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高考数学一轮复习第八章解析几何第讲直线与圆锥曲线习题(新)-课件


2017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 8 讲 直线与圆锥曲线 习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是 导学号 25402101 ( A.1 C.1 或 2 [答案] A [解析] 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行, 所以它与双曲线只有 1 个交 点. B.2 D.0

b a

x2 y2 a b

)

b a

b a

x y 2 2.(2015?浙江舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与 16 m 2
椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 导学号 25402102 ( ) A.2 C.8 [答案] B [解析] 根据已知条件得 c= 16-m ,则点( 16-m , 16-m 16-m >0)上,∴ + 2 =1,可得 m=2 2. 16 2m 3.(2015?四川雅安月考)抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的 直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则△ AKF 的面积是 导学号 25402103 ( A.4 C.4 3 [答案] C [解析] ∵y =4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1:y= 3(x 1 2 -1),与 y =4x 联立,解得 A(3,2 3),∴AK=4,∴S△AKF= ?4?2 3=4 3. 2 4.已知抛物线 C:y =8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B
2 2 2 2 2 2 2

2

2

B.2 2 D.2 3

2 x y 2 16-m )在椭圆 + 2=1(m 2 16 m

2

2

) B.3 3 D.8

1

→ → 两点.若MA?MB=0,则 k= 导学号 25402104 ( A. 1 2 B. 2 2

)

C. 2 [答案] D

D.2

[解析] 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 的中点 P,过 A、B 分别作 → → 准线的垂线,垂足分别为 G、H,连接 MF、MP,由MA?MB=0,知 MA⊥MB, 1 1 则|MP|= |AB|= (|AG|+|BH|),所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线, 2 2 所以 MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,AM 为公 共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则 MF⊥AB,所以

k=- =2. kMF
5.(2015?武汉调研)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直 线交 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 导学号 25402105 ( A. C. + =1 45 36 + =1 27 18 )

1

x2 y2 a b

x2 x2

y2 y2

B. + =1 36 27 D. + =1 18 9

x2 x2

y2

y2

[答案] D [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2+ 2=1, 2+ 2=1,两式作差并化简变形得 =-

x2 y2 1 1 a b

x2 y2 2 2 a b

y1-y2 x1-x2

b2?x1+x2? y1-y2 0-?-1? 1 2 2 ,而 = = ,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 a =2b ,又因 2 a ?y1+y2? x1-x2 3-1 2
2 2 2 2

为 a -b =c =9,于是 a =18,b =9.故选 D. 6.(2015?丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最 4 大值为 导学号 25402106 ( A.2 C. 4 10 5 ) 4 5 B. 5 8 10 D. 5

2

x2

2

[答案] C [解析] 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,

2

?x +4y =4, ? 由? ?y=x+t ?

2

2

消去 y,得 5x +8tx+4(t -1)=0.
2

2

2

8 4?t -1? 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴|AB|= 1+k |x1-x2| = 1+k ? ?x1+x2? -4x1x2 = 2? = 8 4?t -1? 2 ?- t? -4? 5 5
2 2 2 2

4 2 2 ? 5-t , 5

4 10 当 t=0 时,|AB|max= . 5 二、填空题 7.已知抛物线 y =8x,过动点 M(a,0),且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点
2

A、B,|AB|≤8,则实数 a 的取值范围是____________________. 导学号 25402107
[答案] -2<a≤-1 [解析] 将 l 的方程 y=x-a 代入 y =8x, 得 x -2(a+4)x+a =0. 则|AB|= 2[?x1+x2? -4x1x2] = 32?4+2a?≤8,又∵|AB|>0, ∴-2<a≤-1. 8.(2015?上海静安一模)已知椭圆 C: + =1,过椭圆 C 上一点 P(1, 2)作倾斜角 2 4 互 补 的 两 条 直 线 PA 、 PB , 分 别 交 椭 圆 C 于 A 、 B 两 点 . 则 直 线 AB 的 斜 率 为 ____________________. 导学号 25402108 [答案] 2
2 2 2 2

x2 y2

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),同时设 PA 的方程为 y- 2=k(x-1),代入椭圆方程 化简得(k +2)x -2k(k- 2)x+k -2 2k-2=0,显然 1 和 x1 是这个方程的两解.因此 x1 =
2 k2-2 2k-2 - 2k -4k+2 2 k2+2 2k-2 ,y1= .由一 k 代替 x1,y1 中的 k,得 x2= ,y2 2 2 k +2 k +2 k2+2 2 2 2 2

- 2k +4k+2 2 y2-y1 = ,所以 = 2. k2+2 x2-x1 9.(2015?福建福州质检)已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若

x2 y2 a b

3

双 曲 线 左 支 上 存 在 一 点 P 与 点 F2 关 于 直 线 y = x 对 称 , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 ____________________. 导学号 25402109 [答案] 5

b a

[解析] 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y= 对称,则 PF1⊥PF2. 又 |PF2| b 2 2 2 3 2 2 = ,联立|PF2|-|PF1|=2a,|PF2| +|PF1| =(2c) ,可得 b +a b=2c a.所以 b=2a, |PF1| a

bx a

e= 5.
10.(2015?大连双基测试)过抛物线 y =2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B、C → → 两 点 , l 与 抛 物 线 准 线 交 于 点 A , 且 |AF| = 6 , AF = 2 FB , 则 |BC| = ___________. 导学号 25403026 [答案] 9 2 π ,点 B(x1,y1),C(x2,y2),则点 2 |AF| |AB|
2

[解析] 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ ,其中 0<θ <

B 在 x 轴的上方.过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,于是有|BF|=|BB1|=3,
= =

p p p 2 1 2 ,由此得 p=2,抛物线方程是 y =4x,焦点 F(1,0),cosθ = = = = ,sinθ |BB1| |AF| 6 6 3
1-cos θ =
2

2 2 sinθ , tanθ = =2 3 cosθ

2,直线 l:y=2

2 (x - 1) . 由

?y=2 2?x-1?, ? 2 ?y =4x
三、解答题

5 5 9 2 消去 y,得 2x -5x+2=0,x1+x2= ,|BC|=x1+x2+p= +2= . 2 2 2

11.(2015?河南洛阳第一次统一考试)已知过点 M( ,0)的直线 l 与抛物线 y =2px(p 2 → → >0)交于 A、B 两点,且OA?OB=-3,其中 O 为坐标原点. 导学号 25402110 (1)求 p 的值; (2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线 l 的方程. [答案] (1)p=2 (2)4x± 2y-4=0

p

2

[解析] (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=my+ . 2

p

4

p ? ?x=my+ , 2 联立? ? ?y2=2px,

消去 x 得 y -2pmy-p =0.

2

2

∴y1+y2=2pm,y1y2=-p .

2

y 1 y2 p p → → 2 2 ∵OA?OB=-3,∴x1x2+y1y2=-3.又 x1x2= ? = ,∴ -p =-3? p =4.∵p>0, 2 p 2p 4 4
∴p=2. (2)由抛物线定义,得|AM|=x1+ =x1+1,|BM|=x2+ =x2+1, 2 2 ∴|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2 4x1x2+5=9,当且仅当 x1=4x2 时取等号.

2

2

2

2

p

p

p 1 将 x1=4x2 代入 x1x2= =1,得 x2= (负值舍去). 4 2
1 1 2 将 x2= 代入 y =4x,得 y2=± 2,即点 B( ,± 2). 2 2 将点 B 代入 x=my+1,得 m=± ∴直线 l 的方程为 x=± 2 . 4

2

2 y+1,即 4x± 2y-4=0. 4

12.(2015?山西第四次诊断)如图,分别过椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)左、右焦点 F1、

x2 y2 a b

F2 的动直线 l1、l2 相交于点 P,与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、 OD 的斜率 k1、k2、k3、k4 满足 k1+k2=k3+k4.已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 3,|CD|=
4 3 . 导学号 25402111 3

(1)求椭圆 E 的方程. (2)是否存在定点 M、N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出点 M、N 坐标并求出此定 值;若不存在,请说明理由. [答案] (1) + =1 (2)存在,M(0,-1),N(0,1),定值为 2 2 3 2 [解析] (1)当 l1 与 x 轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,即 k3=-k4, 2b 4 3 ∴l2 垂直于 x 轴,得|AB|=2a=2 3,|CD|= = , a 3
5
2

x2 y2

得 a= 3,b= 2,∴椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2 (2)焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)、(1,0). 当直线 l1、l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1、m2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

x2 y2

x y ? ? + =1, 由? 3 2 ? ?y=m1?x+1?,
2

2

2

得(2+3m1)x +6m1x+3m1-6=0,

2

2

2

2

6m1 3m1-6 ∴x1+x2=- 2,x1x2= 2. 2+3m1 2+3m1
2 y1 y2 x1+1 x2+1 x1+x2 2m1 4m1 k1+k2= + =m1( + )=m1(2+ )=m1(2- 2 )=- 2 , x1 x2 x1 x2 x1x2 m1-2 m1-2

2

同理 k3+k4=-

4m2 . m2 2- 2

-4m1 -4m2 ∵k1+k2=k3+k4,∴ 2 = 2 ,即(m1m2+2)(m2-m1)=0. m1-2 m2-2 由题意知 m1≠m2,∴m1m2+2=0. 设 P(x,y),则 ? +2=0,即 +x =1(x≠±1). x+1 x-1 2

y

y

y2

2

当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,点 P 坐标为(-1,0)或(1,0),也满足此方程. ∴点 P(x,y)在椭圆 +x =1 上,存在点 M(0,-1)和点 N(0,1),使得|PM|+|PN|为定 2 值,定值为 2 2. B 组 能力提升 1.(2015?东北三校)设抛物线 y =4x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第一象限交 → → 抛物线于 A、B,且满足AF?BF=0,则直线 AB 的斜率 k= 导学号 25402112 ( A. 2 C. 3 [答案] B [解析] 依题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),代入抛 物线方程 y =4x 并整理,得 k x +(2k -4)x+k =0.因为直线与抛物线 有两个不同的交点, 所以 Δ =(2k -4) -4k >0.设 A(x1, y1), B(x2, y2), 4-2k ? ?x1+x2= 2 , k 则? ? ?x1x2=1.
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

y2

2

)

B. D.

2 2 3 3

→ → 又因为AF?BF=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2

6

=0,(x1-1)(x2-1)+k (x1+1)(x2+1)=0,(1+k )x1x2+(k -1)(x1+x2)+k +1=0.把 4-2k ? ?x1+x2= 2 , k ? ? ?x1x2=1,
2

2

2

2

2

1 2 2 代入并整理,得 k = .又 k>0,所以 k= ,故选 B. 2 2

2.(2015?山东腾州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上 π π 一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为右焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF=α ,且 α ∈[ , ], 6 4 则该椭圆离心率 e 的取值范围为 导学号 25402113 ( A.[ 2 , 3-1] 2 2 3 , ] 2 2 B.[ )

x2 y2 a b

2 ,1) 2 3 6 , ] 3 3

C.[

D.[

[答案] A [解析] ∵B 和 A 关于原点对称,∴B 也在椭圆上,设左焦点为 F′. 根据椭圆定义|AF|+|AF′|=2a. ∵|AF′|=|BF|,∴|AF|+|BF|=2a.① ∵O 是 Rt△ABF 的斜边 AB 的中点,∴|AB|=2c. 又|AF|=2csinα ,② |BF|=2ccosα ,③ ②③代入①,得 2csinα +2ccosα =2a,

c 1 ∴ = = a sinα +cosα

1 π 2sin?α + ? 4

,即 e=

1 π 2sin?α + ? 4

.

π π 5π π π 6+ 2 π 2 ∵α ∈[ , ],∴ ≤α + ≤ , ≤sin(α + )≤1,∴ ≤e≤ 3-1. 6 4 12 4 2 4 4 2 3.(2015?绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y =4x 上一点,F 是抛物线的焦点,直线 FA 交抛 物 线 的 准 线 于 点 B( 点 B 在 x 轴 上 方 ) , 若 |AB| = 2|AF| , 则 点 A 的 坐 标 为 ____________________. 导学号 25402114 1 2 3 [答案] (3,-2 3)或( , ) 3 3 [解析] 依题意,①若点 A 位于 x 轴上方,过点 A 作抛物线的准线的垂线,垂足记为 A1, 则有|AB|=2|AF|=2|AA1|,∠BAA1=60°,直线 AF 的倾斜角为 120°. 又点 F(1,0),因此直线 AF 的方程为 y=- 3(x-1).
2

7

由?

?y=- 3?x-1?, ?y2=4x?y>0?,

1 x= , ? ? 3 得? 2 3 ? ?y= 3 .

1 2 3 此时点 A 的坐标是( , ). 3 3 ②若点 A 位于 x 轴下方,则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点,又点 B 的横坐标是-1,故 点 A 的横坐标是 2?1-(-1)=3,相应的纵坐标是 y=- 4?3=-2 3,点 A 的坐标是(3, -2 3). 1 2 3 综上所述,点 A 的坐标是(3,-2 3)或( , ). 3 3 4. (2015?河北衡水冀州中学上学期第四次月考)已知直线 y=-x+1 与椭圆 2+ 2=1(a >b>0)相交于 A、B 两点. 导学号 25402115 (1)若椭圆的离心率为 3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

x2 y2 a b

1 2 → → (2)若向量OA与向量OB互相垂直(其中 O 为坐标原点),当椭圆的离心率 e∈[ , ]时, 2 2 求椭圆长轴长的最大值. 8 3 [答案] (1) 5 [解析] (1)∵e= (2) 6 3 c 3 2 2 ,2c=2,即 = ,c=1,∴a= 3,则 b= a -c = 2, 3 a 3

∴椭圆的方程为 + =1. 3 2 将 y=-x+1 代入消去 y,得 5x -6x-3=0. 6 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2=- , 5 5 ∴|AB|= 1+?-1? = 2
2 2

x2 y2

?x1+x2? -4x1x2

2

6 2 12 8 3 ? ?+ = . 5 5 5

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → → → ∵OA⊥OB,∴OA?OB=0,即 x1x2+y1y2=0.

8

x y ? ? 2+ 2=1, 由?a b ? ?y=-x+1,
2 2 2

2

2

消去 y 得(a +b )x -2a x+a (1-b )=0.

2

2

2

2

2

2

由 Δ =(-2a ) -4a (a +b )(1-b )>0,整理得 a +b >1. 又 x1+x2= 2a a ?1-b ? , 2,x1x2= a +b a2+b2
2 2 2 2

2

2

2

2

2

∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1. 由 x1x2+y1y2=0,得 2x1x2-(x1+x2)+1=0, ∴ 2a ?1-b ? 2a 2 2 2 2 - 2 +1=0,整理得 a +b -2a b =0. 2 2 a +b a +b2
2 2 2 2

b 1 1 1 2 2 2 将 e =1- 2代入上式,得 2a =1+ 2,∴a = (1+ 2). a 1-e 2 1-e
1 2 1 1 1 3 2 2 ∵ ≤e≤ ,∴ ≤e ≤ ,∴ ≤1-e ≤ , 2 2 4 2 2 4 4 1 7 1 ∴ ≤ 2≤2,∴ ≤1+ 2≤3, 3 1-e 3 1-e 7 3 2 2 2 ∴ ≤a ≤ ,满足 a +b >1, 6 2 由此得 42 6 42 ≤a≤ ,∴ ≤2a≤ 6, 6 2 3

故椭圆长轴长的最大值为 6. 5.(2015?湖南新化一中上学期期末)已知过抛物线 x =4y 的焦点
2

F 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点. 导学号 25402116
(1)设抛物线在 A、B 处的切线的交点为 M,若点 M 的横坐标为 2, 求△ABM 的外接圆方程. 3y 3x (2)若直线 l 与椭圆 + =1 的交点为 C、D,问是否存在这样的直线 l 使|AF|?|CF| 4 2 =|BF|?|DF|?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. [答案] (1)(x-2) +(y-3) =16 (2)存在,y=1 或 y=±x+1
2 t2 t1+t2 1-t2 [解析] (1)设 A(2t1,t ),B(2t2,t ),kAB= = , 2t1-2t2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

故直线 AB 的方程为 y-t1=

2

t1+t2
2

(x-2t1).

1 2 1 由直线 AB 过点(0,1),得-t1t2=1,又由 y= x ,得 y′= x, 4 2 1 1 故 kMA?kMB= ?(2t1)? ?(2t2)=t1t2=-1, 2 2
9

∴过 A、B、M 的圆是以 AB 为直径的圆. 又直线 MA 的方程为 y-t1=t1(x-2t1),直线 MB 的方程为 y-t2=t2(x-2t2), 即 t1-t1x+y=0,且 t2-t2x+y=0, 联立两式,解得 xM=t1+t2=2,yM=t1t2=-1, 故线段 AB 的中点 G 的坐标为(2,3),|GM|=4, 所求圆的方程为(x-2) +(y-3) =16. |AF| |DF| → → → → (2)设 = =λ ,则AF=λ FB,DF=λ FC. |BF| |CF|
?-x1=λ x2, ? 设直线 l 的方程为 y=kx+1, A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4), 则? ? ?-x4=λ x3
2 2 2 2 2 2

??

?x1=-λ ? ?x4=-λ ?

x2, x3,
? x -4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4.
2 2

又?

? ?y=kx+1, ?x =4y ?
2

?λ -1? 2 将 x1=-λ x2 代入,得 =4k .① λ

y=kx+1, ? ? 2 由?3y 3x2 + =1, ? 2 ?4
∴x3+x4=-

得(3k +6)x +6kx-1=0,

2

2

2k 1 ,x3x4=- 2 . k2+2 3k +6
2 2

?λ -1? 12k 将 x4=-λ x3 代入,得 = 2 .② λ k +2 由①②,得 k=0 或 k =1,k=±1,经检验 k=0,k=±1 时,A,B,C,D 四点各异, 且满足要求, 故直线 l 存在,且方程为 y=±x+1 或 y=1.
2

10


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