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数学(文)一轮教学案:第七章第4讲 基本不等式 Word版含解析


第 4 讲 基本不等式 考纲展示 命题探究 考点一 基本不等式 1 基本不等式及有关结论 a+b (1)基本不等式:如果 a>0,b>0,则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时, 等号成立, 即正数 a 与 b 的算术平均数不小于它们的几何平均数. (2)重要不等式:a∈R,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. (3)几个常用的重要结论 b a ①a+b≥2(a 与 b 同号,当且仅当 a=b 时取等号); 1 1 ②a+a≥2(a>0,当且仅当 a=1 时取等号),a+a≤-2(a<0,当 且仅当 a=-1 时取等号); ③ab≤? 2 ?a+b?2 ? (a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); ? 2 ? a+b ④1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b 等号). 2 利用基本不等式求最值 已知 x>0,y>0,则 a2+b2 2 (a,b>0,当且仅当 a=b 时取 (1)如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时, x+y 有最小值 2 p (简记:积定和最小). s2 (2)如果 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 4 (简 记:和定积最大). 注意点 基本不等式的使用条件 (1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓 “一正”指正数,“二定”是指应用定理求最值时,和或积为定值, “三相等”是指等号成立. (2)连续使用基本不等式时,要注意等号要同时成立. 1.思维辨析 1 (1)函数 y=x+x的最小值是 2.( (2)ab≤? ) ) ) ?a+b?2 ? 成立的条件是 ab>0.( ? 2 ? a+b (3)当 a≥0,b≥0 时, 2 ≥ ab.( a+b (4) 两个不等式 a2 + b2≥2ab 与 2 ≥ ab 成立的条件是相同 的.( 答案 ) (1)× (2)× (3)√ (4)× ) 1 2.当 x>1 时,关于函数 f(x)=x+ ,下列叙述正确的是( x-1 A.函数 f(x)有最小值 2 B.函数 f(x)有最大值 2 C.函数 f(x)有最小值 3 D.函数 f(x)有最大值 3 答案 解析 1≥2 C ∵ x>1 , ∴ x - 1>0 , ∴ f(x) = x + 1 1 =x-1+ + x-1 x-1 1 1 ?x-1?· +1=3, 等号成立的条件为当且仅当 x-1= , x-1 x-1 即 x=2. x y 3.已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为________. 答案 解析 3 x y ∵x>0, y>0 且 1=3+4≥2 xy x y , ∴ xy ≤ 3. 当且仅当 12 3=4时 3 取等号.即 x=2,y=2 时,xy 取得最大值 3. [考法综述] 高考中对基本不等式的考查,主要是利用基本 不等式求最值,且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查, 同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点. 命题法 利用基本不等式求最值 典例 (1)若 log4(3a+4b)=log2 ab, 则 a+b 的最小值是( ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 (2)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. [解析] (1)由 log4(3a+4b)=log2 ab, 可得 3a+4b=ab,且 a>0,b>0, 3a+4b 3 4 = 1 ,即 ab b+a=1, ?3 4? 所以 a

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