当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5(人教B版)第一章解三角形1.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理

一、学习任务 1. 理解正弦定理,能用正弦定理解三角形. 2. 理解余弦定理,能用余弦定理解三角形. 二、知识清单
正弦定理 判断三角形形状 三角形的面积 余弦定理

三、知识讲解
1.正弦定理 描述: 正弦

定理(law of sines) 在一个三角形中,各边的长和它所对角正弦的比相等,即

一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 例题: (1)在 △ABC 中,已知 A = 45? ,B = 30? ,c = 10 ,求 b . (2)在 △ABC 中,已知 A = 45? ,a = 2,b = √2 ,求 B . 解:(1)因为 A + B + C = 180 ? ,所以 C = 105 ? . 因为 又

a b c = = = 2R (R 为三角形外接圆半径). sin B sin A sin C

b c c sin B 10 sin 30? ,所以 b = . = = sin B sin C sin C sin 105 ?

sin 105 ? = sin(60? + 45? ) = sin 60? ? cos 45? + cos 60? ? sin 45? √6 + √2 = . 4
所以b = 5(√6 ? √2 ). (2)因为

a b b sin A 1 √2 sin 45? ,所以sin B = = = = .因为 a > b,所以 sin B a 2 2 sin A A > B,所以 B 为锐角,所以 B = 30? .
下列关于 △ABC 的说法正确的是( ) A.若 a = 7,b = 14 ,A = 30? ,则 B 有两解 B.若 a = 30 ,b = 25 ,A = 150 ? ,则 B 只有一解

A=

?

C.若 a = 6,b = 9 ,A = 45? ,则 B 有两解 D.若 b = 9 ,c = 10 ,B = 60? ,则 C 无解 解:B. A 项中,由正弦定理,得 sin B = 错误; B 项中,由正弦定理,得 sin B = 项正确;

b sin A = a b sin A = a

14 × 7 25 × 30 9×

1 2 = 1,所以 B = 90? ,即只有一解,A 项 1 2 < 1,又 A 为钝角,故 B 只有一解,B

b sin A C 项中,由正弦定理,得 sin B = = a
误;

√2 2 > 1,所以 B 不存在,即无解,C 项错 6

√3 10 × c sin B 2 < 1 ,因为 b < c ,B = 60? , D 项中,由正弦定理,得 sin C = = b 9 0 ? < C < 180 ? ,所以 C 有两解,D 项错误.
在 △ABC 中,b = 2 ,B = (1)sin A + sin C; (2)sin A ? sin C ; (3)a + c; (4)a ? c . 解:(1)

π ,求下列式子的最值 . 3

sin A + sin C = sin A + sin(A + B) π = sin A + sin(A + ) 3 3 √3 = sin A + cos A 2 2 π = √3 sin(A + ), 6 2 π π 5 1 π π ,所以 < A + < π ,所以 < sin(A + ) ? 1. 3 6 6 6 2 6 π π π 当 A+ 时,sin A + sin C 取得最大值 √3 ,无最小值. = ,即 A = 6 2 3
又因为 0 < A < (2)

sin A ? sin C = sin A ? sin(A + B) π = sin A ? sin(A + ) 3 1 √3 = sin 2 A + sin A cos A 2 2 1 1 ? cos 2A √3 = × + sin 2A 2 2 4 1 1 √3 = sin 2A ? cos 2A + 4 4 4 1 π 1 = sin(2A ? ) + , 2 6 4
因为 0 < A <

2 π π 7 1 π π ,所以 ? < 2A ? < π,所以 ? < sin(2A ? ) ? 1 . 3 6 6 6 2 6 3

3 6 6 6 2 6 π π π 3 当 2A ? 时,sin A ? sin C 取得最大值 ,无最小值. = ,即 A = 6 2 3 4 b 4√3 (3)因为 ,所以 = 2R = sin B 3 a + c = 2R ? sin A + 2R ? sin C = 2R ? (sin A + sin C ),
即当 sin A + sin C 取最值时,a + c 取得最值,

4√3 × √3 = 4,无最小值. 3 b 4√3 (4)因为 ,所以 = 2R = sin B 3
所以(a + c)max =

a ? c = (2R ? sin A) ? (2R ? sin C ) = (2R)2 ? sin A ? sin C
所以当 sin A ? sin C 取得最值时,a ? c 取得最值,所以 (a ? c)max = ( 小值.

4√3 2 3 ) × = 4 ,无最 3 4

2.三角形的面积 描述:

1 1 1 aha = bhb = chc (ha 、hb 、hc 分别表示 a 、b 、c 上的高) 2 2 2 1 1 1 S △ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 a+b+c ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (海伦公式) ? S △ABC = √p(p ? a)(p ? b)(p ? c),其中 p = 2 S △ABC =

例题: 在 △ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 ∠B = 30? ,c = 2√3 ,b = 2 ,求 △ABC 的面积 S . 解:由正弦定理得

sin C =
又因为

c sin B √3 = , b 2

c > b,
所以

∠C = 60? 或∠C = 120 ? .
当 ∠C = 60? 时,∠A = 90? ,所以

S=
当 ∠C = 120 ? 时,∠A = 30? ,所以

1 bc sin A = 2√3 ; 2 1 bc sin A = √3 . 2

S=
所以 △ABC 的面积为 2√3 或 √3 .

在 △ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 tan A = 3,cos C = (1)求角 B 的大小; (2)若 c = 4 ,求 △ABC 的面积. 解:(1)因为 cos C = 导公式可得

√5 . 5

2√5 √5 ,所以 sin C = ,tan C = 2 .因为 A + B + C = π ,由诱 5 5 tan B = ? tan(A + C ),

所以

tan B = ? tan(A + C ) = ?
且 B < π ,所以 B = (2)由正弦定理得

tan A + tan C 3+2 =? = 1, 1?3×2 1 ? tan A tan C

π . 4 b c = , sin B sin C



b=
由 tan A = 3 得,sin A =

? 3√? 10 ,所以 △ABC 的面积 10 S △ABC =

c sin B ?. = √? 10 sin C

1 bc sin A = 6. 2

3.余弦定理 描述: 余弦定理(law of cosines)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹 角的余弦值的积的两倍,即

c 2 = a2 + b 2 ? 2ab cos C b 2 = a2 + c 2 ? 2ac cos B a2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
从以上公式中解出 cos A,cos B ,cos C ,则可以得到余弦定理的另一种形式:

b 2 + c 2 ? a2 2bc c 2 + a2 ? b 2 cos B = 2ca a2 + b 2 ? c 2 cos C = 2ab cos A =
例题: (1)在 △ABC 中,已知a = 2,c = 2√3 ,∠B = π ,求 b . (2)在△ABC 中,已知AB = 5,AC = 3,BC = 7,求∠BAC的大小.

6

解:(1)由余弦定理得

b 2 = a2 + c 2 ? 2ac cos B = 2 2 + (2√3 )2 ? 2 × 2 × 2√3 cos
所以 b = 2 . (2)由余弦定理得

π = 4, 6

∠BAC =

A C 2 + A B 2 ? BC 2 1 32 + 52 ? 72 = =? , 2 × 3 × 5 2 2 ? AC ? AB 2π . 3 1 ,若 a = 4, 4

因为0 < ∠BAC < π,所以∠BAC =

在 △ABC 中,设角 A ,B ,C 的对边分别为 A ,B ,C ,且 cos A =

b + c = 6 且 b < c ,求 b ,c 的值.
解:由余弦定理,得

a2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A,


a2 = (b + c)2 ? 2bc ? 2bc cos A,
所以 16 = 36 ?

5 bc,所以 bc = 8 ,由 2

? b + c = 6, ? bc = 8, ? b < c,

得{ b = 2,

c = 4.

4.判断三角形形状 描述: 利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理进行边角互化,从而找到三角形元素之间的关系,进而 判断三角形形状. 例题: 设 △ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若 b cos C + c cos B = a sin A,则 ) △ABC 的形状为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解:A 由正弦定理可得 sin B cos C + sin C cos B = sin A sin A,所以 sin(B + C ) = sin 2 A,即 sin A = sin 2 A .又 sin A ≠ 0,所以 sin A = 1,所以 A = 90? . 在 △ABC 中,a2 ? tan B = b 2 ? tan A,判断三角形 ABC 的形状. 解:由正弦定理得

a = 2R sin A, b = 2R sin B,
由题意可得

(2R sin A)2


sin B sin A = (2R sin B)2 ? , cos B cos A

sin A cos A = sin B cos B,
所以 sin 2A = sin 2B,所以

2A = 2B或2A + 2B = π.
所以

A = B 或A + B =
所以 △ABC 是等腰三角形或直角三角形.

π . 2

在 △ABC 中,(a + b + c)(a + b ? c) = 3ab 且 2 cos A sin B = sin C,试判断此三角形的形 状. 解:(方法一)(利用边的关系判断)由正弦定理,得

sin C c = , sin B b
因为 2 cos A sin B = sin C,所以

cos A =
由余弦定理得

sin C c = . 2 sin B 2b

cos A =
所以

b 2 + c 2 ? a2 , 2bc

c b 2 + c 2 ? a2 = , 2bc 2b
所以

a = b.
因为(a + b + c)(a + b ? c) = 3ab,所以

(a + b)2 ? c 2 = 3ab,
又因为 a = b,所以 4b 2 ? c 2 = 3b 2 ,所以 b 2 = c 2 ,所以

b = c,
所以△ABC 为等边三角形. (方法二)(利用角的关系判断)因为 A + B + C = π ,所以

sin C = sin(A + B).

因为 2 cos A sin B = sin C,所以

2 cos A sin B = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B,
所以

sin A cos B ? cos A sin B = 0,
即 sin(A ? B) = 0,又因为 0 ? < A < 180 ? ,0 ? < B < 180 ? ,所以 ?180 ? < A ? B < 180 ? ,所以

A ? B = 0? ,
所以 A = B,又因为 (a + b + c)(a + b ? c) = 3ab,所以

(a + b)2 ? c 2 = 3ab
所以 a2 + b 2 ? c 2 = ab.因为 c 2 = a2 + b 2 ? 2ab cos C ,所以

cos C =

1 a2 + b 2 ? c 2 = , 2ab 2

因为 0 ? < C < 180 ? ,所以 C = 60? ,又 A = B,所以 △ABC 为等边三角形.

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 在三角形 ABC 中,AB = 5,AC = 3,BC = 7,则 ∠BAC 的大小为 ( A.

2π 3

B.

5π 6

C.

3π 4

)
D.

π 3

答案: A 解析:

由余弦定理 cos ∠BAC =

∠BAC =

2 π. 3

1 32 + 52 ? 72 = ? ,因为 0 < ∠BAC < π,所以 2×3×5 2

2. 已知锐角 △ABC 的面积为 3√3 , BC = 4 , CA = 3 ,则角 C 的大小为 ( A.75?
答案: B

)

B.60?

C.45?

D.30?

3. 在 △ABC 中,若 (a ? c cos B) sin B = (b ? c cos A) sin A,则这个三角形是 ( A.等腰三角形 C.等边三角形
答案: D 解析: 利用正弦定理化简有

)

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

直角三角形.

sin 2B = sin 2A,则 A = B 或者 2A + 2B = 180 ? 所以三角形为等腰或 )

4. 如果满足 ∠ABC = 60? , AC = 12 , BC = k 的三角形恰有一个,那么 k 的取值范围是 (

A.8√3

C.k ? 12
答案: D 解析:

B.0 < k ? 12

D.0 < k ? 12 或 k = 8√3

我们可求得∠A的范围是(0, 有一个.

2 π π 或 x = 时,三角形恰 π),从图中可以看出,当 0 < ∠A < 3 3 2

高考不提分,赔付1万元,关注快乐学kuailexue.com了解详情。


相关文章:
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结练习_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 5 一、知识点总结 第一章 解三角形复习 【正弦定理】 1.正弦定理...
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 1、正弦定理: 在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ...
人教版高中数学必修5第一章解三角形练习题及答案
人教版高中数学必修5第一章解三角形练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。必修 5 第一章《解三角形》练习题 一、选择题 1.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ?...
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题 精品(含详细答案)
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题 精品(含...( 1 1 3 B C D 0 3 2 4 10.如果把直角...(如图所示) 必修 5《解三角形》单元练习 参考答案...
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结练习_数学_高中教育_教育专区。解三角形 高中数学必修 5 一、知识点总结 第一章 解三角形复习 (1) A ? B...
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结练习_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 5 一、知识点总结 第一章 解三角形复习 【正弦定理】 1.正弦...
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。必修...1、在△ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于( A. 30° B.45° C....
高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学人教版A必修5解三... 1页 5财富值 高中数学必修五解三角形知... ...高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结 a b c ?...
高中数学必修五第一章知识点总结
高中数学必修五第一章知识点总结一.正弦定理(重点) 1.正弦定理 (1)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c ? = = 2R(其中R是该三角...
更多相关标签: