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数学:第2章2.3.2方差与标准差课件(苏教版必修3)


第2章





2.3.2

方差与标准差

学习导航
学习目标 实例 ― → ―
理解 了解

方差、标准差的意义和作用 ― → ― 用样本的数字特征估计总体的数字特征 ― → ― 方差、标准差的计算
掌握

r /> 重点难点

重点:用样本方差、标准差估计总

体的方差、标准差.
难点:能应用相关知识解决简单的实际问题.

新知初探思维启动
1.极差 最大值 最小值 差 一组数据的________与_______的_____. 2.方差与标准差

样本方差 标准差 平方 相同

样本

做一做
1.数据5,7,7,8,10,11的标准差是________.
5+7+7+8+10+11 解析:数据的平均数是: x = 6 =8, 标准差为:s=2.

答案:2

3.方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述 一组数据波动情况的特征数 ______________________________ , 常 用 来 比 较两组数据的波动大小,我们所研究的仅是这 两组数据的个数相等,平均数相等或比较接近

时的情况.
方差较大的波动较大,方差较小的波动较小.

想一想 2.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选

拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
甲 平均数 x (分) 方差 s2(分 2) 8.5 3.5 乙 8.8 3.5 丙 8.8 2.1 丁 8 8.7

则参加奥运会的最佳人选应为哪个人?
提示:成绩最好的为乙、丙,而表现最为

稳定的为丙,故参加奥运会的最佳人选应为
丙.

典题例证技法归纳
题型探究
题型一
例1

方差与标准差的计算

已知一个样本为1,3,2,5,x,它的平均

数是3,则这个样本的标准差是多少?

【解】

1+3+2+5+x 法一:∵ x = =3,∴x=4. 5

由方差公式有: 1 s = [(1-3)2+(3-3)2+(2-3)2+(5-3)2+(4-3)2]= 5
2

2, ∴s= 2.

1+3+2+5+x 法二:∵ x = =3,∴x=4, 5 由方差公式的变形形式有: 1 2 s = (1 +32+22+52+42)-32=2, 5
2

∴s= 2.

【名师点评】 s2=

(1)方差的计算公式有 2 个都要记熟:

1n 1n 2 ? (xi- x )2=n ?xi - x 2. ni= 1 i= 1 (2)当样本数据有单位时,2 与 s 单位不同, s 要注意区别.

变式训练
1.(2011· 高考北京卷节选)以下茎叶图记录了

甲、乙两组各四名同学的植树棵数,乙组记
录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示.

如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差.

解:当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数 是:8,8,9,10, 8+8+9+10 35 所以平均数为 x = = , 4 4 1 35 2 35 2 35 2 35 2 方差为 s = [(8- ) +(8- ) +(9- ) +(10- ) ] 4 4 4 4 4
2

11 = . 16

题型二

平均数与方差的性质及应用

例2 某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1 名选手参加全市中学生田径百米比赛,该校 预先对这两名选手测试了8次,测试成绩如下 表:

测试次 1 2 3 4 5 6 7 8 数 甲选手 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 成绩(s) 乙选手 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 成绩(s)

(1)比较甲、乙两人测试成绩的平均数;
(2)比较甲、乙两人测试成绩的方差.

【解】

已知的两组数据分别减去12,得两

组新数据: 甲:0.1,0.2,1,0.5,1.1,0.5,0.4,0.2; 乙:0,0.4,0.8,1,0.2,0.8,0.3,0.5.

(1)容易得出 x ′ 甲 =0.5, x ′ 乙 =0.5,∴ x 甲 = x



=0.5+12=12.5,两人平均水平一致. (2)s 2 = [(0.1 - 0.5)2 + (0.2- 0.5)2 + (1 - 0.5)2 + (0.5- 甲 0.5)2 + (1.1- 0.5)2 + (0.5- 0.5)2 + (0.4- 0.5)2 + (0.2- 0.5)2]÷ 8=0.12, s 2 =[(0-0.5)2 +(0.4-0.5)2+(0.8-0.5)2 +(1-0.5)2+ 乙 (0.2-0.5)2+(0.8-0.5)2+(0.3-0.5)2+(0.5-0.5)2]÷ 8= 0.1025. ∴s2 >s2 . 甲 乙

【规律小结】 如下性质:

一般地,平均数、方差、标准差具有

若数据 x1,x2,…,xn 的平均数是 x ,方差为 s2,标 准差为 s,则新数据 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的平 均数是 a x +b,方差为 a2s2,标准差为 as.

特别地,如 a=1,则新数据的方差、标准差与原数据 相同,分别为 s2,s.因此,当一组数据均较大且接近某 个常数时,可先将每个数同时减去这个常数,再计算 这组新数据的方差,它与原数据的方差相等.

题型三

平均数与方差的综合应用

例3 (本题满分14分)从甲、乙两种玉米苗中各抽
10株,分别测得它们的株高(单位:cm)如下: 甲:25 乙:27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40

问:(1)哪种玉米的苗长得高?
(2)哪种玉米的苗长得齐?

【思路点拨】

本题主要考查利用平均数和

标准差、方差分析数据的特征.看哪种玉米

的苗长得高,只要比较甲、乙两种玉米苗的
均高即可;要比较哪种玉米的苗长得整齐, 只要看两种玉米的株高的方差即可,因为方 差体现一组数据波动大小的特征.

1 【解】 (1) x 甲 = ×(25+41+40+37+22+14+19 10 1 +39+21+42)= ×300=30(cm),(2 分) 10

名师微博
正确运算是本题的关键.

1 x 乙 = ×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+ 10 1 40)= ×310=31(cm),(4 分) 10 ∵ x 甲 < x 乙, ∴乙种玉米的苗长得高.(6 分)

1 (2)s甲= [(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2 10
2

+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21- 1 30) +(42-30) ]= ×(25+121+100+49+64+256 10
2 2

1 +121+81+81+144)= ×1042=104.2(cm2), 10 (9 分)

名师微博 方差的单位是 cm2,标准差的单位是 cm,你注意了 吗?

1 s 乙 = [2×(27-31)2 +3×(16-31)2 +2×(44-31)2+ 10
2

1 3×(40-31) ]= ×1288=128.8(cm2),(12 分) 10
2

∵s2 <s2 ,∴甲种玉米长得齐. 甲 乙 即乙种玉米苗长得高,甲种玉米苗长得齐.(14 分)

【名师点评】

方差和标准差都是用来描述

一组数据波动情况的特征数,常用来比较两 组数据的波动大小,我们所研究的仅是这两

组数据的个数相等,平均数相等或比较接近
时的情况.方差、标准差越大,数据的离散 程度越大;方差、标准差越小,数据的离散 程度越小.

变式训练
2.为了解A,B两种轮胎的性能,某汽车制造 厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测 试,下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程

数(单位:1000 km):
轮胎A 96,112,97,108,100,103,86,98 轮胎B 108,101,94,105,96,93,97,106

(1)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的
平均数、中位数;

(2)分别计算A,B两种轮胎行驶的最远里程的
极差、标准差; (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能 更加稳定?

解:(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为: 96+112+97+108+100+103+86+98 =100, 8 100+98 中位数为: =99; 2 B 轮胎行驶的最远里程的平均数为: 108+101+94+105+96+93+97+106 =100, 8 101+97 中位数为: =99. 2

(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为: 112-86=26, 标准差为: 42+122+32+82+0+32+142+22 221 s= = 8 2 ≈7.43; B 轮胎行驶的最远里程的极差为: 108-93=15, 标准差为:

s= =

82+12+62+52+42+72+32+62 8 118 ≈5.43. 2

(3)由于 A 和 B 的最远行驶里程的平均数相同,而 B 轮 胎行驶的最远里程的极差和标准差较小,所以 B 轮胎 性能更加稳定.

备选例题
在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度(单 位:mm),分组与频数如下:[25,65),10; [65,105),2;[105,145),4;[145,185),3;

[185,225),3;[225,265),7;[265,305),8;
[305,345),10;[345,385),13.试估计这批棉 花的纤维的平均长度及标准差.

解:各组中值分别为 45,85,125, 1 165,205,245,285,325,365,那么平均数为 (45×10+ 60 85×2+125×4+165×3+205×3+245×7+285×8+ 325×10+365×13)=237(mm). 将组中值对于此平均数求方差:

1 s = [10×(45 - 237)2 + 2×(85 - 237)2 + 4×(125 - 60
2

237)2 + 3×(165- 237)2 + 3×(205- 237)2 + 7×(245- 237)2+8×(285-237)2+10×(325-237)2+13×(365- 237)2]=13216(mm2), ∴标准差 s≈114.96(mm). ∴估计这批棉花的纤维的平均长度为 237 mm,标准差 约为 114.96 mm.

方法感悟
方法技巧 1.样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常 用的统计量,描述了样本数据的平均水平. 样本方差和标准差是刻画数据的离散程度的 量,方差越大,离散程度越大.

2.数据的离散程度可以通过极差、方差或标
准差来描述.极差反映了一组数据的变化的 最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏 感.方差则反映了一组数据围绕平均数波动 的大小.为了得到以样本数据的单位表示的

波动幅度,通常用标准差——样本方差的算
术平方根来描述.

失误防范 1.平均数与方差有以下性质: 若 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则 (1)ax1,ax2,…,axn 的平均数为 a x ,方差为 a2s2;

(2)x1+b,x2+b,…,xn+b 的平均数为 x +b,方差 为 s2; (3)ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的平均数为 a x +b, 方差为 a2s2. 应用这些性质可简化运算,但要注意平均数关系与方 差关系是不同的,易混淆出错.

如例 2 的(1)计算出的 x ′甲=0.5(新数据的平均数)并 不等于甲测试成绩的平均数(原数据的平均数), 必须加 上 12 才等于甲成绩的平均数;而(2)计算的新数据的方 差即等于原数据的方差. 2.因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸 大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本 数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时, 一般采用标准差,如例 3 变式训练就是用标准差来刻 画数据的分散程度的.

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