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上海市普陀区2017届高三上学期质量调研(一模)数学试题(含官方答案)


普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研
2016.12 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分,否则一律得零分. 1.若集合 A ? x | y 2 ? x, y ? R , B ? ?y | y ? sin x, x ? R?,则 A ? B ? 2. 若 ?

?

?

.

?
2

?? ?

?
2

, sin ? ?

3 ,则 cot 2? ? 5

. . .

3. 函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ( x ? 1 )的反函数 f ?1 ( x) ?

4. 若 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? ? a5 x5 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 5. 设 k ? R , 若 是 .
2 3

y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则半焦距的取值范围 k k ?2

6. 设 m ?R,若函数 f ( x) ? ?m ? 1?x ? mx ? 1 是偶函数,则 f ( x) 的单调递增区间是 7. 方程 log2 9x ? 5 ? 2 ? log2 3x ? 2 的解 x ?
2 2 2

.

?

?

?

?

.

8. 已知圆 C : x ? y ? 2kx ? 2 y ? k ? 0( k ? R ) 和定点 P?1,?1?, 若过 P 可以作两条直线与圆 C 相切,则 k 的取值范围是
?

.

9. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?ABC ? 90 ,

AB ? BC ? 1 , 若 A1C 与平面 B1 BCC1 所成的角为

? ,则三棱锥 6

A1 ? ABC 的体积 为

.

10.掷两颗骰子得两个数, 若两数的差为 d , 则 d ? ?? 2,?1,0,1,2?出现 的概率的最大值为 (结果用最简分数表示).

? 11. 设地球半径为 R ,若 A 、 B 两地均位于北纬 45 ,且两地所在纬度圈上的弧长为

2 ?R ,则 A 、 B 之间的球面距离是 4

(结果用含有 R 的代数式表示).

2 12. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ;

1

函数 g ( x ) ? ? 是

?lg x , x ? 0, ?1, x ? 0.
.

,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 x ? ?? 5,10? ,函数 F ( x) 零点的个数

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立 的是 ……………………………………… .... ( ).

(A)

1 1 ? a b

?B?

1 1 ? a?b a

?C ? a 3 ? b 3

1

1

?D ? a 2 ? b 2

14. 设 无 穷 等 比 数 列 ?an ? 的 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 前 n 项 和 为 Sn . 则 “ a1 ? q ? 1 ” 是 “ lim S n ? 1 ”成立的…………………………………………………(
n ??

).

(A) 充分非必要条件

?B? 必要非充分条件 ?D ? 既非充分也非必要条件

?C ? 充要条件

15. 设 ? ? l ? ? 是直二面角,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 a 、 b 与 l 均不 垂直,则……………………………………………………………( ).

(A) a 与 b 可能垂直,但不可能平行

?B? a 与 b 可能垂直,也可能平行 ?D ? a 与 b 不可能垂直,也不可能平行

?C ? a 与 b 不可能垂直,但可能平行

16. 设 ? 是两个非零向量 a 、 b 的夹角,若对任意实数 t , a ? t b 的最小值为 1 ,则下列判 断正确的是……………………………………………………………( ).

(A) 若 a 确定,则 ? 唯一确定

?B? 若 b 确定,则 ? 唯一确定 ?D ? 若 ? 确定,则 a 唯一确定

?C ? 若 ? 确定,则 b 唯一确定

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知 a ?R,函数 f ( x) ? a ?

1 |x|
2

(1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 x ; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? 0 在区间 ?? 2,?1? 上有解,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭圆上位 a2 b2

于第一象限内的点, PQ ? x 轴,垂足为 Q ,且 F1 F2 ? 6 , ?PF1 F2 ? arccos 面积为 3 2 . (1)求椭圆 ? 的方程; (2)若 M 是椭圆上的动点,求 MQ 的最大值, 并求出 MQ 取得最大值时 M 的坐标.

5 3 ,△ PF1 F2 的 9

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为 7.8 g / cm ,总重量 为 5.8 kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米). (1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材 0.11 千克, 共需要多少千克防腐材料(结果精确到 0.01 )
3

3

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已 知 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a1 ? 1 , 对 于 任 意 的 n ? N , 均 有
*

an2?1 ? 1 ? 4an ? ?an ? 1? , bn ? 2 log2 ?1 ? an ? ? 1 .
(1)求证: ? 1 ? an ?是等比数列,并求出 ?an ?的通项公式; (2) 若数列 ?bn ?中去掉 ?an ?的项后,余下的项组成数列 ?cn ?,求 c1 ? c2 ? ? ? c100 ; (3)设 d n ?

1 ,数列 ?dn ?的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ( 1 ? m ? n ), bn ? bn ?1

使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 y ? f ( x) ,若存在实数 m 、 k ( m ? 0 ),使得对于定义域内的任意实数 x , 均有 m ? f ( x) ? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) 成立,则称函数 f ( x) 为 “ 可平衡 ” 函数,有序数对

?m, k ? 称为函数 f ( x) 的“平衡”数对.
(1)若 m ? 1 ,判断 f ( x) ? sin x 是否为“可平衡”函数,并说明理由;
2 x (2)若 a ?R, a ? 0 ,当 a 变化时,求证: f ( x) ? x 与 g ( x) ? a ? 2 的“平衡”数对相

同; (3)若 m1 、 m2 ? R,且 ? m1 ,

? ?

??

?? ? 2 ? 、 ? m2 , ? 均为函数 f ( x) ? cos x 的“平衡”数对. 2? ? 4?
4

当0 ? x ?

?
4

时,求 m1 ? m2 的取值范围.

2

2

普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研评分标准
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分) 1-6::4 分;7-12:5 分。 1. ?0, 1?. 2.

7 . 24

3. 2

? x ?1?

( x ? 1 ).

4. 31.

5. c ?

2.

6. ?0,??? .

7. 1.

8. k ? ?2 或 k ? 0 . 9.

2 . 6

10.

1 . 6

11.

?R . 3

12. 15 .

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 题号 答案 13 B 14 B 15 C 16 D

三、解答题 17.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 【解】(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ①若 x ? 0 ,则(*)变为,

1 1 ,所以 f ( x) ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ……(*) |x| |x|

(2 x ? 1)( x ? 1) 1 ? 0 ? ? ? x ? 0 或 x ? 1 ,所以 x ? 1 ; x 2

2x2 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ,所以 x ? ? ②若 x ? 0 ,则(*)变为, x
由①②可得,(*)的解集为 ?1,??? 。 (2) f ( x) ? 2 x ? 0 ? a ? 令 g ( x) = 2 x ?

1 1 ? 2 x ? 0 ,即 a ? 2 x ? 其中 x ? ?? 2,?1? x |x|

1 ,其中 x ? ?? 2,?1? ,对于任意的 x1 、 x 2 ? ?? 2,?1?且 x1 ? x2 x

则 g ?x1 ? ? g ( x2 ) ? ? ? 2 x1 ?

? ?

1? ? 1 ? ?x1 ? x2 ??2 x1 x2 ? 1? ? ? ?? ? 2 x ? 2 ? x1 x2 x1 ? x2 ? ? ? ?

由于 ? 2 ? x1 ? x2 ? ?1,所以 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,1 ? x1x2 ? 4 ,所以 2 x1 x2 ? 1 ? 0 所以

?x1 ? x2 ??2 x1x2 ? 1? ? 0 ,故 g ?x ? ? g ( x ) ,所以函数 g ( x) 在区间 ?? 2,?1? 上是增函
x1 x2
1 2

5

数 所以 ?

9 ? 9 ? ? 9 ? ? g ?? 2? ? g ( x) ? g ?? 1? ? ?3 ,即 g ( x) ? ?? ,?3? ,故 a ? ?? ,?3? 2 ? 2 ? ? 2 ?

18. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 【解】(1)在△ PF1 F2 中,由 ?PF 1F2 ? arccos

5 3 9

得 cos?PF1 F2 ?

5 3 6 sin ?PF1 F2 ? 9 9
1 F1 F2 ? PF1 ? sin ?PF1 F2 ? 3 2 . 2

因为△ PF1 F2 的面积为 3 2 , F1 F2 ? 6 ,所以 解 得

PF1 ? 3 3 ……2 分 在 △ PF1 F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,
2 2 2

PF2

2

? PF1 ? F1 F2 ? 2 PF1 ? F1 F2 ? c o? sPF1 F2 ,所以 PF2

? 3 ,故 PF2 ? 3 ,

于是 2a ? PF1 ? PF2 ? 4 3 ,故 a ? 2 3 ……4 分,由于 c ? 3 ,所以 b ?

3,

x2 y2 ? ?1 故椭圆 ? 的方程为 12 3
(2)设 P?x0 , y0 ? ,根据题意可知

1 ? F1 F2 ? y0 ? 3 2 ,故 y0 ? ? 2 ,由于 y0 ? 0 ,所 2

以 y0 ? 2 ……7 分,将 y0 ? 2 代入椭圆方程得,

x0 2 ? ? 1 ,解得 x0 ? ?2 ,由于 12 3
x2 y2 ? ? 1 ,所以 12 3

2

x0 ? 0 ,所以 x0 ? 2 ,故 Q 的坐标为 ?2,0? ……8 分 令 M ?x, y ? ,则
y2 ? 3 ? x2 4
MQ ? ? x ? 2 ? ? y 2 ?
2 2

3 2 3? 8? 5 x ? 4x ? 7 ? ? x ? ? ? , 4 4? 3? 3
2

2

其中 ? 2 3 ? x ? 2 3 ……11 分,所以当 x ? ?2 3 时, MQ 的最大值为 16 ? 8 3 , 故 MQ 的最大值为 2 3 ? 1 …13 分,此时点 M 的坐标为 ? 2 3,0 . 19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 【解】设正六棱柱的底边边长为 a ,高为 h ,圆孔的半径为 r ,并设螺帽的表面积为 S表 , 根据三视图可知, a ? 12 , h ? 10 , r ? 5 ,则(1)设螺帽的体积为 V ,则 V ? S底 ? h ,
6

?

?

?

?

其中

1 S底 ? 6 ? ? a 2 ? sin 60 ? ? ?r 2 ? 216 3 ? 25? 2
高 h ? 10 ,螺帽的体积 V ? 216 3 ? 25? ? 10,

?

?

5.8 ? 1000? 7.8 ? 100 ? 252 个 216 3 ? 25? ? 10

?

?

(2) S 表 ? 6ah ? 2 ? ? 6 ?

? ?

1 ? ? a 2 ? sin 60? ? ? ? r 2 ? ? 2? ? a ? h 2 ?

? ? 1 3 2 2 ? ? 6 ? 12 ? 10 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ? 12 ? 2 ? ? ? 5 ? ? 2? ? 5 ? 10 ? ?

720 ? 2 ? 216 3 ? 25? ? 100? ? 252? 0.11 ? 0.05(千克) 106
答:这堆零件至少有 252 个,防腐共需要材料 0.05 千克。

?

?

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 【解】(1)由 an?1 ? 1 ? 4an ?an ? 1? 得 an?1 ? ?2an ? 1? ,由于 an ? 0
2 2 2

故 an?1 ? 2an ? 1,即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,所以

an?1 ? 1 ?2 an ? 1

故数列 ?an ? 1?为等比数列,且 a1 ? 1 ? 2 ,所以 an ? 2 n ? 1 (2) bn ? 2 log2 1 ? 2n ? 1 ? 1 ,故 bn ? 2n ? 1, b1 ? 1 其中 bn ?1 ? bn ? 2 (常数),所以数列 ?bn ?是以 1 为首项、 2 为公差的等差数列

?

?

b1 ? a1 ? 1 , b64 ? 127, b106 ? 211, b107 ? 213
由(1)可得, a7 ? 127 , a8 ? 255 因为 b64 ? a7 ? 127, a7 ? b107 ? a8 所以 c1 ? c2 ? ? ? c100 ? ?b1 ? b2 ? ? ? b107 ? ? ?a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

?

107 ? ?1 ? 213 ? ? (21 ? 22 ? ? ? 27 ) ? 7 2

?

?

?

107? 214 2 1 ? 27 ? ? 7 ? 1072 ? 28 ? 9 ? 11202 2 1? 2

?

?

7

dn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bn ? bn ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

n 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 Tn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ? 2 ?? 1 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
其中 T1 ?

1 m n , Tm ? , Tn ? 2m ? 1 2n ? 1 3

假设存在正整数 m ( 1 ? m ? n ),使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列 则有 Tm ? T1 ? Tn ,即
2

3 ? 2m 2 ? 4m ? 1 n m2 ? ?0, , 所以 ? n m2 ?2m ? 1?2 3?2n ? 1?

解得 1 ?

6 6 * ,又因为 m ? N , m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 , ? m ?1? 2 2

所以存在满足题设条件的 m 、 n .. 21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 【解】(1)若 m ? 1 ,则 m ? f ( x) ? sin x

f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) ? sin?x ? k ? ? sin?x ? k ? ? 2 sin x cos k
要使得 f ( x) 为“可平衡”函数,需使故 ?1 ? 2 cosk ? ? sin x ? 0 对于任意实数 x 均成 立,只有 cos k ? 是“可平衡”函数 (2) f ( x) ? x 及 g ( x) ? a ? 2 的定义域均为 R
2 x

? 1 ……3 分,此时 k ? 2n? ? , n ? Z ,故 k 存在,所以 f ( x) ? sin x 2 3

根据题意可知,对于任意实数 x , mx2 ? ?x ? k ? ? ?x ? k ? ? 2x2 ? 2k 2
2 2
2 2 即 mx ? 2 x ? 2k ,即 ?m ? 2?x ? 2k ? 0 对于任意实数 x 恒成立
2 2 2

2 只有 m ? 2, k ? 0 ,故函数 f ( x) ? x 的“平衡”数对为 ?2,0?

对于函数 g ( x) ? a ? 2 而言, m ? a ? 2 ? a ? 2
x x

?

?

x?k

? a ? 2x ?k ? 2a ? 2x ? 2k ? 2?k

?

?

所以 m ? a ? 2 ? 2a ? 2 ? 2 ? 2
x x k

?

?

?

?k

?

?m ? 2 k ? 2 ? k , 2x ? m ? 2k ? 2?k ? a ? ?m ? 2? ? 0 , ? ?a ? ?m ? 2 ? ? 0

? ?

??

8

即?

?m ? 2 ,故 m ? 2 ,只有 k ? 0 ,……9 分,所以函数 g ( x) ? a ? 2x 的“平衡”数对为 m ? 2 ?

?2,0?
综上可得函数 f ( x) ? x2 与 g ( x) ? a ? 2x 的“平衡”数对相同 (3) m1 cos2 x ? cos2 ? x ?

? ?

??

?? 2? 2 2 ? ? cos ? x ? ? ,所以 m1 cos x ? 2 sin x 2? 2? ?

?? ?? ? ? m2 c o 2 sx ? c o 2 s? x ? ? ? c o 2 s? x ? ? ,所以 m2 cos2 x ? 1 4? 4? ? ?
由于 0 ? x ?

?
4

,所以

1 ? cos 2 x ? 1 ,故 m1 ? 2 tan2 x ? ?0,2? , m2 ? sec2 x ? ?1,2? 2

1? 4 ? 2 m ? m2 ? 1 ? t a n x ? 4 t a n x ? 5 t a n x ? 2 t a n x ? 1 ? 5? t a n x? ? ? , 5? 5 ?
2 1 2

?

2

?

2

4

?

2

?

2

2

2

由于 0 ? x ?

?
4

,所以 0 ? tan x ? 1 时,
2

1 1 6 ? ? tan 2 x ? 5 5 5

2 2 1 ? 2 tan2 x ? 2 ? 3 ? 8 ,所以 1 ? m1 ? m2 ? 8

?

?

2

9


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