ? b ? c = a b ? a = a b ? b =1 ,∴ c = a ? 1 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a b

由点 ? e , ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2 4

e a

2 2

?

? 3? ? ? ? 2 ? b
2

?1?
x
2

c a

?

? 3? ? ? ? 2 ? 1

2

?1?

a ?1 a
4

2

?

3 4

? 1 ? a ? 4a ? 4=0 ? a = 2

4

2

2

∴椭圆的方程为

? y ?1.
2

2

(2)由(1)得 F1 ( ? 1 ,0) , F 2 (1 ,0 ) ,又∵ A F1 ∥ B F 2 , ∴设 A F1 、 B F 2 的方程分别为 m y = x ? 1, m y = x ? 1 , A ? x1, y1 ? , B ? x 2, y 2 ? , y1 > 0, y 2 > 0 .
? x1 2 2 2 m ? 2m ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 2 ? m ? 2 y1 ? 2 m y1 ? 1= 0 ? y1 = ∴? 2 . 2 m ?2 ?my =x ? 1 1 1 ?

?

?

∴ A F1 = ? x1 ? 1 ? ? ? y1 ? 0 ? = ? m y1 ? ? y1 2 = m 2 ? 1 ?
2 2 2

m?

2m ? 2
2

m ?2
2

?

2 ? m ? 1? ? m m ? 1
2 2

m ?2
2

.①

同理, B F 2 =

2 ? m ? 1? ? m
2

m ?1
2

m ?2
2

.②

(i)由①②得, A F1 ? B F 2 ?

2m
2

m ?1
2

m ?2

.解

2m
2

m ?1
2

m ?2

=

6 2

得 m 2 =2.

∵注意到 m > 0 ,∴ m = 2 .

∴直线 A F1 的斜率为

1 m

=

2 2

.
P B ? P F1 P F1 B F 2 ? A F1 A F1

(ii)证明:∵ A F1 ∥ B F 2 ,∴

PB P F1

?

B F2 A F1

,即

PB P F1

?1?

B F2 A F1

?1?

?

.

∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

B F1 .

由点 B 在椭圆上知, B F1 ? B F2 ? 2 2 ,∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

?2

2 ? B F2 .

?

同理. P F 2 =

B F2 A F1 ? B F 2
A F1

?2
?2

2 ? A F1 .

?

∴ P F1 + P F 2 =

A F1 ? B F 2

2 ? B F2 ?

?

B F2 A F1 ? B F 2
2 2

?2
?1 ?2

2 ? A F1 ? 2 2 ?

?

2 A F ?B F 2 A F1 ? B F 2

由①②得, A F1 ? B F =

2 2 m m
2

?

2

?1

?

?2

, A F ?B F =

m m

,

∴ P F1 + P F 2 = 2 2 ? ∴ P F1 ? P F2 是定值.

2 2

=

3 2

2 .

【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式. 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 (1 ,e ) 和 ? e , ? 都在椭圆上列式求解. ? 2 ? ? ? (2)根据已知条件 A F1 ? B F 2 ?
6 2
? 3?

,用待定系数法求解.

67. 【解析】(Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x , y ) ,由已知得
x?2 ? ( x ? 5) ? y ? 3 ,
2 2

易知圆 C 2 上的点位于直线 x ? ? 2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以
( x ? 5) ? y
2 2

? x ? 5.
2

化简得曲线 C 1 的方程为 y ? 2 0 x . 解法 2 :由题设知,曲线 C 1 上任意一点 M 到圆心 C 2 (5, 0 ) 的距离等于它到直线 x ? ? 5 的距离,因此,曲线
C 1 是以 (5, 0 ) 为焦点,直线 x ? ? 5 为准线的抛物线,故其方程为 y ? 2 0 x .
2

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,P 的坐标为 ( ? 4, y 0 ) ,又 y 0 ? ? 3 ,则过 P 且与圆
C 2 相 切 得 直 线 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 0, 每 条 切 线 都 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 , 切 线 方 程 为 y ? y0 ? k x ? 4 )即 k x - y + y + 4 .于是 ( , k=0 0
5k ? y0 ? 4 k k ?1
2

? 3.

整理得
72 k ? 18 y 0 k ? y 0 ? 9 ? 0.
2 2



设过 P 所作的两条切线 P A , P C 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 , k 2 是方程①的两个实根,故
k1 ? k 2 ? ? 18 y0 72 ? ? y0 4

.



由?
?

? k 1 x ? y ? y 0 ? 4 k 1 ? 0, y ? 20 x,
2

得 k1 y ? 2 0 y ? 2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) ? 0 .
2



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ,则是方程③的两个实根,所以
y1 ? y 2 ? 2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) k1 .



同理可得
y3 ? y4 ? 20( y0 ? 4 k 2 ) k2 .



于是由②,④,⑤三式得
y1 y 2 y 3 y 4 ? 4 0 0 ( y 0 ? 4 k 1 )( y 0 ? 4 k 2 ) k1 k 2

?

2 4 0 0 ? y 0 ? 4 ( k1 ? k 2 ) y 0 ? 1 6 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2 ?
2 2 4 0 0 ? y 0 ? y 0 ? 1 6 k1k 2 ? ? ?

6400 .

k1 k 2

所以,当 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程 思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方 程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 A , B , C , D 四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思 想. 68.考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、 直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程 及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求. 解析:

(Ⅰ)如图 1,设 M 可得 x
? x0

( x, y )

, A ( x 0 , y 0 ) ,则由 | D M ,|
y 0 |?
2

| ? m | D A | ( m ? 0, 且 m ? 1)

,

,|

y |? m | y 0 | ,所以 x 0 ? x

1 m

| y|.

① ②

因为 A 点在单位圆上运动,所以 x 0 2

? y0 ? 1 .
? y m
2 2

将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x 2 因为 m ? (0, 1) ? (1, 当0 ?
? ?)

? 1 ( m ? 0, 且 m ? 1)

.

,所以

m ? 1 时,曲线 C

是焦点在 x 轴上的椭圆,
1 ? m , 0) , ( 1 ? m , 0) ;
2
2

两焦点坐标分别为 ( ? 当m
? 1 时,曲线 C

是焦点在 y 轴上的椭圆,
? m ? 1)
2

两焦点坐标分别为 (0,

, (0,

m ? 1) .
2

(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ? k 直线 Q N 的方程为 y
2 2 2 2

?0

,设 P ( x1 , kx1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 Q ( ? x1 ,

? kx1 )

, N (0,

kx1 ) ,

? 2 kx ? kx1
2 2

,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
2

( m ? 4 k ) x ? 4 k x1 x ? k x1 ? m ? 0

.

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得
? x1 ? x 2 ? ? 4 k x1 m ? 4k
2 2 2

,即 x 2

?

m x1 m ? 4k
2 2

2

.
2 km x1 m ? 4k
2 2 2

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y 2 于是 P Q 而 PQ 即2 ?
???? ? ( ? 2 x1 , ? 2 kx1 )

? kx1 ? 2 kx 2 ?

.
4 k x1
2

, P H ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? kx1 ) ? ( ?
?
?

????

m ? 4k
2

2

,

2 km x1 m ? 4k
2 2

2

).

? PH ? 0
?

等价于 P Q ? P H ,又 m
2
? 0

???? ????

4 ( 2 ? m ) k x1
2 2

2

m ? 4k
2

2

?0

,

m

2

,得 m

2

,
? y
2

故存在 m y

,使得在其对应的椭圆 x 2
y

? 1 上,对任意的 k ? 0
y

,都有 P Q

? PH

.

2

A
H

H

N
P

M O D x
Q

N O

P

x

O

x

Q

图1

图2

(0 ? m ? 1)

图3
? y1 )

( m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ? x1 ? (0, 1) ,设 P ( x1 , y1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 Q ( ? x1 ,

, N (0,

y1 )

,

? m 2 x1 2 ? y 1 2 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 2 2 2 ? m x2 ? y2 ? m , ?

两式相减可得

m ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 0 .
2 2 2 2 2



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1
? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0

. 于是由③式可得
2

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 )

? ?m

.
? kQH

④ ,即
2 y1 x1
?

又 Q , N , H 三点共线,所以 k Q N 于是由④式可得 k P Q 而 PQ
? k PH ? y1 x1 ?

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

.
2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) m ? ? ? 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

.

? PH
?

等价于 k P Q
2

? k P H ? ? 1 ,即 ?

m 2

? ?1 ? y
2

,又 m

? 0 ,得 m ?

2

,
? PH

故存在 m

,使得在其对应的椭圆 x 2
2 3

? 1 上,对任意的 k ? 0

,都有 P Q

2

69. 解 析 :(Ⅰ) 因 为 e ?

,所以

c a

2 2

?

2 3

, 于 是 a 2 ? 3b 2 . 设 椭 圆 C 上 任 一 点 P ? x , y ? , 则

PQ

2

2 y ? 2 2 2 2 ? 2 2 ? x ? ? y ? 2 ? ? a ? 1 ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? ? 2 y ? 4 y ? 4 ? 3 b ( ? b ? y ? b ). b ? ?

当 0 ? b ? 1 时, P Q 在 y ? ? b 时取到最大值,且最大值为 b 2 ? 4 b ? 4 ,由 b 2 ? 4 b ? 4 ? 9 解得 b ? 1 ,与假设
0 ? b ? 1 不符合,舍去.

2

当 b ? 1 时, P Q 在 y ? ? 1 时取到最大值,且最大值为 3 b 2 ? 6 ,由 3 b 2 ? 6 ? 9 解得 b 2 ? 1 .于是 a 2 ? 3 ,椭圆
C 的方程是
x
2

2

? y ?1.
2

3

(Ⅱ) 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为 d ?

1 m ?n
2 2

, 弦 长 A B ? 2 1 ? d 2 , 所 以 ? O A B的 面 积 为

S ?
2

1 2

AB ? d ? d 1 ? d

2

,于是 S2 ? d

2

?1 ? d ? ? ? ? d
2

? ?

?
2

1? 1 . 而 M ?m,n? 是 椭 圆 上 的 点 , 所 以 ? ? 2? 4

2

m 3

? n ? 1 ,即 m ? 3 ? 3 n ,于是 d
2

2

2

2

?

1 m ?n
2 2

?
1 4

1 3 ? 2n
2

,而 ? 1 ? n ? 1 ,所以 0 ? n 2 ? 1 , 1 ? 3 ? 2 n 2 ? 3 ,
1 2

所以 ? d 2 ? 1 ,于是当 d 2 ?
3

1

1 2

时, S 2 取到最大值
6

,此时 S 取到最大值

,此时 n 2 ?

1 2

,m2 ?

3 2

.

综上所述,椭圆上存在四个点 ? ?

?

,

? 2

? ? 6 ? 2 ? 6 2 ? 2 ? 6 2 ? , ,? ,? ? 、? ? 、? ? ? ,使得直线与圆相 ? 、? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ?

交于不同的两点 A 、 B ,且 ? O A B 的面积最大,且最大值为

1 2

.

点评:此题与 2012 年南海区高三 8 月摸底考试的试题相似度极高.

(2012 年南海区高三 8 月摸底考试)已知椭圆 C 的两焦点为 F1 ? ? 1, 0 ? 、 F2 ? 1, 0 ? ,并且经过点 M ? 1, ? .
? 2?

?

3?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : m x ? n y ? 1 ,证明:当点 P ? m , n ? 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆 O 恒 相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 70. 【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础知识,考查运算求 解能力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想. 【解析】因为 | A B | ? | A F2 | ? | B F2 |? 8 ,即 | A F1 | ? | F1 B | ? | A F2 | ? | B F2 |? 8 而 | AF1 | ? | AF2 |? | F1 B | ? | BF2 |? 2 a ,所以 4 a ? 8 ? a ? 2 ,而 e ?
2 2

c a

?

1 2

?c?

1 2

a ?1? b ? a ? c ? 3
2 2 2

所求椭圆方程为

x

?

y

?1

4

3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 ? ( 4 k ? 3) x ? 8 km x ? 4 m ? 1 2 ? 0 (2)由 ? 2 2 x y ? ?1 ? 3 ? 4

? ? 64 k m ? 4(4 k ? 3)(4 m ? 12) ? 0 ? 4 k ? m ? 3 ? 0
2 2 2 2 2 2

x0 ?

4 km 4k ? 3
2

? ?

4k m

, y0 ?

3 m

,? P ( ?

4k m

,

? y ? kx ? m ? ? Q ( 4, 4 k ? m ) ) ,由 ? m ? ?x ? 4

3

设存在 M ( x1 , 0 ) ,则由 M P ? M Q ? 0 可得 ?

???? ???? ?

16k m

?

4 kx1 m

? 4 x1 ? x1 ?
2

12k m

?3?0

? ( 4 x1 ? 4 )

k m

? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m , k 恒成立,所以联立解得 x1 ? 1 .
2

故存在定点 M (1, 0) ,符合题意.
71. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求

解点到直线的距离. 解 :(1) 设 A ( x 0 , ( x 0 ? 1) ) , 对 y ? x ? ( x ? 1) 求 导 得 y ? ? 2 ( x ? 1 ), 故 直 线 l 的 斜 率 k ? 2 ( x 0 ? 1 ), 当
2

2

x 0 ? 1 时,不合题意,所心 x 0 ? 1
( x 0 ? 1) ?
2

1 2

圆心为 M (1, ) , M A 的斜率 k ? ?
2

1

x0 ? 1 ( x 0 ? 1) ?
2

1 2 ? ? 1 ,解得 x ? 0 ,故 A (0,1) 0

由 l ? M A 知 kk ? ? ? 1 ,即 2 ( x 0 ? 1) ?

x0 ? 1

所以 r ? | M A |?

(1 ? 0 ) ? (
2

1 2

? 1) ?
2

5 2
2

(2) 设 ( a , ( a ? 1) ) 为 C 上 一 点 , 则 在 该 点 处 的 切 线 方 程 为 y ? ( a ? 1) ? 2 ( a ? 1)( x ? a ) 即
2

y ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1
2

若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为

5 2

| 2 ( a ? 1) ? 1 ?

1 2
2

? a ?1|
2

,即

[ 2 ( a ? 1)] ? ( ? 1)

?
2

5 2

,化简可得

a ( a ? 4 a ? 6) ? 0
2 2

求解可得 a 0 ? 0, a1 ? 2 ? 10 , a 2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 ( a i , ( a i ? 1) )( i ? 0,1, 2 ) 处的切线分别为 l , m , n ,其方程分别为
2

y ? 2 x ? 1 ① y ? 2 ( a1 ? 1) x ? a1 ? 1 ②
2

y ? 2( a 2 ? 1) x ? a 2 ? 1 ③
2

②-③得 x ?

a1 ? a 2 2

? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ? 1 ,故 D (2, ? 1)

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? ( ? 1) ? 1 | 2 ? ( ? 1)
2 2

?

6 5 5

.

法二:(Ⅰ)设 A ( x0 , y0 ), 对于抛物线 C 的切线方程为

y ? y0 ? ( x0 ? 1)( x ? 1) ①; 2

对于圆 M 的切线方程为 ( x0 ? 1)( x ? 1) ? ( y0 ? 1 )( y ? 1 ) ? r 2 ②.
2 2

因为①②是共点公切线,? 2( x0 ? 1) ? ?

x0 ? 1 (斜率相等),结合 y0 ? ( x0 ? 1) 2 .解之得 A (0,1) .代入②得 r ? 5 . 2 1 y0 ? 2
y B2

(Ⅱ)数形结合知,抛物线 C 与圆 M 应有三条公切线(如图). 由(Ⅰ)知,公切线 l 方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0 . 今设另两公切线 m , n 与抛物线 C 切于点 B ( xi ,( xi ? 1)2 ) ( xi ? 0, i ? 1,2) ,
B1

M

A O x D

则切线方程为

y ? ( xi ? 1) ? ( xi ? 1)( x ? 1)即 2( xi ? 1) x ? y ? xi2 ? 1 ? 0 . 2
2

| 2( xi ? 1) ? 1 ? 1 ? xi2 ? 1| 2 ? 5 , Q xi ? 0 整理得 xi2 ? 4 xi ? 6 ? 0 又直线 m , n 与 M 相切应有 2 2 4( xi ? 1) ? 1
2 记 m : 2( x1 ? 1) x ? y ? x12 ? 1 ? 0 , n : 2( x2 ? 1) x ? y ? x2 ? 1 ? 0 .则 x1 ? x2 ? 4

联立 m 与 n 的方程得 D (2, ? 1) .故 D (2, ? 1) 到 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? ( ? 1) ? 1| 5

?6 5 . 5

【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公 共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度 加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向.

72. 【考点定位】 此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具有一般性,相信平

时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手.
8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? 2 2 x y ? 8 ?0 ? ? 1 ,由题意可得: ? 8 8 ?5 ? m 5?m m ?2 ? 8 ?0 ? ?m ? 2
? 1) x ? 1 6 kx ? 2 4 ? 0
2

解:(1)原曲线方程可化简得:

,解得:

7 2

? m ? 5

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2 k 2 由韦达定理得: x M 设 N ( xN
, k x N ? 4)
? xN ? 16k 2k ? 1
2

, ? = 3 2 (2 k 2

? 3)

,解得: k 2

?

3 2

①, x M x N

?

24 2k ? 1
2

,②

, M ( xM

, kx M ? 4 ) , G ( x G ,1)

MB

方程为: y

?

kx M ? 6 xM

x?2

,则 G ?

?

3 xM

? kx M

? ,1 ? ?6 ?

,

? AG ? ?

????

?

? ,? 1 ? ? xM k ? 6 ? 3 xM

, A N ? ? x N ,x N k ? 2 ? ,
???? ????

????

欲证 A ,G , N 三点共线,只需证 A G , A N 共线 即
3 xM xM k ? 6 ( xN k ? 2) ? ? xN

成立,化简得: (3 k

? k ) x M x N ? ? 6( x M ? x N )

将①②代入易知等式成立,则 A ,G ,N 三点共线得证.
x a
2 2

73. 【解析】(I)点 P ( ? c , y1 )( y1 ? 0 ) 代入
2

?

y b

2 2

? 1 得: y1 ?

b

2

a

?0 4?0 P F1 ? Q F 2 ? a ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c

b



a

2

? 4 ②

c ? a ? b ( a , b , c ? 0) ③
2 2 2

c x
2

由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ?

3 既椭圆 C 的方程为

?

y

2

?1

4

3

?0 y ?0 a (II)设 Q ( , y 2 ) ;则 P F1 ? Q F2 ? ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a 2 c ?c ? c a ?c c
a
2

b

2

2a ?

b

2

得: k P Q ?

a ? c 2 a a ?c c

x a

2 2

?

y b

2 2

?1? y ?

b ?
2

b a

2 2

? x ? y? ?
2 2

b a

2 2

x
2 2

b ?

b a

x

2

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y ? 得:直线 P Q 与椭圆 C 只有一个交点.

x??c

?

c a

? k PQ


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