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浙江省嘉兴市2013届高三教学测试(二)数学试题卷(文科)(WORD版)


浙江省嘉兴市 2013 届高三教学测试(二) 数学试题卷(文科) (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 A ? ? 1, 2, 3? , B ? ? 1, 3, 9? , x ? A 且 x ? B ,则 x ? A.1 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B.2 C.3 D.9

i 对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若 log1 (1 ? x ) ? log1 x ,则
2 2

A. 0 ? x ? 1

B. x ?

1 2

C. 0 ? x ?

1 2

D.

1 ? x?1 2

4.对于指数函数 f ( x) ? a x , a ? 1 ”是“ f ( x ) 在 R 上单调”的 “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

1 6

D.

1 8

6.已知直线 l , m 与平面 ? , ? , ? ,满足 ? ? ? ? l , l // ? , m ? ? , m ? ? ,则必有 A. ? ? ? 且 m // ? C. m // ? 且 l ? m B. ? // ? 且 ? ? ? D. ? ? ? 且 l ? m
正视图 侧视图

7.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 A.
32 ? 3 π 3

B.

4? 3 32 ? 8 3 π π C. 3 3

D.

4? 3 3 π 3

俯视图

(第 7 题)

8.函数 y ? sin? x (? ? 0) 的部分图象如图所示,点 A 、 y 是最高点,点 C 是最低点.若△ ABC 是直角三角 B 形,则 ? 的值为

A
?
4

B
x

A.

?
2
2

B.
2

C.

?
3

O

D. ?

C

x y (第 题) 9.设 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a , b ? 0) 的左焦点, C 是其右顶点,过 F8作 x 轴的垂线与双曲线交于 A 、 B 两 a b
第 1 页 共 6 页

点,若△ ABC 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. (1,2) B. (1 ? 2 , ? ?) C. (1, 1 ? 2 ) D. ( 2, ? ? )

10.已知正实数 a,b 满足 a ? 2b ? 1 ,则 a 2 ? 4b 2 ? A.

1 的最小值为 ab
D.

7 2

B.4

C.

161 36

17 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 3 ,则 a5 ? ▲ .

12.一个样本数据按从小到大的顺序依次排列为 2001,2004,2009, x ,2015,2016,2019,2020,中位数为 2014,则 x = ▲ . ▲ .
开始

13.已知两非零向量 a , b 满足 | a |? 2 , | a ? b |? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的最大值是 14.某程序框图如图所示,则运行结果为 15.在△ ABC 中, sin A ? cos A ? ▲ .

i ?1

2 , AC ? 4 , AB ? 5 ,则△ ABC 的面积是 2

▲ .

.s ? 0
s? s? 1 i


?x ? 2 16.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 表示的平面区域的面积是 ?| y ? 2 |? x



i ? i?1

17.已知点 A(?3,0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 9 , AB 是圆 O 的直径, M 和 N 是 AB 的 三等分点, P (异于 A, B )是圆 O 上的动点, PD ? AB于 D , PE ? ? ED (? ? 0) , 直线 PA 与 BE 交于 C ,则当 ? ? ▲ 时, | CM | ? | CN | 为定值.

s?

9 ? 4 否

输出 i
结束
(第 14 题)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

a?b 的取值范围. c

19. (本题满分 14 分)已知数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , a n?1 ? 3a n ? 2 . (Ⅰ )记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ? bn ?为等比数列; )求数列 ? nan ? 的前 n 项和 S n . (Ⅱ

第 2 页 共 6 页

20. (本题满分 15 分)如图,在△ ABC 中,? C ? 90? , AC ? BC ? 3a ,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E ,
PF // AC 交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面 A' PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将△ BPF 翻折成

△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . )求证: B'C // 平面 A' PE ; )若 AP ? 2PB ,求二面角 A'? PC ? E (Ⅰ (Ⅱ 的平面角的正切值.
C

E

A

A'

B' F P a 2 21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2 B

C

E

A

F P B (Ⅰ )若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; )若函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围. (Ⅱ
(第 20 题)

22. (本题满分 14 分)如图,已知抛物线

C1 : x 2 ? 2 py

的焦点在抛物线

C2 : y ?

上. (Ⅰ)求抛物线 C 的 1 2 1 x ?1 2

方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线 C 上的动点 P 作抛物线 C 的两条切线 PM 、PN , 切点为 M 、N . PM 、 若 1 2

PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
C1

C2

y M

N

2013 年高三教学测试(二)文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.D; 2.A; 7.C; 3.C; 8.A; 4.A; 9.D; 5.B; 10.D.

O

P

x

(第 22 题)

第 10 题 提 示 : 因 为 1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ?

1 1 , 当 且 仅 当 a ? 2b ? 时 取 等 号 . 又 因 为 8 2

a 2 ? 4b 2 ?

1 1 1 1 1 . 令 t ? ab , 所 以 f (t ) ? 4t ? 在 (0, ] 单 调 递 减 , 所 以 ? 2a ? (2b) ? ? 4ab ? ab ab ab t 8

1 17 1 .此时 a ? 2b ? . f (t ) min ? f ( ) ? 8 2 2
二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.13;
第 3 页 共 6 页

12.2013;

13. 30? ;

14.5;

15.

5 2?5 6 ; 2

16.4;

17.

1 . 8

第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,
1 y0 BE : y ? 1 ? ? ( x ? 3) ?② x0 ? 3
2 2 将 y0 ? 9 ? x0 代入,得

y0 1 ( x ? 3) ?① y0 ) , PA : y ? x0 ? 3 1? ?
2 y0 2 (? ? 1)( x 0 ? 9)

由①②得 y 2 ?

( x 2 ? 9) ,

x2 ? 9

y2 9 1 ? 1 .由 9 ? ? 1 ,得到 ? ? . 9 1? ? 8 1? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18.解: (Ⅰ) 所以 cos C ?

a ? c sin A ? sinB a ? b 2 2 2 ,化简得 a ? b ? ab ? c , ? ? b sin A ? sinC a ? c
?7 分 ?11 分

?4 分

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,C ? . 2ab 2 3 2 2? a?b s i n ?s i n A B ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 s i n ( ? ) . (Ⅱ) ? A 3 6 c sin C 3

因为 A ? (0,

? 1 ? ? 5? 2? ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] . 3 6 6 6 6 2
?14 分

故,

a?b 的取值范围是 (1,2] . c

19. (本题满分 14 分)解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 ,可知 an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1) . 因为 bn ? an ? 1 ,所以 bn ? 1 ? 3bn , 又 b1 ? a1 ? 1 ? 3 , 所以数列 ? bn ? 是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 3n , an ? 3n ? 1 ,所以 nan ? n3n ? n . 所以 Sn ? (3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) 其中 1 ? 2 ? ?n ? …9 分 …6 分 …4 分

n2 ? n 2
① ②
3 ? 3n ? 1 ? n ? 3n ? 1 ?2

记 Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n

3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1
两式相减得 ? 2Tn ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n ? 1 ?

…13 分

Tn ?

2n ? 1 n?1 3 ?3 ? 4 4
C

2n ? 1 n ? 1 2n 2 ? 2n ? 3 ?3 ? 所以 S n ? 4 4
第 4 页 共 6 页

E

A
…14

A'

B' F P

C

E

A

20. (本题满分 15 分)

解: (Ⅰ)因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . 因为平面 A' PE ? 平面 PEC ,且 A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC . 同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE . 所以平面 B'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)因为 AC ? BC ? 3a , AP ? 2BP , 所以 CE ? a , EA? ? 2a , PE ? 2a , PC ? 5a . 过 E 作 EM ? PC ,垂足为 M,连结 A?M . 由(Ⅰ)知 A' E ? 平面ABC ,可得 A? E ? PC , 所以 PC ? 面A?EM ,所以 A? M ? PC . 所以 ?A' ME 即为所求二面角 A'? PC ? E 的平面角,可记为 ? . 在 Rt△ PCE 中,求得 EM ? 所以 tan? ?
2 5 a, 5

?2 分 ?4 分 ?6 分

A'
?8 分

B'

C

E

M F B
…12 分

A

P
(第 20 题)

A? E 2a ? ? 5. EM 2 5a 5

…15 分

21. (本题满分 15 分)解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ?
f ' ( x) ? x ? 2 ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x . 2
…2 分 …4 分 …6 分

( x ? 3)( x ? 1) 3 x 2 ? 2x ? 3 ? ? . x x x

当 x ? (0,3) 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 3,??) 时, f ' ( x ) ? 0 .

3 所以函数有极小值 f (3) ? ? ? 3 ln 3 ,无极大值. 2
(II) f ' ( x ) ? ax ? 2 ?
a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . x x

记 h( x ) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 4 . 若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. …8 分 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a( x 2 ? 1) ? 2( x ? 2) , 所以 a ?
2( x ? 2) x ?1
2

?

2 5 ( x ? 2) ? ?4 x?2



…10 分

8 因为 x ? 2 ? ( 3,4) ,所以 a ? ( ,3) . 5
第 5 页 共 6 页

…14 分 C2
C1

y M

8 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 5

8 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) . 5
22. (本题满分 14 分)

…15 分

p p 解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, ) ,所以 ? 0 ? 1 , p ? 2 . 2 2
故 C 1 的方程为 x 2 ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .

?4 分 ?6 分

(Ⅱ)任取点 P(2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2 ? k( x ? 2t ) .
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 y ? x2 ? 1 ? 2 ?

由 ? ? ?2k ?2 ? 4(4tk ? 2t 2 ? 2) ? 0 ,化简得 k 2 ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 , 记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m ? k1 k 2 ? 2t 2 ? 2 , 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP ? [2 3 , 21] .

…9 分

所以 OP ? 4t 2 ? t 4 ? (t 2 ? 2)2 ? 4 ?[12, 21] , …14 分

2

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