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新课标高中数学(必修5)第三章不等式(基础训练)题与答案




目: 数学

适用年级: 高一、高二 资料名称: 新课标高中数学(必修 5) 第三章不等式 (基础训练)测试题
一、选择题
1.若 ? 2 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
2



A. 4 x ? 5

B. ? 3

C. 3

D. 5 ? 4 x ) B. ( x ? 1) ? 0 与 x ? 1 ? 0
2

2.下列各对不等式中同解的是( A. 2x ? 7 与 2 x ?

x ?7? x

C. x ? 3 ? 1 与 x ? 3 ? 1

D. ( x ? 1) ? x 与
3 3

1 1 ? x ?1 x


1 ? ( ) x ?2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是( 4 1 1 1 A. [ , 2) B. [ , 2] C. ( ??, ] D. [2, ??) 8 8 8 4.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( 1 1 1 1 A. ? B. ? C. a ? b2 a b a b
3.若 2
x 2 ?1
2 2

) D. a 2 ? 2b )

5.如果实数 x, y 满足 x ? y ? 1,则 (1 ? xy)(1 ? xy) 有 (

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值
2 2

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

6.二次方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 ,有一个根比1 大,另一个根比 ?1 小, 则 a 的取值范围是 ( ) A. ?3 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 0 C. ?1 ? a ? 0 D. 0 ? a ? 2

二、填空题
1.若方程 x ? 2(m ? 1) x ? 3m ? 4mn ? 4n ? 2 ? 0 有实根,
2 2 2

1

则实数 m ? _______;且实数 n ? _______。 2.一个两位数的个位数字比十位数字大 2 ,若这个两位数小于 30 , 则这个两位数为________________。 3.设函数 f ( x) ? lg( ? x ? x 2 ) ,则 f ( x) 的单调递减区间是
2 2

3 4



4.当 x ? ______时,函数 y ? x (2 ? x ) 有最_______值,且最值是_________。 5.若 f (n) ?

n2 ? 1 ? n, g (n) ? n ? n 2 ? 1, ? (n) ?

1 (n ? N * ) ,用不等号从小到大 2n

连结起来为____________。 三、解答题 1.解不等式 (1) log (2 x ?3) ( x ? 3) ? 0 (2) ? 4 ? ?
2

1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2

2.不等式

x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围。 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

? y ? x, ? 3. (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

x2 y 2 ? ?1 (2)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 25 16

4.已知 a ? 2 ,求证: log ?a ?1? a ? log a ?a ? 1?

2

(基础训练)答案
一、选择题 1.C

1 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0, ? x ? 2 , 2

4 x2 ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? 2 x ?1 ? 4 ? 2 x ? 3
2.B 对于 A. 2 x ? 7, x ?

7 7 , 与 2x ? x ? 7 ? x , 0 ? x ? 2 2

对于 C. x ? 3 ? 1, x ? 3 ? 1或x ? 3 ? ?1 与 x ? 3 ? 1

对于 D. ( x ? 1) ? x 与
3 3

1 1 1 1 ? , 当 ?1 ? x ? 0 时, ? 不成立 x ?1 x x ?1 x

3.B 4.C

1 1 ? ( ) x ?2 ? 24?2 x , x 2 ? 1 ? 4 ? 2 x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ?3 ? x ? 1, ? y ? 2 4 8 1 1 对于 A,B,倒数法则: a ? b, ab ? 0 ? ? ,要求 a, b 同号, a b

2x

2

?1

1 ? b ? ?1 ? b2 ? 1, 而a ? 1 ,对于 a 2 ? 2b 的反例: a ? 1.1, a 2 ? 1.21, b ? 0.8, 2b ? 1.6
5.B 设 x ? cos ? , y ? sin ? ,1 ? x 2 y 2 ? 1 ?
2 2

1 2 sin 2? 4

6.C 令 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0
2 ? ?a ? a ? 0 , ? 1? a ? 0 即? 2 ? ?a ? a ? 3 ? 0

二、填空题 1. 1, ?

1 2

2 2 ? ?4 ( m ? 12) ? 4 m (3 ? m4n ? n 4 ? 2? )

0

2m2 ? 4mn ? 4n2 ? 2m ? 1 ? 0 ,即 (m ? 2n)2 ? (m ? 1) 2 ? 0
而 (m ? 2n) ? (m ? 1) ? 0 ,即 (m ? 2n) 2 ? (m ? 1) 2 ? 0 ? m ? 1, 且n ? ?
2 2

2. 13 或 24

设十位数为 a ,则个位数为 a ? 2 ,

1 2

10a ? a ? 2 ? 30, a ?
3. ? ?

28 , a ? N * ? a ? 1或, 2 ,即 13 或 24 11

? 1 1? , ? ? 2 2?

3 3 1 1 1 1 ? x ? x 2 ? 0, ? ? x ? ,递减则 x ? ? , ∴ ? ? x ? 4 2 2 2 2 2

4. ? 1, 大,1

y ? x2 ( 2 ? x2 ) ? ? x4 ?2 x2 ? ? ( x2 ? 1 )2 ,当 ?1 x 2 ? 1 时, ym a x? 1

3

5. f (n) ? ? (n) ? g (n) 三、解答题

f ( n )?

1 n ?1 ? n
2

g , n ( ? )

1 n ?1 ? n
2

? ,n ( ? )

1 n ?n
2

? x 2 ? 3 ? 1 ?0 ? x 2 ? 3 ? 1 或? 1. 解: (1) ? 得 x ? 2或 3 ? x ? 2 , ? 2 x ? 3 ? 1 ?0 ? 2 x ? 3 ? 1
? x ? ( 3, 2) ? (2, ??)

3 ?1 2 x ? x? ? 4 2 ? ? 1 2 3 ?2 ?x ? 2x ?1 ? 0 2 (2) 2 ? x ? x ? ? 4, ? ,? 2 2 2 ?x ? 2x ? 5 ? 0 ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ? ? ?2 2

? 或x ? ? 2 ? 1 ?x ? 2 ? 1 , ? ? 1 ? ?? 6 ? 1? x ? 6
? x ? (? 6 ? 1, ? 2 ? 1) ? ( 2 ? 1, 6 ? 1)

? mx ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4 ? 0须恒成立 2. 解:? x ? 8 x ? 20 ? 0恒成立,
2 2

当 m ? 0 时, 2x ? 4 ? 0 并不恒成立; 当 m ? 0 时,则 ?

?m ? 0
2 ?? ? 4(m ? 1) ? 4m(9m ? 4) ? 0

?m ? 0 ? 得? 1 1 m ? , 或m ? ? ? ? 4 2
3.解: (1)作出可行域
' 2 ' 2

1 ?m ? ? 2

' ' Z m a x? 3 ; (2)令 x ? 5 x , y ? 4 y , ' ' ' '

则 ( x ) ? ( y ) ? 1, z ? 10 x ? 4 y ,当直线 z ? 10 x ? 4 y 和圆 ( x ) ? ( y ) ? 1
' 2 ' 2

相切时 z ? 116 , Z max ? 116

lg a lg(a ? 1) lg 2 a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? ? 4.证明:? log ? a ?1? a ? log a ? a ? 1? ? lg(a ? 1) lg a lg a lg(a ? 1)
? lg( a 2 ? 1) ? lg a 2 2 ? lg(a ? 1) ? lg( a ? 1) ? lg( a ? 1) lg( a ? 1) ? ? ? ( ) ? lg 2 a 而 ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?
即 lg a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? 0, 而 a ? 2 ? lg(a ? 1) lg a ? 0
2
2 2

4

?

lg 2 a ? lg(a ? 1) lg(a ? 1) ? 0 ,即 log? a ?1? a ? log a ? a ? 1? ? 0 lg a lg(a ? 1)

? log ? a ?1? a ? log a ? a ? 1?

5


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