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2015-2016高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2


2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

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1.理解异面直线的概念和画法. 2.理解并掌握公理4及等角定理. 3.结合图形,正确理解空间中直线与直线的位 置关系(特别是两条直线的异面关系),理解并掌 握异面直线所成角的求法.

典 例 精 析

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题型一

空间直线位置关系的判定

例1 已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面, 那么a与c有什么样的位置关系?并画图说明. 解析:直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.
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直线a与c可能平行,见图①;可能相交,见图②;可 能异面,见图③. 点评:两直线的位置关系有三种,在判断两直线的位 置关系时,常常逐一验证排除.

?跟踪训练 1.下列条件中,一定能推出a与b是异面直线的 是(D) A.a,c异面且b,c异面 B.a∥c,b与c相交 C.a,b分别与c相交
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D.a?平面α,b∩α=A且A?a

题型二

证明两条直线的异面直线

例2 已知直线AB,CD是异面直线,求证:直线AC, BD是异面直线.

证明:假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一 平面内,设这个平面为α(如图).

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∵AC?α,BD?α, ∴A,B,C,D四点都在α内, ∴AB?α,CD?α,

这与已知中AB和CD是异面直线矛盾,故假设不成 立.
∴直线AC和BD是异面直线.

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点评:判定两直线为异面直线的常用方法为反证 法.

?跟踪训练 2.如图,已知α∩β=a,b?β,a∩b=A,且c?α,a∥c, 求证:b,c是异面直线.

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证明(反证法):假设b,c不是异面直线,即b,c共面, ∴b与c平行或相交.
(1)当b∩c=P时,已知b?β,c?α,又α∩β=a, 则P∈b?β,且P∈c?α, ∴P在α与β的交线上,即P∈a. ∴a∩c=P,此与已知a∥c矛盾. (2)当b∥c时,由公理4,b∥a,与a∩b=A矛盾. ∴b,c为异面直线.
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题型三

求异面直线所成的角

例3 在空间四边形ABCD中,AD=BC=2a,E,F分别 是AB,CD的中点,EF=a,求AD,BC所成的角. 分析:要求异面直线AD,BC所成的角,可通过空间中找 一些特殊的点.此题已知E,F分别为两边中点,故可寻 栏 找某一边中点作角,如BD中点M,即∠EMF(或其补角) 目 链 为所求角. 接 解析:如图,取BD中点M,由题意可知EM为△BAD的中 位线,

1 1 ∴EM 綊 AD.同理 MF 綊 BC, 2 2 ∴EM=a,MF=a,且∠EMF(或其补角)为所求角. 在等腰△MEF 中,取 EF 的中点 N,连接 MN,则 MN⊥EF. 3 又已知 EF= 3a,∴EN= a. 2 EN 3 故有 sin∠EMN= = . EM 2 ∴∠EMN=60°,从而∠EMF=120°>90°. ∴AD,BC 所成的角为∠EMF 的补角, 即 AD 和 BC 所成的角为 60°.
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点评:在求异面直线所成角的过程中要注意以下 问题:(1)由定义作角的顶点一定要恰当,所选点 的位置同计算角的难易有直接关系(当然此题选 AC中点连接三角形效果也一样);(2)按定义所作 角由图形反映出来,不一定就是所求的角,若不 是则一定是其补角,这是由异面直线所成角的范 围(0,90°]决定的;(3)求异面直线的步骤为:一 找,二求,三答.

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?跟踪训练 3.(多解题)如图,正方体AC1中,E,F分别是A1B1, B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.

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解析:解法一 如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交 于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.

则OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 解法二 如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE, 则HE綊DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所 成的角或其补角.连接HF,设AA1=1,则EF=, HE=,
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取A1D1的中点I,连接IF,则HI⊥IF.
∴HF2=HI2+IF2=.∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF= 90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.


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