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高中数学的数形结合思想方法(13级尖子生)


合浦廉州中学高 13 级数学尖子辅导资料

数形结合的思想方法---知识篇
一、 知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数 和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通 过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问

题的条件和结论之间的内在联 系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将 数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法, 简言之,就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法,称之为数形 结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种 情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图 像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段, 形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互 转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何 意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第 三是正确确定参数的取值范围。 二、 解题方法指导 1.转换数与形的三条途径: ① 通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。 ② 转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上 两点间的距离等。 ③ 构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。 2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法: ①“由形化数” :就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的数量关系,反映几何图形 内在的属性。 ②“由数化形” :就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系, 提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换” :就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式的结 构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、 数形结合的思想方法的应用 (一) 解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数 形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例 1】已知:有向线段 PQ 的起点 P 与终点 Q 坐标分别为 P(-1,1),Q(2,2).若直线 l∶x+my+m=0 与有向线段 PQ 延长相交,求实数 m 的取值范围. 答案: ? 3 ? m ? ?

2 3

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2. 与距离有关的问题 【例 2】求:y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2 的最大(小)值. 3. 与截距有关的问题 【例 3】若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 ? y 2 恰有一个公共点,求 k 的取值范围. 答: k=,或-1<k≤1.

4. 与定义有关的问题 2 【例 4】求抛物线 y =4x 上到焦点 F 的距离与到点 A(3,2)的距离之和为最小的点 P 的坐标,并求这 个最小值. (二) 数形结合在函数中的应用 1. 利用数形结合解决与方程的根有关的问题 方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题,从而把代数与几何有机地结合起来,使问题的解决得到简化. 【例 5】已知方程|x2-4x+3|=m 有 4 个根,则实数 m 的取值范围 .

2. 利用数形结合解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时,我们常需要先确定 函数的单调性及单调区间,数形结合是确定函数单调性常用的数学思想,函数的单调区间形象直观地反映在 函数的图象中. 【例 6】确定函数 y= x | x | ?2 | x | 的单调区间.

3. 利用数形结合解决比较数值大小的问题 【例 7】已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件:①对任意的 x∈R 都有 f(x+4)=f(x);②对 任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称.则 f(4.5),f(6.5),f(7) 的大小关系是 .答案:f(4.5)<f(7)<f(6.5).

4. 利用数形结合解决抽象函数问题 抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题,是高考中的难点.利用数形结合常能使我们找到解决此类 问题的捷径. 【例 8】 设 f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,在区间[a,b](a<b<0)上,f ′(x)g (x)+f(x) g′(x)>0,且 f(x)· g(x)有最小值-5.则函数 y=f(x)· g(x)在区间[-b,-a]上( ). A. 是增函数且有最小值-5 C. 是增函数且有最大值5 B. 是减函数且有最小值-5 D. 是减函数且有最大值5 答案:C

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(三)运用数形结合思想解不等式 1. 求参数的取值范围 【例 9】若不等式 4x ? x2 >ax 的解集是{x|0<x≤4},则实数 a 的取值范围是( ). 答案:C A. [0,+∞) B. (-∞,4] C. (-∞,0) D. (-∞,0]

【例 10】 若 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范围是( ). 答案:C A. (0,1) 2. 解不等式 【例 11】已知 f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,f(a)=0(a>0),那么不等式 xf(x)<0 的解集是( ). 答案:B A. {x|0<x<a} B. {x|-a<x<0 或 x>a} C. {x|-a<x<a} D. {x|x<-a 或 0<x<a} B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]

【例 12】 设函数 f ( x) ? 2| x ?1|?| x ?1| ,求使 f ( x) ? 2 2 成立的 x 的取值范围. 答案: x ? (四)运用数形结合思想解三角函数题

3 4

纵观高考试题,巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题,可以简化计算,节省时间,提高考 试效率,起到事半功倍的效果. 【例 13】函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有2个不同的交点,则 k 的取值范围是 .

【例 14】当 0<x<

? 1 ? cos2 x ? 8 sin 2 x 时,函数 f ( x) ? 的最小值为( ). 2 sin 2 x
C. 4 D. 4 3

A. 2

B. 2 3

【例 15】若 sinα+cosα=tanα(0<α< A. (0,

?
6

)

? ),则 α∈( ). 2 ? ? ? ? ? ? B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ) 6 4 4 3 3 2 ? ? ,-1)∪(0,1)∪( ,3) 2 2

【例 16】 已知函数 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时 f(x)图象如下图所示,那 么不等式 f(x)cosx<0 的解集是( ). 【例 17】△ABC中,A= (-

? ,BC=3,则△ABC的周长为( ). 选C 3

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(五)运用数形结合思想解复数题 【例 18】设|z 1 |=5,|z 2 |=2, |z 1 - z2 |= 13 ,求

z1 的值。 z2

四、运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意如下几点 在解题时,有时把数转化为形,以形直观地表达数来解决,往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但 是,依赖图象直观解题,也要注意如下几个问题. 1、注意图象延伸趋势 x 【例 19】 判断命题:“当 a>1 时,关于 x 的方程 a =logax 无实解.”正确与否. 2、注意图象伸展“速度” 【例 20】比较 2n 与 n 2 的大小,其中 n≥2,且 n∈N+.

3、注意数形等价转化 2 【例 21】已知方程 x +2kx-3k=0 有两个实数在-1 与 3 之间,求 k 的取值范围. 4、注意仔细观察图象

?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 【例 22】已知关于 x、y 的方程组 ? (a>b>0)有四组实数解,求 a、b、m 应满足的关系. 2 ?y ? x ? m
答: a、b、m 应满足的关系是 ?

4a 4 ? b 2 ? m ? ?b . 4a 2

5. 数形结合也有简繁之分 数形结合的核心与灵魂是“结合”.解题时,由于观察与联想的视角不同,会出现不同的“结合”,“结合”得 好就得到好的解题方法,“结合”得不好就使解题过程繁琐且易出错,“结合”的优劣反映出了我们的基础与能 力,也反映出我们思维灵活性与创造性的水平,“结合”的优化选择,应是数形结合法研究的重要一环.为便于 说明,我们先看几例: 【例 23】已知方程 m|x|=x+m 有两个相异实根,求实数 m 的取值范围. 答:m<-1 或 m>1
2 【例 24】已知函数 f(x)=ax +bx 且 2≤f(1)≤4,1≤f(-1)≤2,求 f(-2)的取值范围. 答:5≤f(-2)≤10.

2 【例 25】正数 a、b、c、A、B、C 满足 a+A=b+B=c+C=k,求证:aB+bC+cA<k . 本题的难度较大,用代数方法一时是无从下手的.若能数形结合,揭示其条件 a+A=b+B=c+C=k 中隐含的几何 背景——联想到三数相等的几何图形是等边三角形,则可得如下简捷的证法.

数形结合的思想方法--巩固练习
1. 设命题甲:0<x<5;命题乙:|x-2|<3,那么甲是乙的_____。 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若 log a 2<log b 2<0,则( )A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1

3. 如果|x|≤

π 2 ,f(x)=cos x+sinx 的最小值是( )A. 4

2 ?1 2 ?1 1? 2 B. - C. -1 D. 2 2 2

4. 如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是 5,那么 f(x)的[-7,-3]上是() A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5
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5. 设全集 I={(x,y)|x,y∈R}, 集合 M={(x,y)| A. φ B. {(2,3)} C. (2,3)

y?3 =1}, N={(x,y)|y≠x+1}, 那么 M∪N 等于 ( x?2
D. {(x,y)|y=x+1



6. 如果θ 是第二象限的角,且满足 cos

θ θ θ -sin = 1 ? sin θ ,那么 是( ) 2 2 2
)。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角,也可能第三象限角 D.第二象限角 7. 已知集合 E={θ |cosθ <sinθ ,0≤θ ≤2π },F={θ |tgθ <sinθ },那么 E∩F 的区间是( A. (

π ,π ) 2

B. (

π 3π , ) 4 4
2 2

C. (π ,

3π ) 2

D. (

3π 5π , ) 4 4
B.

8. 如果实数 x、y 满足等式(x-2) +y =3,那么

1 y 的最大值是( )A. 2 x
).

3 C. 3

3 D. 2

3

9. 条件甲:x2+y2≤4;条件乙:x2+y2≤2x,那么甲是乙的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件

10.集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( (CU A) ? (CU B) = A. {1,6} B. {4,5}C. {2,3,4,5,7}D. {1,2,3,6,7} 11. 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( ). A. f(x1)>f(x2) B. f(x1)<f(x2) C. f(x1)=f(x2) D. f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

? 1 12. 方程 sin(x- 4 )= 4 x 的实数解的个数是( ). A. 2

B. 3

C. 4

D. 以上均不对

13. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中 a<b),且 α、β 是方程 f(x)=0的两根(α<β), 则实数 a、b、 α、 β 的大小关系为( ). A. α<a<b<β B. α<a<β<b C. a<α<b<β D. a<α<β<b
?x ? ?2 1? 1, x ? 0 14. 设函数 f ( x) ? ? 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ). 2 ? x , x ? 0 ?

A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-2)∪(0,+∞)D. (-∞,-1)∩(1,+∞)

1 15. 已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈(0, 2 )时恒成立,则 m 的取值范围是( ). 1 B. [ 16 ,1) 1 D. (0, 16 ]

A. (0,1)

C. (1,+∞)

16. (4cosθ+3-2t)2+(3sinθ-1+2t)2(θ、t 为参数)的最大值是 ___. 17. 设 α,β 分别是方程 log2x+x-3=0 和 2x+x-3=0 的根,则 α+β=___ ,log2α+2β=___. 18. 若方程 lg(-x +3x-m)=lg(3-x)在 x∈(0,3)内有唯一解,求实数 m 的取值范围。 19.已知 5x+12y=60,则 x 2 ? y 2 的最小值是_____.A. 60
13
2

B. 13
5

C. 13
12

D. 1

20.已知集合 P={(x,y)|y= 9 ? x 2 }、Q={(x,y)|y=x+b},若 P∩Q≠φ ,则 b 的取值范围是____. A. |b|<3 B. |b|≤3 2 C. -3≤b≤3 2 D. -3<b<3 2 21.方程 2 =x +2x+1 的实数解的个数是_____.A. 1
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x 2

B. 2

C. 3

D.以上都不对

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22.方程 x=10sinx 的实根的个数是_______. 23.若不等式 m>|x-1|+|x+1|的解集是非空数集,实数 m 的取值范围是______. 24.奇函数 f ( x ) 的定义域为[-5,5],若当 x ? [0,5], f ( x ) 图象如右图所示,则不 等式

x ? 0 的解集是 f ( x)
2 2

25.若方程 x -3ax+2a =0 的一个根小于 1,而另一根大于 1,则实数 a 的取值范围是______. 26.sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°·cos80°=____________. 27.解不等式:
? x 2 ? 2x >b-x
2 2

2 ? x ? 2 x ? a≤ 0 的解集,试确定 a、b 的取值范围,使得 A ? B. 28.设 A={x|<1x<3},又设 B 是关于 x 的不等式组 ? ? 2 ? ? x ? 2bx ? 5≤ 0

30.定义域内不等式 2 ? x 〉x+a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 31. 已知函数 y= ( x ? 1) 2 ? 1 + ( x ? 5) 2 ? 9 ,求函数的最小值及此时 x 的值. 32. 若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数 k 的取值范围. 33.实系数一元二次方程 x +ax+2b=0 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求: (1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)
2

b?2 2 2 的取值范围;(3)(a-1) +(b-2) 的值域. a ?1
2

34.函数 f(x)满足下面关系: ①f(x+1)=f(x-1);②当 x∈[-1,1]时, f(x)=x ,则方程 f(x)=lgx 解的个数是 ( ) (A)5 (B)7 (C)9 (D)10

35.设函数 f ( x) ? a ? ? x 2 ? 4 x 和 g ( x ) ?

4 x ? 1 ,已知 x∈[-4,0]时,恒有 f(x)≤g(x),求实数 a 的范围. 3

36.已知关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根,则实数 m 的范围是_______. 37.已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范 围;若不存在,说明理由. 38.已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

?(3a ?1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( ? log a x, x ? 1
1 3 1 1 7 3
(D) [ ,1)



(B) (0, ) (C) [ , )

1 7

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 39.设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3) )A

40.设 f ( x) ?| 2 ? x2 | ,若 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是(

A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

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