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数学必修二第一章空间几何体知识点与习题


第一章

空间几何体

1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有: 常见的旋转体有: (2)简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 练习 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A 2、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:

B

C

D

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底 面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥:定义: 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
' ' ' ' '
'

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似。 (3)棱台:定义: 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 练习 2.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________个顶点, 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 3.空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影 叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。
' ' ' ' '

(1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 练习 3.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 练习 4.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).

练习 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成;
1

图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

图(1)

图(2)

4、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 斜二测画法的基本步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 练习6.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误 的是( .. ). A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆

2 :1,或者原图与直观图面积之比为 2 2 : 1 4 0 练习7.1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原
注:直观图与原图的面积之比为 平面图形的面积是( A. 2 ? ) B.

2

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2 )

7.2、若一个△ABC,采用斜二测画法作出其直观图是面积等于 1 的△A1B1C1,则原△ABC 的面积是( A. 12 B.2 C.

2

D. 2 2

7.3、一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′=1,那么原△ABO 的面 积是( ) A、 12 B、

2 2

C、 2

D、2 2

5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积、表面积: ⑵圆锥侧面积、表面积: ⑶圆台侧面积、表面积: 练习 8.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A.



3

B. 2 3

C. 3 3

D. 4 3 正三棱锥

说明: 正三棱锥是锥体中底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是________________。 正三棱锥的性质: 6 体积公式: 练习 9.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1: 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1
2



练习 10.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体 积是( A. ) B.

9 ? 2

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2


练习 11.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8

练习 12.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底 面的半径为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 7.球的表面积和体积. 练习 13.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 练习 14.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积 是( ) A. 25? B. 50? C. 125? D.都不对 练习 15.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3



第一章 空间几何体测试题 一、选择题 1 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(
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A 2
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3

B

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C

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D

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4 3

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正方体的内切球和外接球的半径之比为(
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A 3
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3 :1 B

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2 : 3D

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一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是(
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8? cm2



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20? cm2

4 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 ,圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面 的半径为( ) A 7 B 6 C 5 D 3 5 在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去 8 个三棱锥后 ,剩 下的几何体的体积是( )
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A
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4 5
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D

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5 6
)
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6 如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( 8 : 27 2:3 4:9 2:9 A B C D 2 7、正方体的全面积为 18cm ,则它的体积是( ) 112 3 A、4cm3;B、8cm3;C、 cm ;D、3 3 cm3。 72 二、填空题
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已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个长方体的对角线长是______;
3

若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 ,则它的体积为___________ 9
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R t? A B C 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为
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____________ 10
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等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体

11 若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为 _______________ 12 球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 ______ 倍
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一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米则此球的半 径为_________厘米
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已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________

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三、解答题 15
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将圆心角为 1200 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积

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16 有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它 的深度为多少 cm ?
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已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长

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如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 900 , ?ADC ? 1350 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,求四
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边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积

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4

第一章 空间几何体 一、选择题 1、下列说法中正确的是( ) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C.所有的几何体的表面都能展成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等 2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 3、过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A. B. C. D. 4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的,其中正确的是(

)

5、长方体的高等于 h,底面积等于 S,过相对侧棱的截面面积为 S′,则长方体的侧面积等于(

)

A. B. C. D. 6、棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别 为 S1、S2、S3,则( ) A.S1<S2<S3 B.S3<S2<S1 C.S2<S1<S3 D.S1<S3<S2 7、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( ) A. B. C. D. 8、若圆台两底面周长的比是 1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是 A.1∶16 B.3∶27 C.13∶129 D.39∶129 二、填空题 1、下列有关棱柱的说法: ①棱柱的所有的面都是平的;②棱柱的所有的棱长都相等; ③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形; ④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等; ⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等. 正确的有__________. 2、一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一, 那么当桶直立时,水的高度与桶的高度的比为_________. 3、一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为_________. 4、一圆台上底半径为 5 cm,下底半径为 10 cm,母线 AB 长为 20 cm,其中 A 在上底面上,B 在下底面上, 从 AB 中点 M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到 B 点, 则这条绳子最短长为____________. 三、解答题

1、圆台的较小底面半径为 1,母线长为 2,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 ? 角,则圆 台的侧面积为?

2、在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积

5

参考答案 1
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此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4, S表面 ? ? ? 32 ? ? ? 3? 5 ? 24?
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1 V ? ? ? 32 ? 4 ? 12? 3
1
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(1) 4 (2)圆锥

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A

因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 ? 4S底面积 ? 4 ?

3 ? 3 长方体的对角线是球的直径, 4

2 D

正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a

a ? 2r内切球,r内切球 ?
3 4 6 8
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a 3a , 3 a? r 2 r , :r ? : 1 外接球,r 外接球 ? 2 2 内切球 外接球

3

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B A D

正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 ? 2R , R ? 3, S ? 4? R2 ? 12?

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S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7 5
1 V1 : V2 ? ( Sh) : ( Sh) ? 3 :1 7 3
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D

1 1 1 1 1 5 V正方体 ? 8V三棱锥 ? 1 ? 8 ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 2 6

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C

V1 : V2 ? 8: 27, r1 : r2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9
15


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6 设 ab ? 2, bc ? 3, ac ? 6, 则 abc ? 6, c ? 3, a ? 2, c ? 1 l ? 3 ? 2 ? 1 ? 6

ab ? 3, bc ? 5, ac ? 15 则 (abc)2 ? 225,V ? abc ? 15
9
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16?

旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径, 以 AB 为高的圆锥, V ? ? r 2 h ? ? ? 42 ? 3 ? 16? 设V ?

1 3

1 3

10

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?

4 3 3V , ? R ? a3 , a ? 3 V , R ? 3 3 4?

S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36? V 2 ? 3 216V 2

11

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2 3? a 3?

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,

而 S圆锥表 ? ? r 2 ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r 2 ? a, r ? 12 14 15

a 3? a 2 3? a ,即直径为 ? 3? 3? 3?

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8

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4 V ? Sh ? ? r 2 h ? ? R 3 , R ? 3 64 ? 27 ? 12 3 1 1 28 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h ? ? (4 ? 4 ?16 ? 16) ? 3 ? 28 3 3 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则 120 2 2? ? l ? 3? , l ? 3 ; ? 3 ? 2? r , r ? 1 ; S表面积 ? S侧面 ? S底面 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? , 360 3
13 r2 ? 2 r1 , V2? 8 V 1
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12

1 1 2 2 V ? Sh ? ? ? ?12 ? 2 2 ? ? 3 3 3
6

16.解: V ? ( S ? SS ' ? S ' )h, h ?

1 3

3V S ? SS ? S
' '

h?

3? 1 9 0 0 0 0 ? 75 3600 ? 2400 ? 1600

17

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解: ? (2 ? 5)l ? ? (22 ? 52 ), l ?

29 7

18.解: S表面 ? S圆台底面 ? S圆台侧面 ? S圆锥侧面 ? ? ? 52 ? ? ? (2 ? 5) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? 25( 2 ? 1)?

V ? V圆台 ?V圆锥

1 1 ? ? ( r12 ? r1r2 ? r2 2 )h ? ? r 2 h 3 3 1B2D3 解析:设球半径为 R ,截面半径为 r. 148 ? ? 3

+r2=R2,∴r2=

.∴

.4A5 解析:设长方体的底面边长分别为 a、b,

过相对侧棱的截面面积 S′=

①,S=ab②,由①②得:(a+b) =

2

+2S,∴a+b=

,S



=2(a+b)h=2h

. 答案:C6 由截面性质可知,设底面积为 S.

;

;

可知:S1<S2<S3 故选 A.

7.把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,所以 4× S·r= ·S·h,r= h (其中 S 为正四面体一个面 的面积,h 为正四面体的高)答案:C 8.由题意设上、下底面半径分别为 r,4r,截面半径为 x,圆台的高为 2h,则有

,∴x=

.∴

.答案:D .V = cm. ,直立时 V

1①④⑤2 横 放 时 水 桶 底 面 在 水 内 的 面 积 为 =π R2x,∴x:h=(π -2):4π 答案:(π -2):4π





3 由三视图知正三棱柱的高为 2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为 设底面边长为 a,则 =3×4×2+2× 1 画出圆台,则 2 圆 ×4× ,∴a=4.∴正三棱柱的表面积 S=S 侧+2S 底 =8(3+ )(cm)答案:8(3+

)(cm). 4 扉形圆心角 90° 答案:50cm

r1 ? 1, r2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r1 ? r2 )l ? 6?
的 高



h ? 42 ? 22 ? 2 3

















r ?1



S表面 ? 2S底面 ? S侧面 ? 2? ? ? ? 3 ? (2 ? 3)?   
7

1


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