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高二数学选修1-1测试题及答案


高二数学《圆锥曲线》单元测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 6 1.下列曲线中离心率为 的是( ) 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A B C D ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 2 4 4 2 4 6 4 10 x2 y2 2.椭圆 ? ? 1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 的值为( 10 ? m m ? 2

r />A.4 B.5 C.7 D.8 )

)

3. 设焦点在 x 轴上的双曲线的虚轴长为 2, 焦距为 2 3 , 则该双曲线的渐近线方程是 ( A

y ? ? 2x

B

y ? ?2 x

C

y??

2 x 2

D

1 y?? x 2

1 ) y 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( 4 15 7 17 A. B. C. 0 D. 16 8 16 2 2 x y 5. 已知 F1 、F2 分别为椭圆 右焦点, 椭圆的弦 DE 过焦点 F1 , 若直线 DE ? ? 1 的左、 16 9 的倾斜角为 ? (a ? 0) ,则 ?DEF2 的周长为( )
4.抛物线 x 2 ? A.64 6.若双曲线 值等于( A. 4 B.20 C.16 D.随 ? 变化而变化

x2 y 2 ? 2 ? 1(b>0)的一条准线恰好为圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的一条切线,则 b 的 16 b
) C. 2 3 D. 4 3
???? ???? ?

B. 8

7.已知 P 是椭圆

PF ? PF2 1 x2 y2 ? ? , ? ? 1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 ???? 1 ???? | PF1 | ? | PF2 | 2 25 9

则△F1PF2 的面积为( A.3 3 8.有以下四个命题:①若 ③若 x ? y ,则 x ? A.①②
2 2

) B.2 3 C. 3 D. 3 3

1 1 ? ,则 x ? y .②若 lg x 有意义,则 x ? 0 . x y
)

y .④若 x ? y ,则 x 2 ? y 2 .则是真命题的序号为(
C.②③ D.③④

B.①③

9. 若双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点, 它到右焦点及左准线的距离相等, 2 a b
) C. [ 2, ??) D. [ 2 ? 1, ??) B. (1, 2 ? 1]

则双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 2]

1

y2 10.如图,圆 F: ( x ? 1) ? y ? 1 和抛物线 x ? 4
2 2

,过 F 的直线与抛

物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点,求 1 B 2 11. “ x ? 0 ”是 “ x ? 0 ”是的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A C )
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

AB ? CD 的值是
D 无法确定

( )

3

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.下列命题: (1) 动点 M 到二定点 A、B 的距离之比为常数 ? (? ? 0且? ? 1), 则动点 M 的轨迹是圆;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则 b ? c ; 2 2 a b x2 y2 (3) 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离是 b ; a b 2 (4) .已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )且OA ? OB (O 是坐标原点),
(2) 椭圆 则 y1 y 2 ? ? p .以上命题正确的是(
2

) D. (1)、(2)、(3)

A.(2)、(3)、(4)

B. (1)、(4)

C. (1)、(3)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴长在 y 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 G 2

的两个焦点的距离之和是 12,则椭圆的方程是—————————————————— 14. 动圆 M 与圆 C1:

? x ? 2 ?2 ? y 2 ? 1和圆 C2:? x ? 2 ?2 ? y 2 ? 1 都外切,则动圆 M

圆心的轨迹方程是———————————————— 15. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点是 F(1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 B 两点,若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程是————————————————————— 16.已知双曲线 x ?
2

y2 2 ? 1 ,点 A( ? 5 ,0 ) ,B 是圆 x ? y ? 5 4

?

?

2

? 1 上一点,点 M

在双曲线右支上,则 MA ? MB 的最小值是—————————————— 三、解答题

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 的弦 AB, 3 6 求(1)线段 AB 的长; (2)设 F2 为右焦点,求 ?F2 AB 的周长。
17.经过双曲线 x ?
2

2

18. 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1, (a ? 2) 上一点 P 到它的两个焦点 F1 (左), F2 (右)的距离 a2 4

的和是 6, (1)求椭圆 C 的离心率的值. (2)若 PF2 ? x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q ,求点 Q 的坐标.

19.已知 A(1,0)和直线 m: x ? 1 ? 0 ,P 为 m 上任一点,线段 PA 的中垂线为 l,过 P 作 直线 m 的垂线与直线 l 交于 Q。 (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,证明你的结论。

20.设椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 过 M 2, 2 、N a2 b2

?

? ? 6 ,1?两点,O 为坐标原点, (1)求椭
8 相切,并且与椭圆 E 相交于两 3

圆 E 的方程; (2)若直线 y ? kx ? 4?k ? 0? 与圆 x 2 ? y 2 ? 点 A、B,求证: OA ? OB

3

21 .双曲线 C: x ? y ? 2 右支上的弦 AB 过右焦点 F .
2 2

(1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 (2)是否存在以 AB 为直径的圆过原点 O?,若存在,求出直线 AB 的斜率 K 的值.若不存 在,则说明理由.

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左顶点 A 和上顶点 D, a2 b2 10 椭圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS、BS 与直线 x ? 3
22.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C: 分别交于 M、N 两点。 (1)求椭圆方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值;

4

圆锥曲线单元测试题答案
一、选择题
题号 1 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 B 10 A 11 B 12 D 答案 B 二、填空题 13

y2 x2 ? ?1 36 9

14

x?0

15 y ? x

16

10 ? 1
设 A? x1 y1 ? B?x 2 y 2 ?

三 、解答题 17.解: (1) 、 F1 ?? 2,0? 则直线 AB : y ?

k ? tan

?
6

?

3 3

3 ?x ? 2? 代入 3x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 整理得 8x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 3 ? ?3 8
(2) 、

由距离公式 AB ? 1 ? k 2

F2 A ? 2 x1 ? 1, F2 B ? 1 ? 2 x2
? 2? 3 3 ?3 3 2

? F2 A ? F2 B ? 2? x1 ? x 2 ? ? 2 ?
? ?F2 AB的周长L ? 3 ? 3 3

?x1 ? x 2 ?2 ? 4 x1 x 2

- 6分

18. (1) a ? 3 ---2 分

e?

5 --5 分 3

(2) Q(0,? ) -------10 分 19.解: (1)设 Q(x,y),由题意知 PQ ? QA ,Q 在以 A 为焦点 的抛物线上,

4 3

p ? 1, p ? 2 Q 点轨迹方程 C 为: y 2 ? 4 x ---- ---- 4 分 2

(2)设 P(-1,y0) ,当 y 0 ? 0时 , k PA ? ?

y0 ? y ? ,PA 中点坐标是 ? 0, 0 ? ,PA 中垂线方程: 2 ? 2 ?

y?

y 2 2 x ? 0 ,联立抛物线方程 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 2 y 0 y ? y 0 ? 0 ,有 ? ? 0 y0 2

说明直线 l 与曲线 C 始终相切。 当 y 0 ? 0时 时,Q(0,0) ,l 是 y 轴,与曲线 C 相切。

x2 y 2 20.解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b

?4 2 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)设 A? x1 y1 ? B?x 2 y 2 ? ,由题意得: d ?

4分

4 1? k
5
2

?

2 6 ,k ? 5 3

2分

? y ? 5x ? 4 16 24 ? 化简得11x 2 ? 16 5 x ? 24 ? 0 ,有 x1 ? x2 ? ? 联立 ? x 2 5 , x1 x2 ? y2 ? ?1 11 11 ? 4 ?8
x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ?

?

5 x1 ? 4

??

5 x2 ? 4 ? 6 x1 x2 ? 4 5 ( x1 ? x2 ) ? 16 =

?

?

320 144 ? ? 16 ? 0 11 11
2 2

? OA ? OB ---- 2 分

19. (1) ( x ? 2) ( ; 2) 假设存在, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x ? 2x ? y ? 0 , l AB : y ? k ( x ? 2) 由 已 知 OA ? OB 得 : x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 0
2 2 2

-- ①

?x 2 ? y 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 ? y ? k ( x ? 2 ) ?
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 2 (k ? 1) -②,联立①②得: , x x ? k 2 ? 1 ? 0 无解这样的圆不 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

存在. 22. 解(1)由已知得椭圆 C 的左顶点 A(-2,0),上顶点 D(0,1) ,得 a ? 2, b ? 1

故椭圆方程:

x2 ? y 2 ? 1 -- 2 分(2)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且大于 0,故设直线 4
10 16 k , ) 3 3
------- 2 分

AS: y ? k ( x ? 2) ,得 M (

? y ? k ( x ? 2) ? 1 ? 4k 2 ?x 2 ? 16 k 2 x ? 16 k 2 ? 4 ? 0 由 ? x2 得? 2 ? y ?1 ? ? 4

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 , 得 x ? , 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 8k 2 4 k 从而y1 ? , 即 S ( , ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 B(2,0) ,直线 BS: y ? ? ( x ? 2) 4k 1 ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) 16 k 1 ? 10 1 ? 得N ? ,? ? , MN ? , k ? 0, ? ? 10 3 3k ? 3 3k ? ? x? 3 ? 设S ( x1 , y1 ), 则( ? 2)x1 ?
MN ? 16 k 1 16 k 1 8 1 8 ? ?2 ? ? ,当且仅当k ? 时,线段MN长度最小值是 3 3k 3 3k 3 4 3

6


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