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2011届高考数学第一轮复习课件之导数及其应用


第三章

导数及其应用

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考纲解读
1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义.
2.导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y=C,y=x,y 1 2 3 =x ,y=x ,y= ,y= x的导数. x

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考纲解读
(2)能利用下面给出的基本初等函数 的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数. (3)掌握常见基本初等函数的导数公 式和常用的导数运算公式.

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考纲解读
3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系, 能利用导数研究函数的单调性,会求函数 的单调区间(对多项式函数一般不超过三 次). (2)了解函数在某点取得极值的必要 条件和充

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考纲解读
分条件;会用导数求函数的极大值,极小 值(对多项式函数一般不超过三次);会求 闭区间上函数的最大值,最小值(对多项 式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定 积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.

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命题探究
1.高考对导数的考查形式多样,难易均 有,可以在选择题和填空题中出现,主要以 导数的运算,导数的几何意义,导数的应用 为主(研究单调性,极值和最值等);也更容 易在解答题中出现,有时候作为压轴题,主 要考查导数的综合应用,往往与函数,方 程,不等式,数列,解析几何等联系在一 起,分值为12~16分.

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命题探究
2.微积分是新课标新增内容,故 高考对微积分的考查会注重基础,重在 考查基本概念和方法,所以一般以选择 题和填空题的形式出现,考查内容以定 积分的计算和面积的计算为主.

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命题探究
3.预计2011年高考试题在本部分应是 一个小题和一个大题,小题主要考查导数的 概念,几何意义,导数的运算,大题主要以 函数为背景,以导数为工具,考查运用导数 研究函数的单调性,极值或最值问题,在函 数,不等式,解析几何等知识网络交汇点命 题.

第1课时 变化率与导数,导数的计算

基础知识梳理
1.导数的概念 . (1)f(x)在 x=x0 处的导数 在 = 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 = 在 = f(x0+x)-f(x0) - y lix→0 m m 是 =lix→0 , 称 x x 其为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, = 在 = 处的导数, 记作 = f′(x0)或 y′|x=x0 或 ,即 f′(x0 ) f(x0+x)-f(x0) - lix→0 m . = x

基础知识梳理
(2)导函数 导函数 变化时, 的导函数, 当 x 变化时,f′(x)称为 f(x)的导函数, 称为 的导函数 f(x+x)-f(x) + - m y′= lix→0 x 则 f′(x)= = .

2.导数的几何意义 . 函数y= 函数 =f(x)在x=x0处的导数的几 在 = 何意义,就是曲线y= 在点P(x 何意义,就是曲线 =f(x)在点 0, 在点 y0)处的切线的 斜率,过点 的切线方 过点P的切线方 处的切线的 - 程为: - 程为: y-y0=f′(x0)(x-x0) .

基础知识梳理
曲线在点P处的切线和曲线过点 曲线在点 处的切线和曲线过点P 处的切线和曲线过点 的切线有何不同? 的切线有何不同? 思考提示 提示】 前者P为切点 为切点; 【思考 提示】 前者 为切点; 后者点P可以是切点也可以不是.一 后者点 可以是切点也可以不是. 可以是切点也可以不是 般曲线的切线与曲线可以有一个或一 个以上的公共点. 个以上的公共点.

基础知识梳理
3.几种常见函数的导数 . (1)C′= 0 为常数 ; 为常数); = (C为常数 -1 (2)(xn)′= nxn-(n∈Q*); = ∈ ; (3)(sinx)′= cosx = ; (4)(cosx)′= -sinx = ; x)′= ex (5)(e = ; 且 ; x)′= axlna (a>0且a≠1) (6)(a = 1 (7)(lnx)′= x ; 1 = (8)(loga x)′ = xlna (a>0 且
a≠1). .

基础知识梳理
4.导数运算法则 . (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; = + (2)[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; = f′(x)g(x)-f(x)g′(x) - (g(x)≠0) 2 f(x) [g(x)] (3)[ ]′= = . g(x)

基础知识梳理
5.复合函数的导数 . 设函数u= 在点x处有导数 设函数 =φ(x)在点 处有导数 = 在点 处有导数u′= φ′(x),函数 =f(u)在点 的对应点 处有 在点x的对应点 ,函数y= 在点 的对应点u处有 导数y′= 导数 =f′(u),则复合函数 =f(φ(x))在 ,则复合函数y= 在 点x处也有导数,且y′x= 处也有导数, 或写作 x 处也有导数 y′uu′ f′x(φ(x))= = . f′(u)φ′(x)

三基能力强力
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若 .已知 = , f′(-1)=4,则a的值等于 的值等于( ) - = , 的值等于
19 A. 3 16 C. 3 10 B. 3 13 D. 3

答案: 答案:B

三基能力强力
2.已知直线y=kx+1与曲线 .已知直线 = + 与曲线 与曲线y 切于点(1,3),则b的值为 =x3+ax+b切于点 + 切于点 , 的值为 ( ) A.3 B.- . .-3 .- C.5 D.- .-5 . .- 答案: 答案:A

三基能力强力
3.函数y=xcosx-sinx的导数 .函数 = - 的导数 ) 为( A.xsinx B.- .-xsinx . .- C.xcosx D.- . .-xcosx .- 答案: 答案:B

三基能力强力
4.(教材习题改编 已知 . 教材习题改编 已知f(x)=13 教材习题改编)已知 = -8x+x2,且f′(x0)=2.则x0= + = 则 ________.

5 2 答案: 答案: 2

三基能力强力
5.(2009年高考江苏卷改编 已知 . 年高考江苏卷改编)已知 年高考江苏卷改编 在曲线C: = 点P在曲线 :y=x3-10x+3上,过 在曲线 + 上 的切线垂直于直线x+ + = , 点P的切线垂直于直线 +2y+3=0, 的切线垂直于直线 则点P的坐标为 则点 的坐标为________. . 的坐标为 答案: - ,-9) 答案:(-2,15),(2,- , ,-

课堂互动讲练
考点一
利用导数的定义求函数的导数

根据导数的定义求函数y= 根据导数的定义求函数 =f(x)在 在 处导数的方法: 点x0处导数的方法:
(1)求函数的增量 y=f(x0+x)- 求函数的增量 = - f(x0); ; y (2) 求 平 均 变 化 率 = x f(x0+x)-f(x0) - ; x

课堂互动讲练

y (3)得导数 f′(x0)= x→0 .简记作: 简记作: 得导数 = lim 简记作 x 一差,二比,三极限. 一差,二比,三极限.

课堂互动讲练
例1 利用导数的定义求函数 y= =
1 的导数. 的导数. x
【思路点拨】 y lim . → 求x→0 x y 求 y → 求 x

课堂互动讲练
【解】 x- x+ x - + x2+ xx - x = 2 , x + xx( x+ x+ x) + + -1 y ∴ = 2 , x x + xx( x+ x+ x) + + y 1 1 3 lim ∴x→ 0 =- =- x- , - 2 2 x 2x x 1 3 即 y′=- x- . ′ - 2 2 ∵y = 1 1 - = x x+ x +

课堂互动讲练
【规律总结】 函数的导数与导 规律总结】 数值的区别与联系: 数值的区别与联系:导数是原来函数 的导函数, 的导函数,而导数值是导函数在某一 点的函数值,导数值是常数. 点的函数值,导数值是常数.

课堂互动讲练
考点二 导数的运算

1.运用可导函数求导法则和导 . 数公式,求函数y= 在开区间(a, 数公式,求函数 =f(x)在开区间 , 在开区间 b)内的导数的基本步骤: 内的导数的基本步骤: 内的导数的基本步骤 (1)分析函数 =f(x)的结构和特 分析函数y= 分析函数 的结构和特 征; (2)选择恰当的求导法则和导数公 选择恰当的求导法则和导数公 式求导; 式求导; (3)整理得结果. 整理得结果. 整理得结果

课堂互动讲练
2.对较复杂的函数求导时,应 .对较复杂的函数求导时, 先化简再求导, 先化简再求导,特别是对数函数真数 是根式或分式时, 是根式或分式时,可用对数的性质把 真数转化为有理式或整式求解更为方 便.

课堂互动讲练
例2 求下列函数的导数: 求下列函数的导数: (1)y=(3x3-4x)(2x+1); = + ; (2)y=x2sinx; = ; (3)y=3xex-2x+e; = ; lnx (4)y= 2 . = x +1 (5)y=ln(3x-2)+e2x-1. = - + -

课堂互动讲练
观察所给的 思路点拨】 【思路点拨】 函数形式 利用导数公式和运 算法则求导

化简 变形

【解】 (1)法一:∵y=(3x3-4x)(2x+1) 法一: = 法一 + =6x4+3x3-8x2-4x, , ∴y′=24x3+9x2-16x-4. = -

课堂互动讲练
法二: = 法二:y′=(3x3-4x)′(2x+1)+ + + (3x3-4x)(2x+1)′ + =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)2 + + =24x3+9x2-16x-4. - (2)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′= = + = 2xsinx+x2cosx. + (3)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′ = - + - =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xexln3+3xex-2xln2 + =(ln3+1)(3e)x-2xln2. +

课堂互动讲练
(lnx)′(x2+1)-lnx(x2+1)′ - (4)y′= = (x2+1)2 1 2 (x +1)-2xlnx - x = (x2+1)2 x2+1-2x2lnx - . = 2 2 x(x +1)

课堂互动讲练
(5)y′=[ln(3x-2)+e ′ - +
2x- 1

]′ ′

=[ln(3x-2)]′+(e2x 1)′ - ′ ′ 1 2x- 1 (3x-2)′ (3x-2)′+e (2x-1)′ (2x-1)′ = 3x-2 - 3 - = +2e2x 1. 3x-2 -

-

课堂互动讲练
【误区警示】 (1)运算过程出现 误区警示】 运算过程出现 失误, 失误,原因是不能正确理解求导法 特别是商的求导法则, 则;(2)特别是商的求导法则,求导过 特别是商的求导法则 程中符号判断不清, 程中符号判断不清,也是导致错误的 原因. 原因.

课堂互动讲练
考点三 导数的几何意义

函数y= 函数 =f(x)在x=x0处的导数的几 在 = 何意义,就是曲线y= 在点P(x 何意义,就是曲线 =f(x)在点 0, 在点 f(x0))处的切线的斜率,即k= 处的切线的斜率, 处的切线的斜率 = f′(x0).相应地,切线方程为 -y0= .相应地,切线方程为y- f′(x0)(x-x0).因此求函数对应曲线在 - . 某一点处的切线的斜率, 某一点处的切线的斜率,只要求函数 在该点处的导数即可. 在该点处的导数即可.

课堂互动讲练
例3 (解题示范 本题满分 分) 解题示范)(本题满分 解题示范 本题满分12分 已知函数f(x)=x3+x-16, 已知函数 = - , (1)求曲线 =f(x)在点 ,- 求曲线y= 在点(2,- 求曲线 在点 ,-6) 处的切线的方程; 处的切线的方程; (2)直线 为曲线 =f(x)的切 直线l为曲线 直线 为曲线y= 的切 且经过原点,求直线l的方程 线,且经过原点,求直线 的方程 及切点坐标; 及切点坐标;

课堂互动讲练
(3)如果曲线 y= f(x)的某一切线 如果曲线 = 的某一切线 1 与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐 =- + 垂直, 4 标与切线的方程. 标与切线的方程.

【思路点拨】 首先要判断已知 思路点拨】 点是否在曲线上, 点是否在曲线上,再根据切线的斜率 即导数值列方程解决问题. 即导数值列方程解决问题.

课堂互动讲练
=-6, 【解】 (1)∵f(2)=23+2-16=- , ∵ = - =- ,-6)在曲线上 ∴点(2,- 在曲线上. ,- 在曲线上. - = , ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, = 在点(2,- ,-6)处的切线的斜率为 ∴在点 ,- 处的切线的斜率为 k=f′(2)=3×22+1=13. = = × = 切线的方程为y= ∴切线的方程为 =13(x-2)+(-6). - +- . 即y=13x-32. 4分 = - 分

课堂互动讲练
(2)法一:设切点为 0,y0), 法一:设切点为(x 法一 , 则直线l的斜率为 的斜率为f′(x = 则直线 的斜率为 0)=3x02+1, , 直线l的方程为 的方程为: ∴直线 的方程为: y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16. = - + 直线l过点 过点(0,0), 又∵直线 过点 , ∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16, = - + , 整理得x =-8, 分 整理得 03=- , 6分 =-2, =-26, ∴x0=- ,y0=(-2)3+(-2)-16=- , - - - =-

课堂互动讲练
∴k=3(-2)2+1=13, = - = , 直线l的方程为 的方程为y= ∴直线 的方程为 =13x,切点坐 , 标为(- ,- ,-26). 8分 标为 -2,- 分 法二:设直线l的方程为 =kx, 法二:设直线 的方程为y= , 的方程为 切点为(x 切点为 0,y0), , y0- 0 x03+ x0-16 .又 则 k= = = 又 x0 x0- 0 ∵k= f′(x0)=3x02+1, = = ,

课堂互动讲练
x03+ x0-16 ∴ = 3x02+ 1, 解得 x0 , x0 =-2, =- , 3 =-26, ∴ y0= (-2) + (- 2)-16=- , - - - =- 2 k= 3(-2) + 1=13. = - = ∴直线 l 的方程为 y= 13x,切点坐 = , 标为(- ,- ,-26). 标为 - 2,- .

课堂互动讲练
x (3)∵切线与直线 y=- + 3 垂直, 垂直, ∵ =- 4 ∴斜率 k=4,∴设切点为 0, y0), = , 设切点为(x , 10 分 2 则 f′(x0)= 3x0 +1= 4, = = , x0= 1 ∴x0 = ±1 , ∴ 或 =-14 y0=-
x0=- =-1 . =-18 y0=-

课堂互动讲练
即切点坐标为(1,- 或 - , 即切点坐标为 ,-14)或(-1, ,- -18). . 切线方程为y= - - 或 = 切线方程为 =4(x-1)-14或y= 4(x+1)-18. + - 即y=4x-18或y=4x-14. 12分 = - 或 = - 分 误区警示】 解题过程中, 【误区警示】 解题过程中,很 容易把所给的点当作曲线上的点, 容易把所给的点当作曲线上的点,错 误原因是没有把点代入方程进行检 验.

课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 10 分)已知函数 f(x)= 本题满分 已知函数 = ax-6 - 的图象在点 M(-1,f(-1))处的切 - , - 处的切 2 x +b 线方程为 x+2y+5=0,求函数 f(x)的解 + + = , 的解 析式. 析式.

课堂互动讲练
解:由M(-1,f(-1))在x+2y+ - , - 在 + + 5=0上得 = 上得 -1+2f(-1)+5=0,即f(-1)= + - + = , - = -2. -a-6 - =-2.① 4分 也即 =- ① 1+ b + a(x2+ b)- 2x(ax-6) - - f′(x) = ,由 2 2 (x +b) 1 f′(- 1)=- 得 - =- 2

课堂互动讲练
a(1+ b)+ 2(-a-6) + + - - 1 8分 =- .② ② 2 2 (1+b) + =-1 由①②得 a=2,b=3(b=- 舍去 , = , = =- 舍去), 2x- 6 - . 10 分 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)= 2 的解析式为 = x +3

规律方法总结
1.曲线的切线的求法 . 若已知曲线过点P(x 若已知曲线过点 0,y0),求曲 , 线的切线则需分点P(x 线的切线则需分点 0,y0)是切点和 是切点和 不是切点两种情况求解. 不是切点两种情况求解. (1)点P(x0,y0)是切点的切线方程 点 是切点的切线方程 为y-y0=f′(x0)(x-x0). - - . (2)当点 0,y0)不是切点时可分 当点P(x 当点 不是切点时可分 以下几步完成: 以下几步完成:

规律方法总结
第一步:设出切点坐标 第一步:设出切点坐标P′(x1, f(x1)). . 第二步:写出过P′(x1,f(x1))的切 第二步:写出过 的切 线方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1). 线方程为 - = - . 第三步:将点P的坐标 的坐标(x 第三步:将点 的坐标 0,y0)代 代 入方程求出x 入方程求出 1. 第四步: 的值代入方程y- 第四步:将x1的值代入方程 - 可得过点P(x f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点 0,y0) = - 可得过点 的切线方程. 的切线方程.

规律方法总结
2.函数在点x0处的导数,导函 .函数在点 处的导数, 数,导数的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 0)是一 函数在一点处的导数f′(x 是一 函数在一点处的导数 个常数,不是变量. 个常数,不是变量. (2)函数的导数,是针对某一区间 函数的导数, 函数的导数 内任意点x而言的 函数f(x)在区间 而言的. 内任意点 而言的.函数 在区间 (a,b)内每一点都可导,是指对于区 内每一点都可导, , 内每一点都可导 内的每一个确定的值x 间(a,b)内的每一个确定的值 0,都 , 内的每一个确定的值 对应着一个确定的导数f′(x , 对应着一个确定的导数 0),根据函 数的定义,在开区间(a, 内就构成 数的定义,在开区间 ,b)内就构成 了一个新的函数,也就是函数f(x)的 了一个新的函数,也就是函数 的 导函数f′(x). 导函数 .

规律方法总结
(3)函数 =f(x)在点 0处的导数 0)就是导 函数y= 在点x 函数 在点 处的导数f′(x 就是导 函数f′(x)在点 =x0处的函数值,即f′(x0)= 在点x= 处的函数值, 函数 在点 = f′(x)|x=x0. = 3.复合函数的求导方法 . 求复合函数的导数, 求复合函数的导数,一般是运用复合函数 的求导法则, 的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解 决. (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些 基本函数复合而成的,适当选定中间变量; 基本函数复合而成的,适当选定中间变量;

规律方法总结
(2)分步计算中的每一步都要明确 分步计算中的每一步都要明确 是对哪个变量求导, 是对哪个变量求导,而其中特别要注 意的是中间变量的关系; 意的是中间变量的关系; (3)根据基本函数的导数公式及导 根据基本函数的导数公式及导 数的运算法则,求出各函数的导数, 数的运算法则,求出各函数的导数, 并把中间变量转换成自变量的函数; 并把中间变量转换成自变量的函数; (4)复合函数的求导熟练以后,中 复合函数的求导熟练以后, 复合函数的求导熟练以后 间步骤可以省略, 间步骤可以省略,不必再写出函数的 复合过程. 复合过程.

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