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巧用二次函数图象及性质解相关高考试题


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 巧用二次函数图象及性质解相关高考试题 作者:刘海青 来源:《新课程学习· 下》2015 年第 02 期 摘 要:函数是高中数学的灵魂,尤其是二次函数贯于穿整个高中数学,是每年必考的内 容。通过它可以研究函数的很多性质,并且与不等式、数列等有着广泛的联系。 关键词:二次函数;图象;性质;应用;解题规律 函数是高中数学的灵魂,尤其是二次函数贯穿于整个高中数学,是高考必考的内容。通 过它可以研究函数的很多性质,并且与不等式、数列等有着广泛的联系。本文主要通过二次函 数在高中数学中的应用进行归类,以揭示二次函数的解题规律。 一、最值问题 一般先用配方法化为 y=a(x-m)2+n 的形式,得顶点(m,n)和对称轴 x=m,结合二次 函数图象求解,常见的有三种类型: (1)顶点固定,区间也固定; (2)即顶点为动点,区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之 外; (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数。 例:函数 f(x)=x2+2mx+m2-m-,当 x∈(0,+∞)时,恒有 f(x)>0,求 m 的取值范 围。 思路点拨:此题为动轴定区间问题,需对对称轴进行讨论。 解:f(x)=(x+m)2-m当-m≤0 即 m≥0 时,f(0)≥0?圯 m2-m-≥0,∴m≥; 当-m>0 即 m0,∴m 综上得:m 点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况,尤其是端点处的数值不可忽视,最后结果要取 并集。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 二、一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题 在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数图象数形结合来解,一般从二 次函数的四个要素来考虑:开口;区间端点函数值符号;对称轴;Δ。 例:已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零 点,求 a 的取值范围。 解析 1:函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,即方程 f(x)=2ax2+2x-3-a=0 在[-1,1] 上有解。 a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,方程 f(x)=0 在[-1,1]上有解?圳 f(-1)· f(1)≤0 或 af(-1)≥0af(1)≥0Δ=4+8a(3+a)≥0?圳 1≤a≤5 或 a≤或 a≥5?圳 a≤或 a≥1-∈[-1,1] 点评:通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题。 三、在不等式方面的应用 1.一元二次不等式恒成立问题 (1)在 R 上恒成立——利用开口及 Δ; (2)在某区间上恒成立——变量分离或画图利用四要素或转化二次函数最值。 例:(2009 年江西卷文 17)设函数 f(x)=x3-x2+6x-a. 对于任意实数 x,f ′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值。(节选) 解析:f ′(x)=3x2-9x+6,∵对?坌 x∈R,f ′(x)≥m,即 3x2-9x+(6-m)≥0 在 x∈R 上恒成立,∴Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤-,即 m 的最大值为-. 例:(2009 年全国卷 II 文 21)设函数 f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数 a>1,若 当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:利用导数求函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出 a 的范围。 解:当 x≥0 时,f(x)在 x=2a 或 x=0 处取得最小值。 f(2a)=(2a)3-(1+a)(2

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