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天津南开中学2016届高三第五次月考数学(文)试卷 Word版含答案


天津南开中学 2016 届高三第五次月考



学(文史类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。答卷时,考生务必将答案涂 写在答题卡上,答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数

2?i 等于 1 ? 2i
C. 1 D. ?1

A. i B. ?i

2 2 2 (2)已知命题 p :若 a ? b ,则 a ? b ; q :“ x ? 1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不

充 分条件,则下列命题是真命题的是 A. p ? q B. ? p ? q C. ?p ? ?q D. p ? ?q

(3)记集合 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 16} ,集合 B ? {( x, y ) | x ? y ? 4 ? 0,( x, y ) ? A} 表 示的平面区域分别为 ?1 , ?2 .若在区域 ?1 内任取一点 P( x, y ) ,则点 P 落在区域 ? 2 中的 概率为 A.

? ?2 4?

B.

3? ? 2 ? ?2 3? ? 2 C. D. 4? 4? 4?

(4)运行如下图所示的程序,则输出的结果为
开始

i ? 1, S ? 0

S ? S ? lg

i i?2


S ? ?1



输出i

结束

i ?i?2

1

A. 7 B. 9 C. 10

D. 11

(5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 A. ? ?

3 3

B. 2? ?

3 3

C. 2? ? 3

D. ? ? 3

(6)已知函数 y ? sin 2 x ? 3cos2 x ,下列结论正确的个数是 ①图象关于 x ? ?

?
12

对称②函数在[0,

③函数图象向左平移 A.0

? 个单位后为奇函数 6

? ]上的最大值为 2 2

B.1

C.2

D .3

(7)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 1? |1 ? ( x ? m)2 | 关于 y 轴对称,记
1 1 a ? f ( m ? 2), b ? f (log 5 ), c ? f (e 2 ) 则 a, b, c 的大小关系是 2 A. c ? a ? b B. b ? a ? c C. a ? c ? b

D.a ? b ? c

(8)已知函数 f ( x ) ? 值范围是 A. k ? 1

|x| 2 ,若关于 x 的方程 f ( x ) ? kx 有 4 个不同的实数解,则 k 的取 x?2
B. k ? 1 C. 0 ? k ? 1 D.0 ? k ?1

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注意事项:

学(文史类) 第Ⅱ卷

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2

2. 本卷共 12 小题,共 110 分。 二.填空题:本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分.
(9)已知集合 A ? {?1, a} , B

? {2a , b} ,若 A ? B ? {1} ,则 A ? B ? .

(10) 在学生人数比例为 2 : 3 : 5 的 A,B ,C 三所学校中, 用分层抽样方法招募 n 名志愿者, 若在 A 学校恰好选出了 6 名志愿者,那么 n ? .
C

CD ? AB 于 D ,E 为 AD (11) 如图,AB 是 ? O 的直径, 且 AB ? 3 ,
A

的中点,连接 CE 并延长交 ? O 于 F ,若 CD ? 2 , 则 EF ? .
F

E O D

B

x2 y 2 (12)已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的 a b
距离为 4 , 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ( ?2, ?1) , 则双曲线的方程 为. (13)已知四边形 ABCD , AC 是 BD 的垂直平分线,垂足为
O D

??? ? ??? ? E , O 为 四 边 形 ABCD 外 一 点 , 设 | OB |? 5,| OD |? 3, 则 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (OA ? OC) ? (OB ? OD) ? .
A

E B

C

(14)设 a ? 0, b ? 0 且不等式

1 1 k ? ? ? 0 恒成立,则实数 k 的最小值为. a b a?b

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中 ,角 A, B , C 的 对边 分别为 a, b, c . 已 知△ ABC 的 面 积为 3sin A , 周长 为

4( 2 ?1) ,且 sin B ? sin C ? 2 sin A .
(1)求 a 及 cos A 的值; (2)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值.

(16) (本小题满分 13 分)
3

某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机,这两种产品的市场需求量大,有多少卖多 少。今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量,以达到总利润最大。已知 两种产品直接受资金和劳动力的限制。根据过去销售情况,得到两种产品的有关数据如下 表: (表中单位:百元)试问:怎样确定两种货物的进货量,才能使五一期间的总利润最大, 最大利润是多少? 资金 成本 劳动力:工资 单位利润 单位产品所需资金 空调机 30 7 10 洗衣机 20 10 8 资金供应量 440 156

(17) (本小题满分 13 分) 己知三棱柱 ABC ? A1B1C 1 ,A1 在底面 ABC 上的射影恰为
AC 的 中 点 D , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , 又 知
BA1 ? AC1

(1)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (2)求点 C 到平面 A1 AB 的距离; (3)求二面角 A ? A1 B ? C 的余弦值.

(18) (本小题满分 13 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n , an , (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 an2 ? 2
?bn

1 成等差数列. 2

,设 cn ?

bn ,求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn . an

(19) (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,上顶点为 A ,在 x 轴负半 a 2 b2

轴上有一点 B ,满足 BF 2. 1 ? F 1F2 ,且 AB ? AF (1)求椭圆 C 的离心率;

4

(2)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下, 过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交 于 M、N 两点,在 x 轴上是否存在点 P( m,0), 使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围,如 果不存在,说明理由.

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 1 2 ax ? bx ? cx ( a ? 0 ). 3 2

(1)若函数 f ( x) 有三个零点分别为 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 , x1 x2 ? ?9 ,求函数

f ( x) 的单调区间;
1 a , 3a ? 2c ? 2b ,证明:函数 f ( x) 在区间(0,2)内一定有极值点; 2 b (3)在(2)的条件下,若函数 f ( x) 的两个极值点之间的距离不小于 3 ,求 的取值范 a
(2)若 f ?(1) ? ? 围.

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一. 选择题 1 A 二.填空题 9 10 2 B 3 B

学(文史类)参考答案
4 B 11 5 A 12 6 D 13 7 C 14 8 A

{?1,1,2}
三.解答题 15.【解析】

30

2 3 3

x2 ? y2 ? 1 4

16

?4

5

1 S ? bc sin A ? 3sin A ? bc ? 6 2 b ? c ? 2a ? 4( 2 ? 1) ? a( 2 ? 1) ? a ? 4 b2 ? c 2 ? a 2 (b ? c )2 ? 2bc ? a 2 a 2 ? 12 1 ? ? ? 2bc 2bc 12 3 2 2 ? sin A ? 3 4 2 7 ? 4 6 ?7 ? sin 2 A ? ,cos 2 A ? ? ,cos(2 A ? ) ? 9 9 3 18 cos A ?
16.【解析】 设进货量分别为空调机 x 台,洗衣机 y 台,利润 z
18

16

?30 x ? 20 y ? 440 ? 百 元 , 则 ?7 x ? 10 y ? 156 , 化 简 为 ?x ? N , y ? N ? ?3 x ? 2 y ? 44 ? ?7 x ? 10 y ? 156 目 标 函 数 z ? 10 x ? 8 y 即 ?x ? N , y ? N ?
25 20 15 10 5

14

12

10

A(8,10)

8

6

4

7x+10y=156
2

5

10

15

20

25

10x+8y=0
2

y??

5 4

x?

z 8

3x+2y=44

,做出可行域如图所示:

4

6

5 z z ?3x ? 2 y ? 44 由? 可得 A(8,10) ,平移 y ? ? x ? 经过 A(8,10) 点时截距 最大,即目标 4 8 8 ?7 x ? 10 y ? 156
函数 z 最大,此时 z ? 10 ? 8 ? 8 ? 10 ? 160 百元. 17.【解析】 (1) ?BCA ? 90? 得 BC ? AC ,因为 A1D ? 底 ABC ,所以 A1 D ? BC , A1 D ? AC ? D ,所以 BC ? 面 A1 AC ,所以 BC ? AC1 A1 因为 BA1 ? AC1 , BA1 ? BC ? B ,所以 AC1 ? 底 A1 BC (2)由(1)得 AC1 ? A1C ,所以 A1 ACC1 是菱形, 所以 AC ? AA1 ? A1C ? 2 , AB ? A1B ? 2 2 ,
2 21 7 (3)设 AC1 ? A1C ? O ,作 OE ? A1 B 于 E ,连 AE , 由(1)所以 A1 B ? AE ,所以 ?AEO 为二面角平面角,

C1

E

O

B1

由 VC ? AA1B ? VA1 ? ABC ,得 h ?

A

D B

C

在 Rt ?A1 BC 中 OE ? 18.【解析】

2 14 7 7 , AO ? 3, AE ? ,所以 cos ? ? ,所以二面角余弦 2 2 7 7

(1)由已知得 2 an ? S n ?

1 1 1 , an ? 0 ,当 n ? 1 时, 2 a1 ? a1 ? ,? a1 ? 2 2 2 1 1 当 n ? 2 时, 2 an ? S n ? , 2 an ?1 ? S n ?1 ? 2 2
6

两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 数列 {an } 是

?

an ? 2( n ? 2) an?1

1 为首项, 2 为公比的等比数列 an ? 2n?2 2 n b 2?n (2)由 an2 ? 2?bn ?bn ? 4 ? 2n ? cn ? n ? n?3 由错位求和得 Tn ? n?3 2 an 2
19.【解析】 (1)设 B(x0,0) ,由 F2 (c,0) ,A(0,b) 知 AF 2 ? AB,? cx0 ? b ? 0, x0 ? ? 2 ? (c,?b), AB ? ( x0 ,?b) ? AF
2

b2 , c

由于 BF 2 中点. 1 为 BF 1 ? F 1F2 即 F

b2 1 …………4 分 ? c ? ?2c ? b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? c 2 故椭圆的离心率 e ? 2 c 1 c 1 1 3 (2)由(1)知 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a ,0), B ( ? a ,0) , 2 a 2 2 2 1 △ ABF2 的外接圆圆心为( ? a ,0) ,半径 r= F1 A = a , 2
故?
1 | ? a ?3| x2 y2 ? ? 1 。…8 分 所以 2 ? a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 ,所求椭圆方程为 4 3 2 (3)由(2)知 F2 (1,0) , l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 代入得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 )
则 x1 ? x 2 ?

8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) -………………10 分 3 ? 4k 2 PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 )

由于菱形对角线垂直,则 (PM ? PN) ? MN ? 0 ? MN的方向向量是( 1 ,k ) 故 k ( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 则 k 2 ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0

8k 2 8k 2 ? 2 ) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 由已知条件知 k ? 0 且 k ? R
k2 (

………………12 分

?m ?

1 k2 1 ?0 ? m ? ? 2 3 4 3 ? 4k ?4 2 k 1 . 4
………………14 分

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 0 ? m ? 20.【解析】
2 (1)因为 f ( x) ? x( ax ?

1 3

1 bx ? c) ,又 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 , x1 x2 ? ?9 ,则 2
7

x3 ? 0 , x1 ? x2 ? ?3, x1x2 ? ?9 ……………1 分
1 1 bx ? c ? 0 的两根, 3 2 3b 3c b c 则? ? ?3 , ? ?9 ,得 ? 2 , ? ?3 , 2a a a a
因为 x1,x2 是方程 ax 2 ? ……………3 分

b c 所以 f ?( x) ? ax 2 ? bx ? c ? a ( x 2 ? x ? ) a a 2 ? a( x ? 2 x ? 3) ? a( x ? 1)( x ? 3) .
令 f ( x) ? 0 解得: x ? 1, x ? ?3 故 f ( x ) 的单调递减区间是(-3,1) ,单调递增区间是 (??, ?3), (1, ??) . ……………5 分
/

1 1 2 c0 ? . 所以 a ? b ? c ? ? a , 即 3a ?2 b ? a, 2 2 又 a ? 0 , 3a ? 2c ? 2b ,所以 3a ? 0, 2b ? 0 ,即 a ? 0, b ? 0 .
(2) 因为 f ?( x) ? ax ? bx ? c ,f ?(1) ? ?
2

…………… 7 分

a 于是 f ?(1) ? ? ? 0 , f ?(0) ? c , f ?(2) ? 4a ? 2b ? c ? 4a ? (3a ? 2c) ? c ? a ? c . 2
…………… 8 分

a ① c ? 0 时, 因为 f ?(0) ? c ? 0, f ?(1) ? ? ? 0 , 而 f ?( x ) 在区间 (0,1) 内连续, 则 f ?( x ) 在 2 区间 (0,1) 内至少有一个零点,设为 x=m,则在 x ? (0, m) , f ?( x ) >0, f ( x ) 单调递增, 在 x ? (m,1) , f ?( x ) <0, f ( x ) 单调递减,故函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有极大值点 x=m;
……………9 分

a ②当 c ? 0 时,因为 f ?(1) ? ? ? 0, f ?(2) ? a ? c ? 0 ,则 f ?( x ) 在区间(1,2)内至少有一 2
零点. 同理,函数 f ( x ) 在区间(1,2)内有极小值点. 综上得函数 f ( x) 在区间(0,2)内一定有极值点. …………… 10 分

14 分

8

9


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