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高中数学热点难点突破-不拉分系列之(一)集合的创新考查面面观


以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题 创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题” 为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的, 常见的命题形式有新定义、新运算、新性质,这 类试题只是以集合为依托,考查考生理解问题、 解决创新问题的能力.

1.创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合, 对集合的知识加以深入地创新, 结合 原有集合的相关知识和相应数学知识,来解决新定义的集合创新问题. 1 1 ? ? [典例 1] 若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,2,2,3?的 x ? ? 所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 C.7 B.3 D.31 )

1 [解析] 具有伙伴关系的元素组是-1; ,2, 2 1 ? ?1 ? ? 所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1},?2,2?,?-1,2,2?.
? ? ? ?

[答案] B [题后悟道] 该题是集合新定义的问题,定义了集合中元素的性质,此类题目只需准确 提取信息并加工利用,便可顺利解决. 2.创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则, 并按照此集 合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的. [典例 2] 设 P 和 Q 是两个集合, 定义集合 P-Q={x|x∈P, x?Q}, 且 如果 P={x|log2x<1}, Q={x||x-2|<1},那么 P-Q=( A.{x|0<x<1} ) B.{x|0<x≤1}

C.{x|1≤x<2}

D.{x|2≤x<3}

[解析] 由 log2x<1,得 0<x<2,所以 P={x|0<x<2};由|x-2|<1,得 1<x<3,所以 Q= {x|1<x<3}.由题意,得 P-Q={x|0<x≤1}. [答案] B [题后悟道] 解决创新集合新运算问题常分为三步: (1)对新定义进行信息提取,确定化归的方向; (2)对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法; (3)对定义中提出的知识进行转换,有效地输出.其中对定义信息的提取和转化与化归 是解题的关键,也是解题的难点. 3.创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题,通过创新性质, 结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题. [典例 3] 对于复数 a,b,c,d,若集合 S={a,b,c,d}具有性质“对任意 x,y∈S,

?a=1, ? 2 必有 xy∈S”,则当?b =1, ?c2=b ?
A.1 C.0

时,b+c+d 等于(

)

B.-1 D.i

[解析] ∵S={a,b,c,d},由集合中元素的互异性可知当 a=1 时,b=-1,c2=-1, ∴c=± i,由“对任意 x,y∈S,必有 xy∈S”知± i∈S,∴c=i,d=-i 或 c=-i,d=i, ∴b+c+d=(-1)+0=-1. [答案] B [题后悟道] 此题是属于创新集合新性质的题目, 通过非空集合 S 中的元素属性的分析, 结合题目中引入的相应的创新性质,确定集合的元素.


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