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暑期培优:第三章 三角函数、解三角形(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版


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专题三、三角函数与解三角形
任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.角的概念
? ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (1)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. ?

(2)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β =α+

k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式:①弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度;②弧长公式:l=|α|r; 1 1 ③扇形面积公式:S 扇形= lr 和 |α|r2. 2 2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α=y,cos α=x, y tan α= (x≠0). x (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在 x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0). 如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余弦线和正切线.

1.易混概念:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第一类是象限角, 第二、第三类是区间角. 2.利用 180° =π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用. y 3.三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α=y,cos α=x,tan α= , x y x y 但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α= ,cos α= ,tan α= . r r x
三角专题 1

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[试一试] 1.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 是第______象限角. 2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则 sin α=________.

1.三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦; 2.对于利用三角函数定义解题的题目,如果含有参数,一定要考虑运用分类讨论,而在 求解简单的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,体现了数形结合的思想. [练一练] 若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是第______象限角. 考点一 角的集合表示及象限角的判定

3π 4π 1.给出下列四个命题:①- 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400° 是第四象限 4 3 角;④-315° 是第一象限角.其中正确的命题有______个. 2.终边在直线 y= 3x 上的角的集合为________. 3.在-720° ~0° 范围内找出所有与 45° 终边相同的角为________.
? ? k k ? ? 180° +45° ,k∈Z? ,N=?x?x= · +45° ,k∈Z ?,那么集合 4.设集合 M=?x? ?x=2· ? 4 180° ? ? ? ?

M,N 的关系是______. [类题通法] 1. 利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的终边相同 的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 2.已知角 α 的终边位置,确定形如 kα,π±α 等形式的角终边的方法:先表示角 α 的范 围,再写出 kα,π±α 等形式的角范围,然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边位置. 考点二 三角函数的定义

2π 2π sin ,cos ?,则角 α 的最小正值为 [典例] (1)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为? 3? ? 3 ______. (2)已知 α 是第二象限角, 其终边上一点 P(x, 5), 且 cos α= [类题通法] 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函数的 定义求解; (2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的 距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.
三角专题 2

π? 2 x, 则 sin? ?α+2?=________. 4

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[针对训练] 3 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+ 的值. cos α

考点三

扇形的弧长及面积公式

[典例] (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边 长,则其圆心角的弧度数是________.

[类题通法] 弧度制应用的关注点 1 nπr nπr2 (1)弧度制下 l=|α|· r, S= lr, 此时 α 为弧度. 在角度制下, 弧长 l= , 扇形面积 S= , 2 180 360 此时 n 为角度,它们之间有着必然的联系. (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.

[练通考点] 1.如图所示,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是________. 2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 3.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围 是________. 4.在与 2 010° 终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________. 3 5. (2014· 南京期末)已知角 α 的终边经过点 P (x, -6), 且 tan α=- , 则 x 的值为________. 5
三角专题 3

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π ? 1 6.(2014· 扬州质检)已知 sin α= ,且 α∈? ?2,π?,则 tan α=______. 3 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______. 2.已知 cos θ· tan θ<0,那么角 θ 是第________象限角. π 3.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α=______. 3 4.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 ________. 7π sin cos π 10 5.给出下列各函数值:①sin(-1 000° );②cos(-2 200° );③tan(-10);④ , 17π tan 9 其中符号为负的是________(填写序号). 6.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点,则 B 点坐标为__________. 7.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 4 A,点 A 的纵坐标为 ,则 cos α=________. 5 α? α α 8.设角 α 是第三象限角,且? ?sin2?=-sin2,则角2是第________象 限角. 9.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 2π 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为 3

10.已知 sin α<0,tan α>0. α α α α (1)求 α 角的集合;(2)求 终边所在的象限;(3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 2

第Ⅱ卷:提能增分卷 1 1.满足 cos α≤- 的角 α 的集合为________. 2 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一 点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为 ________.

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同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 2.六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ+ α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α π +α 2 cos_α -sin_α

kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不 2 变”是指“当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”.

1.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. [试一试] 5 1.(2013· 全国大纲卷改编)已知 α 是第二象限角,sin α= ,则 cos α=______. 13 20π - ?=______. 2.计算:cos? ? 3 ?

1.诱导公式的应用原则 负化正,大化小,化到锐角为终了. 2.三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =?. 4

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[练一练] π? 1.(2014· 南京模拟)已知函数 f(x)=2sin(2x+φ).若 f? ?4?= 13π? 3,则 f? ? 4 ?=______.

1 cos θ 2.(2013· 芜湖调研)若 sin θ· cos θ= ,则 tan θ+ 的值是________. 2 sin θ

考点一

三角函数的诱导公式

1.sin 600° +tan 240° 的值等于________. π 3 ? ?5 ? 2.已知 tan? ?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. 3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin? ?α- 2 ? 3.化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?kπ+α? cos?kπ+α? 4.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是______. sin α cos α [类题通法] 诱导公式应用的步骤 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 ↓ 锐角三角函数 ← 0~2π的角的三角函数 提醒:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 考点二 同角三角函数的基本关系

1 [典例] 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 1 (1)求 tan α 的值;(2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α

保持本例条件不变, sin α-4cos α 求:(1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+2sin αcos α 的值.

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[类题通法] sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可以实现 cos α 角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个 式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. [针对训练] 已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α.

考点三

诱导公式在三角形中的应用

[典例] 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ ABC 的三个内角.

[类题通法] 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, A+B A B C π C + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2 2 2 2 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. [针对训练] 在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

[练通考点] π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? 1.(2013· 苏州期中)已知 tan θ=2,则 =______. π ? ? sin?2-θ?-sin?π-θ?

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1 2.(2014· 镇江统考)已知 α 为第四象限角,且 sin(π-α)=- ,则 tan α=________. 3 2 3.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A=________. 3 17π? ? 17π? 4.cos? ?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是________. 7π? 3 5.已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? ?α- 2 ?的值. 5

第Ⅰ卷:夯基保分卷 π? 3 ? π? 1.(2014· 南通调研)若 sin? ?α-3?=5,则 cos?α+6?=________. 2.(2014· 淮安模拟)若 tan α=3,则 sin2 α-2 sin αcos α+3 cos2 α=______. π 3 π ? 3.已知 cos? ?2-φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ=______. π ? 4.已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos? ?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α 的值是______. sin?π-α?cos?2π-α? 31 ? 5.已知 f(α)= ,则 f? ?- 3 π?的值为________. cos?-π-α?tan α π ? 1 6.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈? ?-2,0?,则 tan(2π-α)的值为________. 4 π π ? cos?π-α? sin?π-α?· ? sin? cos? ?2+α?· ?2 ? ?2+α? 7.化简 + =________. cos?π+α? sin?π+α? sin θ+cos θ 3π ? -θ =________. 8.若 =2,则 sin(θ-5π)sin? 2 ? ? sin θ-cos θ 9.求值:sin(-1 200° )· cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )+tan 945° .

3π ? 10.已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值: sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α

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第Ⅱ卷:提能增分卷 1.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=______. 2.(2014· 无锡模拟)如图,A,B 是单位圆上的两个质点,点 B 坐标 为(1,0),∠BOA=60° .质点 A 以 1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位 圆上运动,质点 B 以 1 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动. (1)求经过 1 s 后,∠BOA 的弧度; (2)求质点 A,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间.

3.(2014· 镇江统考)如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点, 单位圆与 y 轴的正 半轴交于点 A,与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB),设∠BAO=β. (1)用 β 表示 α; 4 (2)如果 sin β= ,求点 B(xB,yB)坐标; 5 (3)求 xB-yB 的最小值.

三角函数图像与性质
三角专题 9

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正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中 k∈Z). 函数 图像 {x|x∈R,且 x≠ 定义域 R [-1,1] 2π 奇函数 R [-1,1] 2π 偶函数 π kπ+ ,k∈Z} 2 R π 奇函数 y=sin x y=cos x y=tan x

值域 周期性 奇偶性

?2kπ-π,2kπ+ 2 ?
单调性 π? 2kπ+ 2?为增;[ π 3π ,2kπ+ ?为减 2 2? 对称 中心 对称轴 (kπ,0) π x=kπ+ 2

[2kπ,2kπ+π]为 减;[2kπ-π,2kπ] 为增

?kπ-π,kπ+π? 2 2? ?
为增

?kπ+π,0? 2 ? ?
x=kπ

?kπ,0? ?2 ?


1.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结. 2.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件. [试一试] π ? 1.函数 y=tan? ?4-x?的定义域是________. 2.(2013· 南京三模)函数 y=sin π 3π? x? ?-4≤x≤ 4 ?的值域是________.

1.三角函数单调区间的求法 先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求

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出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单 调增区间的不同: π? ?π ? (1)y=sin? ?2x-4?;(2)y=sin?4-2x?. 2.求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,通过分析 ωx+φ 的范围,结合图像写出函数 的值域; (2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函数来解决. [练一练] 1.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是________. π? ? π? 2.(2013· 天津高考)函数 f(x)=sin? ?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为________.

考点一

三角函数的定义域与值域

π? ? π? 1.函数 f(x)=3sin? ?2x-6?在区间?0,2?上的值域为________. 2.(2014· 湛江调研)函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x- 的定义域为________. 2

3.(1)函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为________. π 7π? (2)当 x∈? 函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________, 最大值是________. ?6, 6 ?时, [类题通法] 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数 图像来求解. 2.三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求; (2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域; (3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域.

考点二

三角函数的单调性

[典例] 求下列函数的单调递减区间:
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π? ?π ? (1)y=2sin? ?x-4?;(2)y=tan?3-2x?.

?x-π??”,如何求解? 若将本例(1)改为“y=2? sin ? ? 4??

[类题通法] 三角函数的单调区间的求法 (1)代换法: 所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角 u(或 t),利用基本三 角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. (2)图像法: 函数的单调性表现在图像上是:从左到右,图像上升趋势的区间为单调递增区间,图像 下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图像,结合图像易求它的单调区间. 提醒:求解三角函数的单调区间时若 x 的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数 自身的定义域. [针对训练] π x- ?,x∈[-π,0]的单调增区间为________. 1.(2013· 盐城二模)函数 f(x)=2sin? ? 4? 2π 2π - , ?上单调递增,则 ω 的最 2.(2013· 苏北四市联考)若函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在? ? 3 3? 大值为______. 考点三 三角函数的对称性与奇偶性

正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对 称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度 有:?1?求三角函数的对称轴或对称中心; ?2?由三角函数的对称性求参数值; ?3?三角函数对称性的应用.

角度一 求三角函数的对称轴或对称中心 1.(2013· 扬州期末)已知函数 f(x)=-2sin2x+2 3sin x· cos x+1. (1)求 f(x)的最小正周期及对称中心;

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π π? (2)当 x∈? ?-6,3?时,求 f(x)的最大值和最小值.

角度二 由三角函数的对称性求参数值 π ? 2.(2014· 连云港期末)若函数 y=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点? ?3,0?中心对称,则 φ =________. π? π ?π ? 3.已知 ω>0,函数 f(x)=cos? ?ωx+3?的一条对称轴为 x=3,一个对称中心为点?12,0?, 则 ω 的最小值为______. 角度三 三角函数对称性的应用 4.(2014· 辽宁五校联考)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 的部分图像如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° ,KL=1, 1? 则 f? ?6?的值为______. [类题通法] 1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. 2.对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定 是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过 检验 f(x0)的值进行判断.

[练通考点] π?? π? 1.(2014· 常州统考)函数 f(x)=sin? ?2x+4??0≤x≤2?的单调增区间是________. π? 2 .已知函数 f(x) = 2sin ? ?ωx-6? (ω>0) 的最小正周期为 π ,则 f(x) 的单调递增区间为 ________. π ? 3.函数 y=cos? ?4-2x?的单调减区间为________. π? 4.函数 y=tan? ?2x+4?的图像与 x 轴交点的坐标是________. 5.(2013· 南京二模)对函数 f(x)=xsin x,现有下列命题: (1)函数 f(x)是偶函数;
三角专题 13

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(2)函数 f(x)的最小正周期是 2π; (3)点(π,0)是函数 f(x)的图像的一个对称中心; π? ? π ? (4)函数 f(x)在区间? ?0,2?上单调递增,在区间?-2,0?上单调递减. 其中是真命题的是________(填序号). 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.函数 y= cos x- 3 的定义域为________. 2

π 2.(2013· 洛阳统考)如果函数 y=3sin(2x+φ)的图像关于直线 x= 对称,则|φ|的最小值为 6 ________. π π? 3.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ________ 1 1? 2 cos2? ?2x-2?-x 4.(2014· 镇江期末)函数 f(x)= 的对称中心坐标为________. x-1 π π 2x+ ?-1,x∈?0, ?的值域为________,并且取最大值时 x 的值为 5.函数 y=2sin? 3? ? ? 3? ________. 6.设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域;(2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值.

2π? 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图像过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ?

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014· 福州质检)已知函数 f(x)=sin x+cos x,x∈R. π? (1)求 f? ?12?的值;
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(2)试写出一个函数 g(x),使得 g(x)f(x)=cos 2x,并求 g(x)的单调区间.

π π 2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 2.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? 6? ? ? 2? (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间.

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1.y=Asin(ωx+φ)的有关念 y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)表示 一个振动量时 2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x ωx+φ y=Asin(ωx+ φ) - φ ω φ π - + ω 2ω π 2 A π-φ ω π 0 3π φ - 2ω ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0 A 2π T= ω 1 ω f= = T 2π ωx+φ φ 振幅 周期 频率 相位 初相

0 0

1.函数图像变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图像,得到哪个函数的图像; 2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数; φ? 3.由 y=Asin ωx 的图像得到 y=Asin(ωx+φ)的图像时,需平移的单位数应为? ?ω?,而不是|φ|. [试一试] π 2x- ?的振幅、频率和初相分别为__________. 1.y=2sin? 4? ?
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1 2. 把 y=sin x 的图像上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y=sin ωx 的图像, 则 ω 的值为___. 2

1.由函数 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种方法

2.学会列表技巧 T 表中“五点”相邻两点的横向距离均为 ,利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标. 4 [练一练] π? 1. 用五点法作函数 y=sin? 主要确定的五个点是________、 ?x-6?在一个周期内的图像时, ________、________、________、________. 2 .要得到函数 y = cos(2x + 1) 的图像,只要将函数 y = cos 2x 的图像至少向左平移 __________个单位.

考点一

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

π π 1.(2013· 四川高考改编)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,- <φ< 的部分 2 2 图像如图所示,则 ω+φ 的值是________. 2.(2013· 苏北四市三调)若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图 像如图所示,则 ω 的值为________.

[类题通法] 确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则可得 ω= ; T
三角专题 16

M-m M+m ,b= ; 2 2

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(3)求 φ,常用的方法有: ①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知)或代入图像与直线 y=b 的交 点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下: “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”) π 时 ωx+φ= ;“第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图像的 2 3π “谷点”)时 ωx+φ= ;“第五点”时 ωx+φ=2π. 2 考点二 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像

1 π? [典例] 已知函数 f(x)=3sin? ?2x-4?,x∈R. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像?

本例第(2)问变为:由函数 y=sin x 的图像作怎 π? 样的变换可得到 y=2sin? ?2x+3?的图像?

[类题通法] 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种作法 (1)五点法: 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图, 主要是通过变量代换, 设 z=ωx+φ, π 3 由 z 取 0, ,π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像. 2 2 (2)图像变换法:由函数 y=sin x 的图像通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图像,有两种主 要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 提醒:五点作图取值要准确,一般取一个周期之内的;函数图像变换要注意顺序,平移 时两种平移的长度不同. [针对训练] π 1.(2013· 新课标卷Ⅱ)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移 个单位后,与函数 2 π? y=sin? ?2x+3?的图像重合,则 φ=________.

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π? 2. (2013· 苏州暑假调查)已知函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,0<φ≤2?的部分图像如图所示,则 φ 的值为________. 考点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质的综合应用

π? [典例]如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,0<φ<2?的部分图像,M,N 是它与 x 轴的两 π2 个交点,D,C 分别为它的最高点和最低点,点 F(0,1)是线段 MD 的中点, MD ? MN = . 18 (1)求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)的单调递增区间.

[类题通法] 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 π (1)奇偶性: φ=kπ 时, 函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数; φ=kπ+ (k∈Z)时, 函数 y=Asin(ωx 2 +φ)为偶函数. 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小周期为 T= . ω π π (3)单调性:根据 y=sin t 和 t=ωx+φ 的单调性来研究,由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k 2 2 π 3π ∈Z 得单调增区间;由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z 得单调减区间. 2 2 (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求得 π π x.利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)得其对称轴. 2 2 [针对训练] π? 1 (2013· 南通期中)已知函数 f(x)=cos2? ?x+12?,g(x)=1+2sin 2x. (1)设 x=x0 是函数 y=f(x)图像的一条对称轴,求 g(2x0)的值; π? (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x),x∈? ?0,4?的值域.

[练通考点] π? 1. (2014· 镇江期末)已知 ω>0, 函数 y=3sin? 则 ω=________. ?ωπx+4?的周期比振幅小 1,
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2.(2011· 江苏高考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图 所示,则 f(0)的值是________. 3.(2013· 常州期末)函数 f(x)=cos π?x-1? πx cos 的最小正周期为________. 2 2

4.函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[- π,0]上的图像如图所示,则 ω=________. π? 5.设函数 f(x)=sin x+sin? ?x+3?. (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到.

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.函数 y=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数, A>0, ω>0)在闭区间[-π,0]上的图像如图所示, 则 ω=____________. π 2.将函数 y=2sin x 的图像上每一点向右平移 1 个单位长度,再将所得图像上每一点 3 π 的横坐标扩大为原来的 倍 ( 纵坐标保持不变 ) ,得函数 y = f(x) 的图像,则 f(x) 的解析式为 3 ____________. 3.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的部分 图像如图所示,则 f(2 013)=________. π π π 4.(2014· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=sinωx+ (ω>0),若 f =f , 3 6 2 π π 且 f(x)在区间 , 上有最大值,无最小值,则 ω=________. 6 2 5.(2013· 镇江 12 月统考)在矩形 ABCD 中,AB⊥x 轴,且矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函 数 y=asin ax(a∈R,a≠0)的一个完整周期图像,则当 a 变化时,矩形 ABCD 周长的最小值为 ________. 6 .某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + π ? Acos? ?6?x-6??(x=1,2,3,?,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份 的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. π? 7.已知函数 f(x)= 2sin? ?2x-4?+1.

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π π? (1)求它的振幅、最小正周期、初相;(2)画出函数 y=f(x)在? ?-2,2?上的图像.

x π? ?x π? 8.已知函数 f(x)=2 3sin? ?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). π (1)求 f(x)的最小正周期;(2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 π 1.(2013· 盐城三调)将函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图像向左平移 个单位长度后,所得 6 的函数恰好是偶函数,则 φ 的值为________. 2.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙 的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成本, 减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来 客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物?

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β;
三角专题 20

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cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β; tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α tan 2α= . 1-tan2α

1.在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错. 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= [试一试] 1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为____________. 2.(2013· 徐州摸底)已知 cos? π-α? 2 ? 2 ?=3,则 cos α=________. 2 所对应的角 α+β 不是唯一的. 2

1.公式的常用变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π? sin α± cos α= 2sin? 4?. ?α± 2.角的变换技巧 2α=(α+β)+(α-β); α+β α-β α=(α+β)-β;β= - ; 2 2 α-β ? β ?α ? =?α+2? ?-?2+β?. 2 3.三角公式关系

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[练一练] π 3 π 2 α- ?= ,tan? +β?= ,则 tan(α+β)的值为________. 1.已知 tan? 6 6 ? ? 7 ? ? 5 π 2 α+ ?=________. 2.已知 sin 2α= ,则 cos2? ? 4? 3

考点一

三角函数公式的基本应用 cos 2α π? 2sin? ?α+4? =________.

π ? 3 1.已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5

2.(2013· 苏北四市一调)已知 α 为锐角,cos α= 1 π? 3.已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R.

π ? 5 +α =________. ,则 tan? 4 ? ? 5

5π? ?0,π?,f?3α+π?=10,f(3β+2π)=6,求 cos(α+β)的值. (1)求 f? 的值; (2) 设 α , β ∈ 2? 13 ?4? ? 2? ? 5

[类题通法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统 一角和角与角转换的目的. 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用

[典例] (1)在△ABC 中,若 tan A· tan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值是________. sin 110° sin 20° (2) 2 的值为________. cos 155° -sin2155°

[类题通法]
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运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. [针对训练] 1 1.(2013· 苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知 cos(75° +α)= ,则 cos(30° -2α) 3 的值为________. 3π 2.若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 考点三 角的变换

3 1 [典例] (2014· 常州一模)已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,tan(α-β)=- . 5 3 (1)求 sin(α-β)的值;(2)求 cos β 的值.

在本例条件下, 求 sin(α-2β)的值.

[类题通法] 1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”; 3.注意角变换技巧. [针对训练] π 10 ?0,π?,则 sin?2θ-π?的值为________. θ+ ?= 1.(2014· 盐城摸底)已知 cos? , θ ∈ 4 4? ? ? 10 ? 2? ? π 4 π α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为________. 2.(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos? 12? ? 6? 5 ?

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[练通考点] π? tan x 1.(2011· 江苏高考)已知 tan? ?x+4?=2,则tan 2x的值为________. π? 3 ? π? 2.已知 cos? ?x-6?=- 3 ,则 cos x+cos?x-3?的值是________. α 2sin2 -1 2 π? 3.若 f(α)=2tan α- ,则 f? ?12?=________. α α sin cos 2 2 1 1 4.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan αtan β 的值为________. 6 3 π ? α α 6 5.已知 α∈? ?2,π?,且 sin2+cos2= 2 . π ? 3 (1)求 cos α 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈? ?2,π?,求 cos β 的值. 5

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.化简 cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° 的值为________. π? π? 2.(2014· 常州期末)函数 f(x)=cos? cos? ?x+2?· ?x+6?的最小正周期为________. π ? π? ?π 3.(2013· 洛阳统考)函数 f(x)=2sin2? ?4+x?- 3cos 2x?4≤x≤2?的最大值为________. π 4.(2014· 苏州调研)已知 <α<π,3sin 2α=2cos α,则 cos(α-π)=________. 2 1-cos 2α 1 5.(2013· 南通二模)已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan (β-2α)=________. sin αcos α 3 4 6.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 π? π? 2? 2 7.化简 sin2? ?α-6?+sin ?α+6?-sin α 的结果是________. 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简: · =________. 2 1-tan ?45° -α? cos2α-sin2α π? π? 1 ? 9.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值.

π x? x + . 10.已知函数 f(x)=sin sin? 2 ?2 2?
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(1)求函数 f(x)在[-π,0]上的单调区间. π? ?π ? (2)已知角 α 满足 α∈? ?0,2?,2f(2α)+4f?2-2α?=1,求 f(α)的值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2013· 镇江期末)计算:sin 10° cos 20° sin 30° cos 40° =________. 1 1 2.(2013· 苏州期末)已知 tan α= ,tan β= ,且 α,β∈(0,π),则 α+2β=________. 7 3 简单的三角恒等变换

考点一

三角函数式的化简

sin 2α-2cos2α 1.化简: =________. π α- ? sin? ? 4? 1 2cos4x-2cos2x+ 2 2.化简: . π ? 2?π ? ? 2tan?4-x?sin ?4+x?

[类题通法] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”, 这是最重要的一环, 通过看角之间的差别与联系, 把角进行合理的拆分, 从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化 弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要 通分”等.

考点二

三角函数式的求值

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研究三角函数式的求值,解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系,依据 函数名称的变换特点,选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有: ?1?给值求值; ?2?给角求值; ?3?给值求角. 角度一 给值求值 π x- ?,x∈R. 1.(2013· 广东高考)已知函数 f(x)= 2cos? ? 12? π? 3 ?3π,2π?,求 f?θ-π?. (1)求 f? 的值; (2) 若 cos θ = , θ ∈ ?3? ?2 ? ? 6? 5

角度二 给角求值 2.(1)4cos 50° -tan 40° =________. (2)sin 50° (1+ 3tan 10° )=________.

角度三 给值求角 3 4 3.已知 α,β 为锐角,sin α= ,cos(α+β)=- ,求 2α+β. 5 5

1 1 4.已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7

[类题通法] 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察
三角专题 26

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非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角 并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角. 考点三 三角恒等变换的综合应用

π? π? 2? [典例] (2013· 苏北四市三调)已知函数 f(x)=sin2? cos x,x∈R. ?x-6?+cos ?x-3?+sin x· (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的值; (2)求 f(x)在[0,π]上的单调区间.

[类题通法] 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思 想解决相关问题. [针对训练] π? 3 2 3 2 设函数 f(x)=sin? ?2x+3?+ 3 sin x- 3 cos x. (1)求 f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程; π π π - , ? (2)将函数 f(x)的图像向右平移 个单位长度, 得到函数 g(x)的图像, 求 g(x)在区间? 6 3? ? 3 上的值域.

[练通考点]

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sin?180° +2α? cos2α 1.化简: · =________. 1+cos 2α cos?90° +α? π ? ?π ? 2.若 α∈? ?2,π?,且 3cos 2α=sin?4-α?,则 sin 2α 的值为________. 3.若锐角 α,β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β=________. π? 1- 2sin? ?2x-4? 4.已知函数 f(x)= . cos x (1)求函数 f(x)的定义域; 4 (2)设 α 是第四象限的角,且 tan α=- ,求 f(α)的值. 3

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1+cos 2α+8sin2α 1.已知 tan α=4,则 的值为________. sin 2α π ? cos 2α tan? ?4+α?· 2.计算 的值为________. 2?π ? 2cos ?4-α? π? 5 ? π? 3.(2013· 盐城二模)已知 cos? ?θ+6?=13,θ∈?0,2?,则 cos θ=________. 4.定义运算? ________. π? 3 3 5.(2014· 泰州期末)已知 sin α= ,cos β= ,其中 α,β∈? ?0,2?, 则 α+β=________. 5 5 5 α 1 6.(2013· 苏中三市、宿迁调研(一))设 α,β∈(0,π),且 sin(α+β)= ,tan = ,则 cos 13 2 2 β 的值为________.

?a b?=ad-bc.若 cos α=1,?sin α sin β ?=3 3,0<β<α<π,则 β 等于 ? ? 7 ? 2 ?c d ? ?cos α cos β? 14

7π? ? 3π? 7.已知函数 f(x)=sin? ?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2-2=0. 5 5 2
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π α 1 2 8.已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值;(2)求 β 的值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 π? 1 π 4 1.已知,0<α< <β<π,cos? ?β-4?=3,sin(α+β)=5. 2 π? (1)求 sin 2β 的值;(2)求 cos? ?α+4?的值.

π ? 2 .已知函数 f(x) = 3cos(ωx + φ) ? ?ω>0,-2<φ<0? 的最小正周期为 π ,且其图像经过点

?5π,0?. ?12 ?
(1)求函数 f(x)的解析式;

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x π? 3 2 ? π? (2)若函数 g(x)=f? ?2+6?,α,β∈?0,2?,且 g(α)=1,g(β)= 4 ,求 g(α-β)的值.

3.(2014· 无锡模拟)设函数 f(x)=2mcos2x-2 值域为[1,4]. (1)求 m,n 的值;(2)若 f(x)=2,求 x 的值.

π? 3msin x· cos x+n(m>0)的定义域为? ?0,2?,

解三角形及其应用

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1.正弦定理 a b c = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形: sin A sin B sin C (1)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以变 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 形:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab 3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

1.由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判 断. 2. 在判断三角形形状时, 等式两边一般不要约去公因式, 应移项提取公因式, 以免漏解. [试一试] 1.如图, 在△ABC 中, D 是边 AC 上的点, 且 AB=AD,2AB= 3BD, BC=2BD,则 sin C 的值为________.

2.(2013· 扬州三模)如果满足∠ABC=60° ,AB=8,AC=k 的△ABC 有两个,那么实数 k 的取值范围是________.

1.把握三角形中的边角关系 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 2.选用正弦定理或余弦定理的原则 如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角 的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有 可能用到. [练一练]
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1 1.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为________. 3 2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角 C=________.

考点一

利用正弦、余弦定理解三角形

[典例] (2013· 徐州摸底)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acos C -bcos C=ccos B-ccos A,且 C=120° . (1)求角 A;(2)若 a=2,求 c.

[类题通法] 1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余 弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷. 2.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三 角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. [针对训练] (2013· 南京、盐城一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π? (1)若 cos? ?A+6? =sin A,求 A 的值; 1 (2)若 cos A= ,4b=c,求 sin B 的值. 4

考点二

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

[典例] 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+ (2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.
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在本例条件下, 若 sin B· sin C=sin2A, 试判断△ABC 的形状.

[类题通法] 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行 判断. (2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进 行判断. 提醒:在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变 形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. [针对训练] 1 (2014· 镇江期末)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 bcos C+ c=a. 2 (1)求角 B;(2)若 a,b,c 成等比数列,判断△ABC 的形状.

考点三

与三角形面积有关的问题

[典例] (2013· 苏州暑假调查)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 B= 11 60° 且 cos(B+C)=- . 14 (1)求 cos C 的值;(2)若 a=5,求△ABC 的面积.

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[类题通法] 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 2 2 2 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [针对训练] (2013· 南通一调)在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 bcos B 是 acos C, ccos A 的等差中项. (1)求 B 的大小;(2)若 a+c= 10,b=2,求△ABC 的面积.

[练通考点] 1.在△ABC 中,a=1,c=2,B=60° ,则 b=________. 2.(2014· 无锡调研)在△ABC 中,A=45° ,C=105° ,BC= 2,则 AC 的长度为________. 3.(2014· 镇江质检)在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则 cos C=________. 4.(2013· 山东高考改编)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B=2A,a =1,b= 3,则 c=________. sin A+sin B 5. (2013· 南通一调)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, tan C= . cos A+cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a2+b2 的取值范围.

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第Ⅰ卷:夯基保分卷 tan A 2c 1.(2013· 南京一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 1+ = , tan B b 则角 A 的大小为________. 2.(2013· 南京、盐城三模)如图,在△ABC 中,B=45° ,D 是边 BC 上一 点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为________. π 3.(2013· 苏北四市质检)在△ABC 中,已知 BC=1,B= ,△ABC 的面积 3 为 3,则 AC 的长为________. BC 4.(2014· 南京、盐城一模)在△ABC 中,若 9cos 2A-4cos 2B=5,则 的值为________. AC AC BC AB2 5. (2014· 常州期末)已知在△ABC 中, 边 AB 上的高与边 AB 的长相等, 则 + + BC AC BC· AC 的最大值为________. b2-a2-c2 sin C 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 = 2 2 . 2sin A-sin C c -a -b2 (1)求角 B 的大小; (2)设 T=sin2A+sin2B+sin2C,求 T 的取值范围.

7.(2013· 徐州、宿迁三检)已知△ABC 的面积为 S,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

AB · AC =2S.
(1)求 cos A 的值; (2)若 a,b,c 成等差数列,求 sin C 的值.

3

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8.(2014· 扬州期末)已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列. (1)若 b=7,a+c=13,求此三角形的面积; π? (2)求 3sin A+sin? ?C-6?的取值范围.

第Ⅱ卷:提能增分卷 3 1.(2014· 江西七校联考)已知在△ABC 中,C=2A,cos A= ,且 2 BA · CB =-27. 4 (1)求 cos B 的值;(2)求 AC 的长度.

2. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c , 且 a2-(b-c)2=(2- 3)bc, sin Asin C B=cos2 ,BC 边上的中线 AM 的长为 7. 2 (1)求角 A 和角 B 的大小; (2)求△ABC 的面积.

3.(2013· 南通二模)已知函数 f(x)=2cos

x x x 3cos -sin . 2 2 2

π π? (1)设 θ∈? ?-2,2?,且 f(θ)= 3+1,求 θ 的值; (2)在△ABC 中,AB=1,若 f(C)= 3+1,且△ABC 的面积为 3 ,求 sin A+sin B 的值. 2

三角函数的实际应用
三角专题 36

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1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角, 目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图(a)).

2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的 方位角为 α(如图(b)). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)××度.

易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角,而 方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. [试一试] (2013· 南京一模)如图,海岸线上有相距 5 n mile 的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔 A 的北偏西 75° 方 向,与 A 相距 3 2 n mile 的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 n mile 的 C 处,则两艘船之间的距离为________n mile.

把握解三角形应用题的四步 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型; (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形问题还原为实际问题, 注意实际问题中的有关单位问题、 近似计算的要求等. [练一练] 如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° ,则 A,B 两点的距离 为________m.
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考点一

测量距离问题 研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三

角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.归纳 起来常见的命题角度有: ?1?两点都不可到达; ?2?两点不相通的距离; ?3?两点间可视但有一点不可到达. 角度一 两点都不可到达 1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB 的距离,其方法测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时 在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ. 在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计 算出 AB. 若测得 CD= 间的距离. 3 km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD=60° ,∠ACB=45° ,求 A,B 两点 2

角度二 两点不相通的距离 2.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定 适当的位置 C,用经纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可 求出 A,B 两点间的距离.即 AB= a2+b2-2abcos α. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试计算 AB 的长.

角度三 两点间可视但有一点不可到达 3.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,

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可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦 定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点间的距离为________.

[类题通法] 求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有 未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 考点二 测量高度问题

[典例] 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象 观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C 三地位于同一水平面上,在 C 处 进行该仪器的垂直弹射,观测点 A,B 两地相距 100 米,∠BAC=60° , 2 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒. 在 A 地测得该仪器至最高 17 点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音在空气中的传播速度为 340 米/秒)

[类题通法] 求解高度问题的注意事项 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与 水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的 运用. [针对训练] (2010· 江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).示 意图如图所示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ ADE=β.

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(1)该小组已测得一组 α,β 的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α -β 最大?

考点三

测量角度问题

[典例] 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在 北偏东 45° 方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每 小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若红方侦察艇以每小 时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° +α 方向拦截蓝方的小艇.若要 在最短的时间内拦截住, 求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

[类题通法] 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一 步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用. [针对训练] 如图所示,处于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西 30° ,相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值.

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[练通考点] 1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方 向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察 灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那 么 B,C 两点间的距离是________海里. 2.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两 条船相距________m. 3.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方 向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行 到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小 时航行多少海里?

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2014· 苏州调研)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一 水平面内的两个测点 C 与 D, 测得∠BCD=30° , ∠BDC=120° , CD=10 m, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ,则塔高 AB=________ m. 2.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为________.

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3.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则 从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________.

4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达 点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是________m. 5.(2014· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其 中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为________. 6.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米 到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________.

7.(2013· 福建高考)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥ 2 2 AC,sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 8.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地 面成 75° 角,树干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是 ________ m. 9.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A 处( 3-1)海里 的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船.同时,走 私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追 上走私船?最少要花多少时间?

10.(2013· 江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有 两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速 步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从
三角专题 42

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B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1 260 m, 经测量, 12 3 cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之 后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10∶00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它 的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.

2.(2013· 湖北八市联考)如图所示,已知树顶 A 离地面

21 11 米,树上另一点 B 离地面 米, 2 2

3 某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树________米时,看 A, B 的视角最大. 2

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3.(2013· 盐城二模)如图, 在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛, 某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两个报名点,满足 A,B, C 中任意两点间的距离为 10 km.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两 处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘游轮前 往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 2 元, 游轮每千米耗费 12 元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2)问:中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

4.(2013· 苏北四市二模)一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是 半径为 1 m 的四分之一圆弧,AB,DC 分别与圆弧 BC 相切于 B,C 两点,EF∥AB,GH∥ CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1 m. (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M,N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁圆 弧相切于点 P.设∠CMN=θ rad,试用 θ 表示木棒 MN 的长度 f(θ); (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.

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“三角函数、解三角形”类题目的审题技巧与解题规范

[技法概述] 数学问题中的条件和结论,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题 的数式结构中,往往都隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构进行深 入分析,加工转化,可以寻找到突破问题的方案. [适用题型] 高考中有以下几类解答题常用到此种审题方法 1.三角形一些量的求解及三角形形状的判定; 2.函数与导数中的不等式问题常利用变换数式问题形式; 3.数列中的求值或一些性质应用.

[典例] (2013· 新课标全国卷Ⅱ)(本题满分 12 分)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

[解题流程] 解:?1?由已知及正弦定理得 ? 根据正弦定理把??sin A=sin Bcos C+sin Csin B. ?又A=π-?B+C?, 边化为角 第一步 [失分警示] ① ?2分? 易忽略说明 B,C 的范围,导致扣分.

第二步 三角恒等变换

?故sin A=sin?B+C?=sin Bcos C+cos Bsin C. ② ?4分? ?? ?由①②和C∈?0,π?得sin B=cos B.

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第三步 求角

π ?? ?又B∈?0,π?,所以B=4

?6分?

第四步 利用余弦定理列等式

2 acsin B= ac ?7分? ??2?△ABC的面积S=1 2 4 ?? π ?由已知及余弦定理得4=a +c -2accos4.
2 2

利用基本不等 式求出 a,c 的范 围,而不说明取等 号的条件.

第五步 均值不等式求最值

?又a2+c2≥2ac,故ac≤ 4 , 2- 2 ?? ? ?当且仅当a=c时,等号成立 ?11分?
?[ ?12分?

第六步 写出结论 因此△ABC面积的最大值为 2+

三角函数、三角形 1.(2014· 西安一模)已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 3,f(C)=0,sin B=2sin A, 求 a,b 的值. 3 1 sin 2x-cos2x- ,x∈R. 2 2

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π? 2.(2014· 石家庄模拟)已知 f(x)=4cos xcos? ?x-3?-2. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π? (2)求函数 f(x)在区间? ?-6,4?上的最大值和最小值.

3.(2014· 辽宁模拟)已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,向量 m=(sin A-sin B,sin C), 向量 n=( 2sin A-sin C,sin A+sin B),且 m∥n. (1)求角 B; 3 (2)若 sin A= ,求 cos C 的值. 5

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