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【全国百强校】湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考试卷(四)数学(理)试题


湖南师大附中 2016 届高三月考试卷(四) 数 学(理科) 命题:吴锦坤 赵优良 曾克平 审题:师大附中高三理科数学备课组 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1 3 1.已知复数

z 满足? + i?·z=1+i(其中 i 为虚数单位),则|z|为(B) ?2 2 ? A.2 B. 2 C.2( 3+1) D.2( 3-1) 2. “cos α = 3 1 ”是“cos 2α = ”的(A) 2 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知函数 y=f(x)对任意自变量 x 都有 f(x+1)=f(1-x), 且函数 f(x)在[1, +∞)上单调. 若 数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a20),则{an}的前 25 项之和为(C) A.0 B. 25 2 C.25 D.50

4.为提高在校学生的安全意识,防止安全事故的发生,学校拟在未来的连续 10 天中随 机选择 3 天进行紧急疏散演练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是(C) 1 A. 10 3 B. 25 1 1 C. D. 15 30

5.如图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到 的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1, 则下列结论中不正确的是(D) A.EH∥FG

B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.四边形 EFGH 可能为梯形 6.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1,a2?,a50 是该班 50 名学生在一次数学学业 水平模拟考试中的成绩(成绩不为 0),如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数 A,男 生平均分 M,女生平均分 W;为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩 用其相反数(负数),那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入(D) M+W A.T>0?,A= 50

M+W B.T<0?,A= 50

M-W C.T<0?,A= 50 M-W D.T>0?,A= 50 7.如图,一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且直角边长为 2,则这个 几何体的外接球的表面积为(B)

A.16π

B.12π

C.8π

D.4π

?x-y-2≤0, y x 8.设实数 x,y 满足?x+2y-5≥0,则 z= + 的取值范围是(D) x y ?y-2≤0,
1 10? A.? ?3, 3 ? 5? C.? ?2,2? 1 5? B.? ?3,2? 10? D.? ?2, 3 ?

1+cos 2x+sin 2x π 9.设 f(x)= +asin?x+ ?的最大值为 3,则常数 a=(B) 4? ? π 2sin ? +x? 2 ? ?

A.1 B.a=1 或 a=-5 C.a=-2 或 a=4 D.a=± 7 2cos2x+2sin xcos x π π 【解析】f(x)= +asin?x+ ?= 2cos x+ 2sin x+asin?x+ ? ? 4? ? 4? 2cos x π π π =2sin ?x+ ?+asin ?x+ ?=(2+a)sin?x+ ? ? 4? ? 4? ? 4? 则:|a+2|=3,∴a=1 或 a=-5. 10.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE 2 → → → → =λBC,DF=μDC.若AE· AF=1,CE· CF=- ,则 λ+μ=(C) 3 1 A. 2 2 5 7 B. C. D. 3 6 12

x2 y2 11.已知点 P 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2 分别为双曲线的左右焦 a b b2 点,且|F1F2|= ,G 为三角形 PF1F2 的内心,若 S△GPF1=S△GPF2+λS△GF1F2 成立, 则 a λ 的值为(D) 1+2 2 A. B.2 3-1 C. 2+1 D. 2-1 2
x ? ?2 ,x≤0, ? 12.设函数 f(x)= 对任意给定的 y∈(2,+∞),都存在唯一的 x∈R,满足 ?log2x,x>0, ?

f(f(x))=2a2y2+ay,则正实数 a 的最小值是(A) 1 A. 4 1 B. C.2 D.4 2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号 后的横线上. b 6 ax2+ ? 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为__2__. 13.若? x? ? → → 14.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为__5__. 15.在非等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 a 为最大边, π π 如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为__? , ?__. ?3 2? 1 16.设数列{an}满足:a1= 3,an+1=[an]+ ,其中,[an]、{an}分别表示正数 an 的整 {an} 数部分、小数部分,则 a2 016=__3_023+ 3-1 __. 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2an=S2+Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1,a2 的值;
? 10a1? (2)设 a1>0, 数列?lg a ?的前 n 项和为 Tn, 当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值. ? n ?
2 (1)当 n=1 时,a2a1=S2+S1=2a1+a2,当 n=2 时 a2 =2a1+2a2,

两式相减 a2(a2-a1)=a2,∴a2=0,a1=0 或 a2≠0,a2-a1=1,3 分 解方程组可得:a1=0,a2=0,或 a1= 2+1,a2= 2+2, 或 a1=1- 2,a2=2- 2.5 分 (2)由(1)及 a1>0 知 a1= 2+1,a2= 2+2,6 分 当 n≥2 时,(2+ 2)an=S2+Sn,(2+ 2)an-1=S2+Sn-1, - - ∴(1+ 2)an=(2+ 2)an-1,∴an= 2an-1(n≥2), ∴an=a1( 2)n 1=(1+ 2)( 2)n 1,8 分 10a1 1 100 1 令 bn=lg = lg ,所以数列{bn}是单调递减的等差数列,公差为- lg 2,10 分 an 2 2n-1 2 ∴b1>b2>?>b7=lg 10 1 100 >0,所以当 n≥8 时,bn≤b8= lg <0, 8 2 128

7(b1+b7) ? 10a1? 21 所以数列?lg a ?的前 7 项和最大,T7= =7- lg 2.12 分 2 2 ? n ? 18.(本小题满分 12 分) 某商场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销售量(吨) 频数 频率 1 10 0.2 1.5 25 a 2 15 b

(1)求表中 a,b 的值; (2)若以上表中的频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求: ①5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ξ 表示该种商品两天销售利润的和(单位: 千元), 求 ξ 的分布列和期望. (1)由题意知:a=0.5,b=0.3.2 分 (2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p=0.5, 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨, 2 则 X~B(5,0.5),P(X=2)=C5 ×0.52×(1-0.5)3=0.312 5.6 分 ②两天的销售量可能为 2,2.5,3,3.5,4.所以 ξ 的可能取值为 4,5,6,7,8, 则:P(ξ=4)=0.22=0.04,P(ξ=5)=2×0.2×0.5=0.2, P(ξ=6)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,P(ξ=7)=2×0.3×0.5=0.3,P(ξ=8)=0.32=0.09,9 分 ∴ξ的分布列为:

ξ
P

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09

11 分 ∴Eξ=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2.12 分 19.(本小题满分 12 分) 为了做好“双十一”促销活动,某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如 下:将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形△SEE′,△SFF′,△ SGG′,△SHH′,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒 S-EFGH,其中 A, B,C,D 重合于点 O,E 与 E′重合,F 与 F′重合,G 与 G′重合,H 与 H′重合(如图所示).

(1)求证:平面 SEG⊥平面 SFH; 5 (2)当 AE= 时,求二面角 E-SH-F 的余弦值. 2 (1)∵折后 A,B,C,D 重合于一点 O, ∴拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形, ∴底面 EFGH 是正方形,故 EG⊥FH.2 分 ∵在原平面图形中,等腰三角形△SEE′≌△SGG′,∴SE=SG,∴EG⊥SO.4 分 又∵SO,FH ?平面 SFH,SO∩FH=O,∴EG⊥平面 SFH. 又∵EG ?平面 SEG,∴平面 SEG⊥平面 SFH.6 分 (2)法 1:过 O 作 OM⊥SH 交 SH 于 M 点,连接 EM,∵EO⊥平面 SFH,∴EO⊥SH, ∴SH⊥平面 EMO,∴∠EMO 为二面角 E-SH-F 的平面角.8 分 5 5 5 5 SO· OH 当 AE= 时,即 OE= ,Rt△SHO 中,SO=5,SH= ,∴OM= = 5, 2 2 2 SH Rt△EMO 中,EM= EO2+OM2= 3 5 OM 5 2 ,cos∠EMO= = = . 2 EM 3 5 3 2

2 所以所求二面角的余弦值为 .12 分 3 法 2:由(1)知 EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到 HF⊥SO,故以 O 为原点,分别以 OF, OG,OS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,

5 在原平面图形中,AE= ,则底面正方形 EFGH 的对角线 EG=5, 2 5 5 5 5 5 → - ,0,0?,E?0,- ,0?,G?0, ,0?,HE=? ,- ,0?, ∴H? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ?2 5 ? → OG=? ?0,2,0?. 5 5 在原平面图形中,可求得 SE= ,在 Rt△SOE 中,可求得 SO= SE2-OE2=5, 2 5 → ? ∴S(0,0,5),SH=? ?-2,0,-5?.8 分 设平面 SEH 的一个法向量为 n=(x,y,z),

→ SH=- x-5z=0, ?y=x, ?n· 2 ? 则? 得? 1 令 x=2,则 n=(2,2,-1),10 分 → 5 5 ? HE= x- y=0, ?z=2x, ?n· 2 2 → ∵EG⊥平面 SFH,∴OG是平面 SFH 的一个法向量,设二面角 E-SH-F 的大小为 θ, → n· OG 2 2 则 cos θ= = ,∴二面角 E-SH-F 的余弦值为 .12 分 3 → 3 |n|· |OG| 20.(本小题满分 12 分) x2 y2 3 已知直线 l:y=x+ 6,圆 O:x2+y2=4,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 2 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知动直线 l1 (斜率存在)与椭圆 E 交于 P,Q 两个不同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ =1,若 N 为线段 PQ 的中点,问:在 x 轴上是否存在两个定点 A,B,使得直线 NA 与 NB 的斜率之积为定值?若存在,求出 A,B 的坐标,若不存在,说明理由. (1)设椭圆半焦距为 c, 圆心 O 到 l 的距离 d= 由题意得 e= 6 = 3,则 l 被圆 O 截得的弦长为 2,所以 b=1, 1+1

5

3 x2 y2 ,∵b=1,∴a2=4,b2=1.∴椭圆 E 的方程为 + =1.5 分 2 4 1

(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 l1 的方程为:y=kx+m. y=kx+m, ? ?2 2 则?x y 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. + = 1 ? ?4 1 x1+x2=- 4m2-4 4 1+k2· 1+4k2-m2 8km 2 .8 分 2,x1·x2= 2 .|PQ|= 1+k ·|x1-x2|= 1+4k 1+4k 1+4k2

2|m|· 1+4k2-m2 |m| 1 原点 O 到直线 l1 的距离 d= ,则 S△OPQ= |PQ|· d= =1, 2 1+4k2 1+k2 ∴2|m|· 1+4k2-m2=1+4k2,令 1+4k2=n,∴2|m|· n-m2=n, ∴n=2m2,1+4k2=2m2. x1+x2 y1+y2 4km m ∵N 为 PQ 中点,∴xN= =- = , 2,yN= 2 2 1+4k 1+4k2
2 2k 1 xN ∵1+4k2=2m2,∴xN=- ,yN= .∴ +2y2 N=1.10 分 m 2m 2

yN 假设 x 轴上存在两定点 A(s,0),B(t,0)(s≠t),则直线 NA 的斜率 k1= , xN-s x2 N 1- 2 yN 1 直线 NB 的斜率 k2 = , ∴ k1k2 = = · =- xN-t (xN-s)· (xN-t) 2 x2 N-(s+t)xN+st
2 yN

x2 1 1 N -2 ·2 .当且仅当 s+t=0,st=-2 时,k1k2=- ,则 s= 2,t=- 2. 4 xN-(s+t)xN+st 4 综上所述, 存在两定点 A( 2, 0), B(- 2, 0), 使得直线 NA 与 NB 的斜率之积为定值.12 分 21.(本小题满分 12 分) a 已知函数 f(x)=ln x+ +b(a,b∈R)在定义域上单调,且函数的零点为 1. x+1 (1)求 a(b+2)的取值范围; 1 1 1 1 (2)若曲线 y=f(x)与 x 轴相切,求证 + + +?+ <ln n(n∈N 且 n>2). 3 4 5 2n 由题意知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), x2-(a-2)x+1 1 a f′(x)= - = . x (x+1)2 x(x+1)2 a a 又函数 f(x)的零点为 1,由 f(1)=0,故 +b=0,b=- .2 分 2 2 ∵函数 f(x)单调,若 f(x)为增函数,则对任意 x∈(0,+∞),f′(x)≥0 且 f′(x)不恒为 0, 1 ∴x2-(a-2)x+1≥0,(a-2)≤x+ ,∴(a-2)≤2,∴a≤4. x 若 f(x)为减函数,则对任意 x∈(0,+∞),f′(x)≤0 且 f′(x)不恒为 0, 1 1 1 则 x2-(a-2)x+1≤0,(a-2)≥x+ ,又 y=x+ ≥2,∴(a-2)≥x+ 不恒成立. x x x a 1 综上所述,∴a≤4.又∵b=- ,∴a(b+2)=- (a-2)2+2. 2 2 ∴a(b+2)的取值范围是(-∞,2].6 分 (2)∵曲线 y=f(x)与 x 轴相切,切点为(1,0)且 f′(1)=0,∴a=4,b=-2. 由(1)得函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 又 f(1)=0,∴当 x≥1 时,f(x)≥f(1)=0, 1 4 1 4 1+ ?≥2- ∴ln x≥2- .令 x=1+ (k∈N*),有 ln? , k ? ? k 1 x+1 1+1+ k ∴ln(1+k)-ln k> 2 ;∴当 n≥2 时,令 k=1,2,3,?,n-1, 2k+1

2 2 ln 2-ln 1> ,ln 3-ln 2> ,? 3 5 2 ln n-ln(n-1)> , 2n-1 2 2 2 以上各式累加得: + +?+ <ln n.10 分 3 5 2n-1 ∵ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 > ,∴ + + +?+ < + +?+ <ln n, 3 4 5 2n 3 5 2k-1 2k 2n-1

1 1 1 1 ∴ + + +?+ <ln n 成立.12 分 3 4 5 2n 选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A, 直线 PBC 交圆于 B、 C 两点, D 是圆上一点, 且 AB∥DC , DC 的延长线交 PQ 于点 Q.

(1)求证: AC2=CQ· AB; (2)若 AQ=2AP,AB= 2,BP=2,求 QD. (1)∵AB∥CD,∴∠PAB=∠AQC,又 PQ 与圆 O 相切于点 A, ∴∠PAB=∠ACB,∵AQ 为切线,∴∠QAC=∠CBA, AC AB ∴△ACB∽△CQA,∴ = ,即 AC2=CQ· AB.5 分 CQ AC BP AP AB 1 (2)∵AB∥CD,AQ=2AP,∴ = = = ,由 AB= 2,BP=2,得 QC=3 2,PC PC PQ QC 3 =6, ∵AP 为圆 O 的切线,∴AP2=PB· PC=12,∴AP=2 3,∴QA=4 3, 2 又∵AQ 为圆 O 的切线 ,∴AQ =QC· QD ? QD=8 2.10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 π 2 在极坐标系中,已知射线 C1:θ= (ρ≥0),动圆 C2:ρ2-2x0ρ cos θ +x0 -4=0(x0∈ 6 R). (1)求 C1,C2 的直角坐标方程; (2)若射线 C1 与动圆 C2 相交于 M 与 N 两个不同点,求 x0 的取值范围. π y 3 (1)∵tan θ= ,θ= (ρ≥0),∴y= x(x≥0). x 6 3 所以 C1 的直角坐标方程为 y= 3 x(x≥0).2 分 3

?x=ρcos θ, ∵? 所以 C2 的直角坐标方程 x2+y2-2x0x+x2 0-4=0.4 分 ?y=ρsin θ,
π ? ?θ= 6 (ρ≥0), (2)联立? ? ?ρ2-2x0ρcos θ+x2 0-4=0(x0∈R), 关于 ρ 的一元二次方程 ρ2- 3x0ρ+x2 0-4=0(x0∈R)在[0,+∞)内有两个实根.6 分

?Δ=3x -4(x -4)>0, 即?ρ +ρ = 3x >0, 8分 ?ρ ·ρ =x -4>0,
1 1 2 0 2 2 0

2 0

2 0

?-4<x0<4, ? 得?x0>0, 即 2<x0<4.10 分 ? ?x0>2,或x0<-2,
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知 a,b,c∈R,a2+b2+c2=1. (1)求 a+b+c 的取值范围; (2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2 对一切实数 a, b, c 恒成立, 求实数 x 的取值范围. 2 2 2 2 2 2 2 (1)由柯西不等式得,(a+b+c) ≤(1 +1 +1 )(a +b +c )=3, ∴- 3≤a+b+c≤ 3,∴a+b+c 的取值范围是[- 3, 3].5 分 (2)同理,(a-b+c)2≤[12+(-1)2+12](a2+b2+c2)=3.7 分 若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2 对一切实数 a,b,c 恒成立, 3? ?3 ? 则|x-1|+|x+1|≥3,解集为? ?-∞,-2?∪?2,+∞?.10 分


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