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高中数学(人教A版)必修4第三章+三角恒等变换+测试题(含详解)(经典题型)


第三章三角恒等变换
1.sin105° cos105° 的值为( 1 A.4 3 C. 4 ) 1 B.-4 3 D.- 4

1 1 1 解析 原式=2sin210° =-2sin30° =-4. 答案 B 1 π π 2.若 sin2α=4,4<α<2,则 cosα-sinα 的值是( 3 A. 2 3 C.4 3 B.- 2 3 D.-4 )

1 3 解析 (cosα-sinα)2=1-sin2α=1-4=4. π π 又4<α<2, ∴cosα<sinα,cosα-sinα=- 答案 B 3.sin15° sin30° sin75° 的值等于( 1 A.4 1 C.8 解析 sin15° sin30° sin75° =sin15° cos15° sin30° 1 1 1 1 1 =2sin30° sin30° =2×2×2=8. 答案 C 4.在△ABC 中,∠A=15° ,则 3sinA-cos(B+C)的值为( ) ) 3 B. 4 3 D. 8 3 3 =- 4 2.

A. 2 3 C. 2

2 B. 2 D. 2

解析 在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π, 3sinA-cos(B+C) = 3sinA+cosA 3 1 =2( 2 sinA+2cosA) =2cos(60° -A)=2cos45° = 2. 答案 A 1 1 5.已知 tanθ=3,则 cos2θ+2sin2θ 等于( 6 A.-5 4 C.5 4 B.-5 6 D.5 )

cos2θ+sinθcosθ 1+tanθ 6 解析 原式= = = . cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 答案 D 6.在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 π 解析 ∵sin2A=sin2B,∴∠A=∠B,或∠A+∠B=2. 答案 D 2 3 7.设 a= 2 (sin17° +cos17° ),b=2cos213° -1,c= 2 ,则( A.c<a<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c ) )

2 2 解析 a= 2 sin17° + 2 cos17° =cos(45° -17° )=cos28° , b=2cos213° -1=cos26° , 3 c= 2 =cos30° , ∵y=cosx 在(0,90° )内是减函数, ∴cos26° >cos28° >cos30° ,即 b>a>c. 答案 A 8.三角形 ABC 中,若∠C>90° ,则 tanA· tanB 与 1 的大小关系为( A.tanA· tanB>1 C.tanA· tanB=1 B. tanA· tanB<1 D.不能确定 )

解析 在三角形 ABC 中,∵∠C>90° ,∴∠A,∠B 分别都为锐角. 则有 tanA>0,tanB>0,tanC<0. 又∵∠C=π-(∠A+∠B), tanA+tanB ∴tanC=-tan(A+B)=- <0, 1-tanA· tanB 易知 1-tanA· tanB>0, 即 tanA· tanB<1. 答案 B π? π? ? ? 9.函数 f(x)=sin2?x+4?-sin2?x-4?是(
? ? ? ?

)

A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 π? π? ? ? 解析 f(x)=sin2?x+4?-sin2?x-4?
? ? ? ?

π? ?π ? ? =cos2?4-x?-sin2?x-4?
? ? ? ? ? ? ? ?

π? π? ? ? =cos2?x-4?-sin2?x-4?

π? ? =cos?2x-2?
? ?

=sin2x. 答案 A 10.y=cosx(cosx+sinx)的值域是( A.[-2,2] C.?
? ?1- 2

)
?1+ 2 ?

B.? 1+ 2 ? ? 2 ?

2

,2?
?

?

2



? 1 3? D.?-2,2? ? ?

解析 y=cos2x+cosxsinx=

1+cos2x 1 +2sin2x 2

? 1 2? 2 2 =2+ 2 ? sin2x+ cos2x? 2 ? 2 ?

1 2 π =2+ 2 sin(2x+4).∵x∈R, 1+ 2 π? ? ∴当 sin?2x+4?=1 时,y 有最大值 2 ; ? ? 1- 2 π? ? 当 sin?2x+4?=-1 时,y 有最小值 2 . ? ? ∴值域为?
? ?1- 2

2



1+ 2? ?. 2 ?

答案 C 24 θ 11.已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)=25,则 cos2的值为( 3 A.35 3 C.± 5 4 B.5 4 D.± 5 )

24 24 解析 由 sin(π-θ)=25,得 sinθ=25. 7 ∵θ 为第二象限的角,∴cosθ=-25. θ ∴cos2=± 1+cosθ 2 =± 7 1-25 2 3 =± 5.

答案 C 12 3 12.若 α,β 为锐角,cos(α+β)=13,cos(2α+β)=5,则 cosα 的值为( 56 A.65 56 16 C.65或65 16 B.65 D.以上都不对 )

12 解析 ∵0<α+β<π,cos(α+β)=13>0, π 5 ∴0<α+β<2,sin(α+β)=13. 3 ∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=5>0, π 4 ∴0<2α+β<2,sin(2α+β)=5. ∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)] =cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β) 3 12 4 5 56 =5×13+5×13=65. 答案 A


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