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广西南宁沛鸿民族中学高考数学模拟测试题(一)


高考模拟测试题(一)
一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 1. 函数 y ? log 1 ( x ? 1) 的反函数图象是(
2

)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m y 1 y 1 0 x 0 x

y

y

0 ―1

x
<

br />0 ―1

x

A. B. C. D. 2. 将四面体(棱长为 3)的各棱长三等分,经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个 棱长为 1 的小正四面体,则剩下的多面体的棱数 E 为( ) A.16 B 17 C.18 D.19 3. 复数

(2 ? 2i) 2 (1 ? 3i) 3

等于( B.i

) C.1―i D.―1―i

A.―i

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,则此双曲线方程是 4. 已知双曲线与椭圆 5 9 25
( A. )

x2 y2 ? ?1 12 4
? ??
?

B.
?

y2 x2 ? ?1 4 12

C.

x2 y2 ? ?1 4 12
? ??

D.

y2 x2 ? ?1 12 4

? ? ? ?

5. 已知 0 A = a , 0 B = b ,则∠AOB 的平分线上的单位向量 0M 为(
?

? ??

A.

a

?

|a|

?

?

b

?

|b|

?

B. ? ?

a

?

|a|

?

?

b

?

|b|

?

C.

a? b

? ?

| a? b |

?

D.

| a | ?b ? | b | ?a
?

b|a|?|b|a

?

?

?

6. 已知直线 l 、m,平面 ? 、β ,且 l?? , m ? ? 给出下列命题 ①若 ? ∥β ,则 l?m ②若 l?m ,则 ? ∥β ③若 ? ⊥β ,则 l //m ④若 l ∥m,则 ? ⊥β ,其中正确命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10 2 10 7. 若(1+2x) =a0+a1(x―1)+a2(x―1) +……+a10(x―1) ,则 a1+a2+a3+……+a10= ( ) A.510―310 B.510 C.310 D.310―1

? ? ?cos x, (? 2 ? x ? 0) 3? 8. 设 f(x)是定义域为 R,最小正周期为 的函数,若 f ( x) ? ? ,则 2 ?sin x, (0 ? x ? ? ) ? 15? f (? ) 的值等于( ) 4

A.1

B.0

C.

2 2

D.―

2 2

9. 设随机变量ξ 服从正态分布 N(0, 1) ,记Φ (x)=P(ξ < x),则下列结论不正确的是( ) A.Φ (0) =

1 2

B.Φ (x)=1―Φ (―x)

C.P(|ξ |< a) = 2Φ (a) ―1 D.P(|ξ |> a) = 1―Φ (a) 10.已知正方体 ABCD―A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 DA1 与 AC 的距离为( A. 3 B.



3 3

C.

1 2


D.

1 3

11.已知 lim

x ? ?2

f (2 x ? 4) x?2 ? 2 ,则 lim 的值为( x ? ?2 f (3 x ? 6) x?2
B.

A.

1 3

1 2

C.

2 3

D.

1 6

12.如右图,A、B、C、D 是某煤矿的四个采煤点,l 是公路,图中所标线段为道路,ABQP、 BCRQ、CDSR 近似于正方形。已知 A、B、C、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 5:1: 2:3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比。现要从 P、Q、R、S 中选出 一处设立一个运煤中转站,使四个采 A B C D 煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( ) A .P 点 B.R 点 C.Q 点 D.S 点 l P Q R S 二、填空题(本题满分 16 分,每小题 4 分) 13.不等式 (4? | x ? 2 |) 1 ? x ? 0 的解集是____________。

?0 ? x ? 2 ? 14.在条件 ?0 ? y ? 2 下,z = 3+2x―y 的最小值是_________。 ? y ? x ?1 ?
15.已知 a1,a2,a3,……,ak 是有限项等差数列,且 a4+a7+a10=17,a4+a5+a6,+……+a14=77。 若 ak=13,则 k=_________。 16.甲、乙二人各有一个装有 3 张卡片的盒子,从中取卡片来比胜负,甲的盒子中卡片的号 码是 2 张 1,1 张 3;乙的盒子中卡片的号码是 1 张 1,2 张 2,甲乙两人同时从自己的盒子 中取出 1 张比较,取出的不再放回,直到二人取的卡片号码不相同时,号码大的一方为胜, 则甲获胜的概率是________。 三、解答题(共 74 分) 17.(12 分)一学生在上学途中要经过 6 个路口,假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相 互独立的,并且概率都是

1 。 3

(1)求他通过第 3 个路口时,首次遇到红灯的概率; (2) (理)求他在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。 (文)求这名学生在途中恰好遇到 3 次红灯的概率。

18.(12 分)设向量 a =(1+cosα ,sinα ) , b =(1+cosβ ,sinβ ) , c =(1,0) , α ∈(0,? ) ,β ∈( ? ,2 ? ) , a 与 c 的夹角为θ 1,b 与 c 的夹角为θ 2,且θ 1―θ 2= 求 sin
? ? ? ?

?

?

?

???
2

? , 3

的值。

19.设 f(x) = alnx + bx2 + x 在 x1=1 与 x2=2 时取得极值, (1)试确定 a、b 的值; (2)求 f(x)的单调增区间和减区间; (3)判断 f(x)在 x1、x2 处是取极大值还是极小值。

20.(12 分)如图,在长方体 ABCD―A1B1C1D1 中,AB=5,AD=8,AA1= 4,M 为 B1C1 上一点, 且 B1M=2,点 N 在线段 A1D 上,A1D⊥AN,求: (1)cos ( A1 D, AM ); (2)直线 AD 与平面 ANM 所成的角的大小; (3)平面 ANM 与平面 ABCD 所成角(锐角)的大小。
? ?? ? ??

A1 N B1 21.(12 分)已知点 H(0,―3) ,点 P 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴正半轴
?? 3? 上,点 M 在直线 PQ 上,且满足 HP? PM ? 0 , PM ? ? MQ 。 2
? ?? ? ??

D1 C1 D C

M A

? ??

B

(1)当点 P 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹曲线 C 的方程; (2)过定点 A(a,b)的直线与曲线 C 相交于两点 S、R,求证:抛物线 S、R 两点处的切 线的交点 B 恒在一条直线上。

22.(14 分)y = f(x)的定义域为 R,对任意实数 m、 n 有 f(m+n) = f(m)f(n), 且当 x<0 时,f(x)>1, 数列{an}满足 a1=f(0)且 f (a n ?1 ) ?

1 (n ? N *)。 f (?2 ? an )

(1)求证:y = f(x)在 R 上单调递减; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正数 k,使 (1 ?

1 1 1 ) · (1 ? ) ·…· (1 ? ) ? k ? 2n ? 1 ,对一切 n∈N* a1 a2 an

均成立,若存在,试求出 k 的最大值并证明,若不存在,说明理由。

参考答案
一、选择题 题 号 答 案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 D 11 A 12 C

二、填空题 13. {x|x≤―2 或 x=1} 14. 7 15. 18 16.

4 9

三、解答题(共 74 分) 17. (1)∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯,第三个路口遇到红灯。

1 1 1 4 ) (1― )× = 3 3 3 27 1 1 (2) (理) ? ? B(6, ) ∴ E? ? 6 ? ? 2 3 3 1 1 160 3 3 3 (文) P ? C 6 ? ( ) ? (1 ? ) ? 3 3 729
∴概率 P=(1― 18.∵α ∈(0, ? ) ,β ∈( ? ,2 ? ) ,
? ?

1 1 4 D? ? 6 ? ? (1 ? ) ? 3 3 3



?

? (0, ) , ? ( , ? ) 2 2 2 2

?

?

?

又 cos? 1 ?

a? c

| a |? | c |
∴? 1 ?

?

?

?

1 ? cos? (1 ? cos? ) 2 ? sin 2 ?

?

1 ? cos? ? ? cos , 2 2

?1 ? (0, ? )
? ?

?
2

(1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? | b |? | c | ? ? ? ? ? ? 2 ? (0, ? ) 且 ? ? (0, ) , ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ∴?1 ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ∴ 2 2 2 2 2 3 2 6 ??? ? 1 ? sin( ? ) ? ? ∴ sin 2 6 2 a 19.解(1)令 f ?( x ) ? ? 2bx ? 1 ? 0 则 2bx2+x+a=0 x
由题意知:x=1,2 是上方程两根,由韦达定理:

又 cos? 2 ?

b? c

?

?

?

1 ? cos ?

?

1 ? cos ? ? ? ? ? sin ? cos( ? ) 2 2 2 2

1 ? ?1 ? 2 ? ? 2b ? a ?1 ? 2 ? 2b ?

∴a ? ?

2 1 ,b ? ? 3 b

(2)由(1)知: f ?( x) ? ? 令 f ?( x) ? 0

2 1 1 x ? x ? 1 ? ? ( x ? 1)( x ? 2) 3 3 3x (x - 1)(x - 2) 则 ?0 解得:x<0 或 1<x<2 x

∴f(x)的单调增区间为(1,2) 减区间是(0,1)和(2,+ ? ) (3)由(2)知:f(x)在 x1=1 处取极小值,在 x2=2 处取极大值。 20. (1)以 A 为原点,AB、AD、AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴。 则 D(0,8,0) ,A1(0,0,4) ,M(5,2,4)

∴ A1 D ? (0,8,?4) ∵ A1 D? AM ? 0
? ?? ? ??

? ??

AM ? (5,2,4)
∴ cos ? A1 D, AM ?? 0
? ?? ? ??

? ??

A1 N B1 M A B C1

D1

(2)由(1)知 A1D⊥AM,又由已知 A1D⊥AN, ∴A1D⊥平面 AMN,垂足为 N。 因此 AD 与平面所成的角即是∠DAN。 易知∠DAN = AA1D = arctan2 (3)∵AA1⊥平面 ABCD,A1N⊥平面 AMN,
? ?? ? ??

D C

∴ AA 1 和 NA1 分别成为平面 ABCD 和平面 AMN 的法向量。 设平面 AMN 与平面 ABCD 所成的角(锐角)为 ? ,则

? =( AA1 , NA1 )=∠AA1N = AA1D = arccos
21. (1)解:设 P(a,0) ,Q(0,b) 则: HP? PQ ? (a,3)(a,?b) ? a ? 3b ? 0
2 ? ?? ? ??

? ??

? ??

5 5

2 ∴ a ? 3b

设 M(x,y)∵ PM ? ?

? ??

?? 3? HQ 2

∴x ?

a

3 1? 2 1 2 ∴y? x 4

? ?2a

3 ? b y ? 2 ? 3b 3 1? 2

(2)解法一:设 A(a,b), S ( x1 ,

1 2 1 2 x1 ) , R ( x 2 , x 2 ) (x1≠x2) 4 4

1 2 1 2 x ? x 1 2 4 2 4 1 ( x ? x1 ) ,即 4y = (x1+x2)x-x1x2 则:直线 SR 的方程为: y ? x1 ? 4 x 2 ? x1
∵A 点在 SR 上,∴4b=(x1+x2)a-x1x2 ① 对y?

1 2 1 x 求导得:y′= x 4 2

∴抛物线上 S、R 处的切线方程为:

1 2 1 x1 ? x1 ( x ? x1 ) 即 4 y ? 2 x1 x ? x1 2 ② 4 2 1 2 1 y ? x2 ? x 2 ( x ? x 2 ) 即 4 y ? 2 x2 x ? x2 2 ③ 4 2 y?

x1 ? x2 ? ?x ? 2 联立②③,并解之得 ? ,代入①得:ax-2y-2b=0 1 ? y ? x1 x2 4 ?
故:B 点在直线 ax-2y-2b=0 上 解法二:设 A(a,b) 当过点 A 的直线斜率不存在时 l 与抛物线有且仅有一个公共点,与题意不符,可设直线 SR 的方程为 y-b=k(x-a)

1 2 x 联立消去 y 得:x2-4kx+4ak-4b=0 4 1 2 1 2 设 S ( x1 , x1 ) , R ( x 2 , x 2 ) (x1≠x2) 4 4
与y? 则由韦达定理: ?

? x1 ? x2 ? 4k ? x1 x2 ? 4(ak ? b)
2 2

又过 S、R 点的切线方程分别为: 4 y ? 2x1 x ? x1 , 4 y ? 2 x2 x ? x2

x1 ? x2 k ? ?x ? 2 ? 2 联立,并解之得 ? (k 为参数) 1 ? y ? x1 x2 ? ak ? b 4 ?
消去 k,得:ax-2y-2b=0 故:B 点在直线 2ax-y-b=0 上 22.解(1)令 m=-1,n=0 则:f(–1)=f(–1)f(0),而 f(–1)>1 ∴f(0)=1 令 m=x>0,n= –x<0 则 f(x–x)=f(x)·f(–x)=1 ∴f(x)=

1 ? (0,1),即 x>0 时 0<f(x)<1 f (? x)

设 x1<x2 则 x2–x1=0 ∴0<f (x2–x1)·f (x1)–f (x1)=f (x1)[f (x2–x1)–1]<0 ∴f(x)<f(x1) 即 y = f (x)在 R 上单调递减 (2)由 f(an+1)=

1 ,n ? N* 得:f(an+1)·f(–2–an) =1 f (?2 ? a n )

∴f(an+1–an–2) = f (0) 由(1)知:an+1–an–2=0 即 an+1–an=2(n ? N*) ∴an=2n–1 (3)假设存在正数 k,使(1+ ∴{an}是首项为 a1=1,公差为 2 的等差数列

1 1 1 )(1 ? )...( 1 ? ) ? k ? 2n ? 1 对 n? N*恒成立 a1 a2 an

(1 ?
记 F(n)=

1 1 1 )(1 ? )...( 1? ) a1 a2 an 2n ? 1
∴F(n)是递增数列,F(1)为最小值。



F (n ? 1) 2(n ? 1) ? ?1 F (n) 4(n ? 1) 2 ? 1

由 F(n) ? k 恒成立知 k ? F (1) ?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 3 3

∴kmax =

2 3 . 3


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