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2016届江苏省镇江市高三年级第一次模拟考试数学


2016 届江苏省镇江市高三年级第一次模拟考试数学(解析 版)
数学本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程. 1. 若全集为 U=R,A={x|x -x>0},则 CU A ? ________.
2

【答案】[0,1]. 【命题立意】本题旨在考查集合的补集运算,考查概念的理解和运算能力,难度较小. 【解析】由题可得 A ? x x ? x ? 0 ? x x ? 1或 x ? 0 , CU A ? ?0,1? .
2

?

? ?

?

1-i 2. i 为虚数单位,计算 =________. 2-i 【答案】

3 1 ? i. 5 5

【命题立意】本题旨在考查复数的除法运算与概念,考查概念的理解能力,难度较小. 【解析】

1-i ?1-i ?? 2+i ? 3-i 3 i = = = - . 2-i ? 2-i ?? 2+i ? 5 5 5

3. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜 色不同的概率为________. 3 【答案】 . 5 【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用,考查概念的理解能力,数据的运算能力,难 度中等. 【解析】对红球和白球进行编号:红 1;红 2;红 3;白 1;白 2,则摸到的 2 球的可能性有 10 种:红 1,红 2;红 1,红 3;红 1,白 1;红 1,白 2;红 2,红 3;红 2,白 1;红 2,白 2;红 3,白 1;红 3,白 2;白 1,白 2;摸到的 2 球颜色不同的有 6 种:红 1,白 1;红 1, 3 白 2;红 2,白 1;红 2,白 2;红 3,白 1;红 3,白 2;故摸到的 2 球颜色不同的概率为 . 5

x-y≤2, ? ? 4. 已知实数 x,y 满足?x+y≤8,则 z=2x+y 的最小值是________. ? ?x≥1,
【答案】1. 【命题立意】本题旨在考查线性规划最值问题,考查数形结合思维,难度中等.

x-y≤2, ? ? 【解析】作出不等式组?x+y≤8,,其是由点 A ?1,7 ? , B ?1, ?1? , C ?5,3? 围成的三角形区域 ? ?x≥1, (包含边界) ,对于目标函数 z=2x+y,转化为直线 y ? ?2 x ? z ,过点 B ?1, ?1? 时, z 最小, 即 z ? 2 ?1 ? 1 ? 1 . 5. 阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是________.

(第 5 题图) 【答案】240. 【命题立意】本题旨在考查算法的当型流程图及其应用.考查运算和推理能力,难度较小.

n ? 2 ,S ? 30 , n ? 28 ; n ? 2 ,S ? 58 , 【解析】 根据算法的流程图, 当 n ? 30 , 当 n ? 28 ,

n ? 26 ; …, 当n ? 2, S ? 30 ? 28 ? 26 ? ? ? 2 ?

15 ? 30 ? 2 ? n ? 0. 输出 S ? 240 . ? 240 , 2

6. 已知向量 a=(-2,1),b=(1,0),则|2a+b|=________. 【答案】 13. 【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积,考查运算能力,难度较小. 【解析】 2a ? b ? ? ?3, 2 ? , 2a ? b ?

? ?

? ?

? ?3?

2

? 22 ? 13 .

7. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-log2x,则不等式 f(x)<0 的 解集是________. 【答案】(-2,0)∪(2,+∞). 【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质,不等式的运用,考查数形结合思维,难度中等.

【解析】当 x<0 时, f ? x ? ? ? f ? ?x ? ? log2 ? ?x ? ?1 , f(x)<0,即 log2 ? ? x ? ?1 ? 0 ,解得

?2 ? x ? 0 ;当 x>0 时,f(x)=1-log2x,f(x)<0,即1 ? log2 x ? 0 ,解得 x ? 2 ,综上所述,
不等式 f(x)<0 的解集是(-2,0)∪(2,+∞). 8. 设 b,c 表示两条直线,α ,β 表示两个平面,现给出下列命题: ①若 b?α ,c∥α ,则 b∥c; ②若 b?a,b∥c,则 c∥a; ③若 c∥α ,α ⊥β ,则 c⊥β ; ④若 c∥α ,c⊥β ,则 α ⊥β . 其中正确的命题是________.(写山所有正确命题的序号) 【答案】④. 【命题立意】本题旨在考查空间线面关系的判定与性质定理,考查推理运算能力,难度中等. 【解析】①b 和 c 可能异面,故①错;②c 可能 c?α ,故②错;③c 有可能 c∥β ,c?β , 故③错;④根据面面垂直的判定α ⊥β ,故④正确. 9. 以抛物线 y =4x 的焦点为焦点,以直线 y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为________. x y 【答案】 - =1. 1 1 2 2 【命题立意】本题旨在考查双曲线、抛物线的几何性质,考查概念的理解和运算能力,难度 较小.
2 2 2

x2 y 2 2 【解析】由题意设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,y =4x 的焦点为 ?1,0 ? ,则双曲线的焦 a b
点为 ?1,0 ? ;y=±x 为双曲线的渐近线,则 x y 故双曲线标准方程为 - =1. 1 1 2 2 10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍,若圆锥底面半径为 3 cm,则圆锥的体积是 ________cm . 【答案】3π . 【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质,考查概念的理解和运算能力,难度较小. 【解析】设圆锥的母线长为 R ,高为 h 。圆锥的侧面积等于 S侧 ?
3 2 2

b 1 1 ? 1 ,又因 a 2 ? b2 ? c2 ,所以 a 2 ? , b 2 ? , 2 2 a

1 2? ? 3 ? R ,圆锥底 2

?

?

面 面 积 为 S底 ? ?

? 3?

2

? 3? , 又 因 为 圆 锥 的 侧 面 积 等 于 底 面 面 积 的 2 倍 , 故

S侧 ?

1 2? ? 3 ? R = ? 6 , R=2 3 , h= R 2 ? 2

?

?

? 3?

2

?3 , 圆 锥 的 体 积 是

1 1 S 底 ? h ? ? 3? ? 3 ? 3? . 3 3
11. 函数 y=asin(ax+θ )(a>0,θ ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小 值为________. 【答案】2 π . 【命题立意】本题旨在考查三角函数的几何性质,基本不等式,考查概念的理解和运算能力, 难度较小. 【解析】取函数 y=asin(ax+θ )(a>0,θ ≠0)的最大值为 a ,周期为 T ?
2 2

2? ,所以同一周 a

期内相邻的最高点与最低点的距离为: ?

?? ? ?? ? 2 2 ? ? 4a ? 2 ? ? ? 4a ? 2 ? (当且仅当 ?a? ?a?

a?

?
2

时,等号成立) ,故答案为 2 π .

12. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3 【答案】 . 5

Sn n+1 a3 = ,则 =________. S2n 4n+2 a5

【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前 n 项和,考查学生的运算能力,难度中 等.

a ?a n ?1 2a1 Sn n+1 2 2 ? 1 n ? 【解析】由 = 可得, ,当 n ? 1 时, ? , S2n 4n+2 2n ? a1 ? a2 n ? a1 ? a2 n 2n ? 1 a1 ? a2 3 2

n ? a1 ? an ?

a2 ? 2a1 , d ? a2 ? a1 ? a1 ,
2

a3 a1 ? 2d 3a1 3 ? ? ? . a5 a1 ? 4d 5a1 5

x -x, x>0, ? ? 13. 函数 f(x)=?1 ?1 ? 若关于 x 的方程 f(x)=kx-k 至少有两个不相等的 -? +x?, x≤0, ? 2 2 ? ? ?
实数根,则实数 k 的取值范围为________. 1 【答案】[- ,1)∪(1,+∞). 3

【命题立意】本题旨在考查分段函数,函数与方程.考查概念的理解和运算能力,难度中等. 【解析】作函数图象可得,当 y ? kx ? k 过点 ? ?

1 ? 1 1? , ? 时,直线的斜率最小即 k ? ? ,当 3 ? 2 2?

直 线 y ? k x? k与 y ? x2 ? x ? x ? 0? 相 切 时 有 一 个 交 点 , k ? y' ? 1 , 故 函 数 f(x) =

x -x, x>0, ? ? 1 与 直线 y ? kx ? k 有两个不同的交点时, k 的取值范围为 [ - , ?1 ?1 ? 3 -? +x?, x≤0, ? ?2 ?2 ?
1)∪(1,+∞),即关于 x 的方程 f(x)=kx-k 至少有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值 1 范围为[- ,1)∪(1,+∞). 3 14. 由 sin 36°=cos 54°,可求得 cos 2 016°的值为________. 【答案】 ?

2

5 ?1 . 4

【命题立意】本题旨在考查三角函数值,诱导公式.考查概念的理解和运算能力,难度中等.
0 ? 【 解 析 】 由 sin 36 ° = cos 54 ° 得 s i n 3 6 0 2 s i0n 1 8 c ? os1 ?8 0

? c o? s 0即 36

18

?2 ? 22 ? 16 5 ?1 4sin 18 ? 2sin18 ? 1 ? 0 ,解得 sin18 ? , ? 2? 4 4
2 0 0

0

cos 20160 ? cos ? 5 ? 3600 ? 1440 ? ? cos ?1440 ? ? ? cos360 ? 2sin 2 180 ?1 ? ?

5 ?1 , 4

二、 解题题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图:四棱锥 PABCD 中,PD=PC,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB,点 M 是 CD 的中点. (1) 求证:AM∥平面 PBC; (2) 求证:CD⊥PA.

(第 15 题图) 【答案】 (1)略; (2)略.

【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定;考查空间想象能力和识 图能力,规范化书写表达能力,难度较小. 【解析】证明:(1) 在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,CD=2AB,点 M 是 CD 的中点, 由 AB∥CM,且 AB=CM, 所以四边形 ABCM 是平行四边形,且是矩形(3 分)

? ? ??故 AM∥平面 PBC, AM是平面PBC外一条直线,(6分)? ?
所以AM∥BC,(4分) 又因为BC?平面PBC,(5分) (2) 连接 PM,因为 PD=PC,点 M 是 CD 的中点,所以 CD⊥PM,(8 分) 又因为四边形 ABCM 是矩形,CD⊥AM,(9 分)

? ? PM?平面PAM,AM?平面PAM,(10分)??CD⊥平面 PAM.(12 分) ? PM∩MA=M,(11分) ?
CD⊥AM,CD⊥PM, 又因为 AP?平面 PAM,(13 分) 所以 CD⊥PA.(14 分) 16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,向量 m=(a-c,b+c),n=(b-c,a), 且 m∥n. (1) 求 B;

? π ? 3 39,求 a. (2) 若 b= 13,cos?A+ ?= 6? 26 ?
π 【答案】 (1)B= ; (2)1. 3 【命题立意】本题旨在考查向量的平行的运算,余弦定理,同角三角函数的基本关系,三角 变换,正弦定理;考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.能力,难度较小 【解析】 (1) 因为 m∥n,所以 a +c -b =ac,(2 分) 因为 cosB=
2 2 2

a2+c2-b2 ac 1 = = ,(4 分) 2ac 2ac 2

B∈(0,π )(5 分)
π 故 B= .(6 分) 3 π ?π 5π ? (2) 因为 A+ ∈? , ?,(7 分) 6 ? 6 ?6

? π ? 3 39,所以 sin?A+π ?=5 13,(9 分) cos?A+ ?= ? 6? 6? 26 ? ? ? 26
39 ?? π ? π ? 所以 sinA=sin??A+ ?- ?= ,(11 分) 6 ? 6 ? 26 ?? 在△ABC 中,由正弦定理可得: = ,(13 分) sinA sinB 解得 a=1.(14 分) 17. (本小题满分 14 分) 如图,某工业园区是半径为 10km 的圆形区域,离园区中心 O 点 5km 处有一中转站 P,现准备 在园区内修建一条笔直公路 AB 经过中转站,公路 AB 把园区分成两个区域. (1) 设中心 O 对公路 AB 的视角为 α ,求 α 的最小值,并求较小区域面积的最小值; (2) 为方便交通,准备过中转站 P 在园区内再修建一条与 AB 垂直的笔直公路 CD,求两条公 路长度和的最小值.

a

b

(第 17 题图)

【答案】 (1)α 的最小值为 km.

2π 3? 2 ? 2π ,较小区域面积的最小值是 50? (2)20+10 3 - ?km .; 3 2? ? 3

【命题立意】本题旨在考查导数在函数中的应用,考查学生的推理分析能力,难度中等. 【解析】(1) 如图 1,作 OH⊥AB,设垂足为 H,记 OH=d,α =2∠AOH, d 因为 cos∠AOH= ,(1 分) 10 要使 α 有最小值,只需要 d 有最大值,结合图像可得, d≤OP=5km,(3 分) 当且仅当 AB⊥OP 时,dmin=5km. 此时 α
min

π 2π =2∠AOH=2? = .(4 分) 3 3

设 AB 把园区分成两个区域,其中较小区域面积记为 S, 根据题意可得:S=f(α )=S 扇形-S△AOB=50(α -sinα ),(6 分) f′(α )=50(1-cosα )≥0 恒成立,f(α )为增函数,(7 分)

所以 Smin=f?

3? 2 ?2π ?=50?2π ? ? - ?km .(8 分) ? 3 ? 2? ? 3

2π 3? 2 ?2π 答:视角的最小值为 ,较小区域面积的最小值是 50? - ?km .(9 分) 3 2 ? ? 3

(第 17 题图 1) (2) 如图 2,分别过 O 分别作 OH⊥AB,OH1⊥CD 垂足分别是 H,H1, 记 OH=d,OH1=d2,由(1)可知 d1∈[0,5] 所以 d1+d2=OP =25,且 d2=25-d1(10 分) 因为 AB=2 100-d1,CD=2 100-d2, 所以 AB+CD=2( 100-d1+ 100-d2)=2( 100-d1+ 75+d1),(11 分) 记 L(d1)=AB+CD=2( 100-d1+ 75+d1), 可得 L (d1)=4[175+2 (100-d1)(75+d1)], (12 分) 由 d1∈[0,25],可知 d1=0,或 d1=25 时,L (d1)的最小值是 100(7+4 3), 从而 AB+CD 的最小值是 20+10 3 km.(13 分) 答:两条公路长度和的最小值是 20+10 3 km.(14 分)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(第 17 题图 2) 18. (本小题满分 16 分) x y 3 已知在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,左顶点为 A(-3,0), a b 2 圆心在原点的圆 O 与椭圆的内接三角形△AEF 的三条边都相切. (1) 求椭圆方程; (2) 求圆 O 方程; (3) B 为椭圆的上顶点,过 B 作圆 O 的两条切线,分别交椭圆于 M,N 两点,试判断并证明直 线 MN 与圆 O 的位置关系.
2 2

(第 18 题图) x y 2 2 【答案】 (1) + =1; (2)x +y =1; (3)直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切. 9 9 4 【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质;圆的方程,直线与圆的位置 关系;考查运算能力,难度中等. c 3 3 3 【解析】 (1) 由题意可知 = ,a=3,得:c= ,(2 分) a 2 2 9 2 2 2 2 因为 a =b +c ,所以 b = ,(3 分) 4 x y 故椭圆的标准方程是: + =1.(4 分) 9 9 4 (2) 设直线 AE 的方程:y=k(x+3),点 E(x1,y1), x y ? ? 9 + 9 =1, 由? 可得(4k +1)x +24k x+36k -9=0.(5 分) 4 ? ?y=k(x+3),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

24k 3-12k 6k 因为-3+x1=- 2 ,得 x1= 2 ,代入直线 y=k(x+3),得 y1= 2 , 4k +1 4k +1 4k +1

2

2

?3-12k , 6k ?,(7 分) 所以 E? 2 2 ? ? 4k +1 4k +1?
6k ? ?3-12k , - 同理可得 F? 2 2 ?,(9 分) ? 4k +1 4k +1? 根据条件可知圆心 O 到直线 AE 的距离等于圆心 O 到直线 EF 的距离. 可得 |3k|
2 2 2

2

3-12k 1 2 =| 2 |=r,解之得 k = ,(10 分) 2 4k + 1 8 k +1
2 2

从而 r =1,所以圆 O 的方程为:x +y =1.(11 分) 3 (3) 设直线 BM 的方程为 y=kx± ,因为直线 BM 与圆 O 相切, 2 所以 d=r,解得 k=± 当 k= 5 ,(14 分) 2

5 5 3 ,lBM:y= x+ , 2 2 2

? 由? 5 3 ?y= 2 x+2

x y + =1 9 9 2 4 ,解得 x + 5x=0.(11 分)

2

2

所以 M(- 5,-1),(12 分) 同理可得 N( 5,-1).(13 分) 可得直线 MN 方程是:y=-1,(15 分) 直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切.(16 分) 【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. 19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an)的各项都为自然数,前 n 项和为 Sn,且存在整数 λ ,使得对任意正整数 n 都有 Sn=(1+λ )an-λ 恒成立. (1) 求 λ 值,使得数列{an)为等差数列,并求数列{an)的通项公式;
j

(2) 若数列{an}为等比数列,此时存在正整数 k,当 1≤k<j 时,有∑ ai=2 016,求 k. i=k 【答案】 (1)λ =0 时, an=0.; (2)6. 【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质、通项、求和、简单递推;考查考查 分析探究能力,难度较大. 【解析】 (1) (法一):因为 Sn=(1+λ )an-λ , ① 所以 Sn+1=(1+λ )an+1-λ , ② ②-①得:λ an+1=(1+λ )an, ③(2 分) 当 λ =0 时,an=0,数列{an}是等差数列.(4 分) 当 λ ≠0 时,a1=(1+λ )a1-λ ,a1=1,且 an+1-an= 1 an, ④ λ

1 要使数列{an}是等差数列,则④式右边 an 为常数,即 an+1=an 为常数, λ ④式左边 an+1-an=0,an=0,又因为 a1=1,矛盾!(6 分) 综上可得:λ =0 时,数列{an}为等差数列,且 an=0.(7 分) (法二):若数列{an}是等差数列,必有 2a2=a1+a3, 当 λ =0 时,a1=a2=a3=0,满足 2a2=a1+a3,(1 分) 此时 Sn=an,从而 Sn+1=an+1,(3 分)

故 an=0,(4 分) 1 ?2 1 ? ,a3=?1+ ? ,(5 分) λ ? λ ?

当 λ ≠0 时,a1=1,a2=1+

1? 1 ?2 ? ? 由 2a2=a1+a3,得 2?1+ ?=1+?1+ ? ,该方程无解,(6 分) ? λ ? ? λ ? 综上可得:λ =0 时,数列{an}为等差数列,其中 an=0.(7 分) (2) 当(1)可得:当 λ =0 时,不是等比数列,(8 分) 当 λ =-1 时,由①得 Sn=1,则 a1=S1=1, an=Sn-Sn-1=0(n≥2),不是等比数列.(9 分) an+1 1 1 当 λ ≠0,且 λ ≠-1 时,得 =1+ ,{an}为公比是 q=1+ 等比数列,(10 分) an λ λ 1 又对任意 n,an∈N,则 q=1+ ∈N, λ 故仅有 λ =1,q=2 时,满足题意,又由(1)得 a1=1,故 an=2
j 2 因为∑ ai= i=k
k-1

n-1

.(11 分)

(2 -1) =2 016, 2-1 -1)=2 016=2 ?3 ?7,(13 分) -1 为大于 1 的奇数,2
j-5 k-1 5 2

j-k+1

所以 2

k-1

(2

j-k+1

j-k+1≥2,2 则2
j-5 2

j-k+1

=2 ,k=6,(15 分)
j

5

-1=3 ?7,2

=64,j=11,故仅存在 k=6 时,j=11,∑ ai=2 016.(16 分) i=k

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=[ax -(2a+1)x+2a+1]e . (1) 求函数 f(x)的单调区间; (2) 设 x>0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b
2a-1 2 x

1 ea恒成立,求正数 b 的范围.

【答案】 (1)当 a=0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞); 1? ?1 ? ? 当 a<0 时,函数 f(x)的增区间是? ,0?,减区间是(0,+∞),?-∞, ?;当 a>0 时,函数 a? ?a ? ?

?1 ? ? 1? (2)当 2<m≤4 时,0<b≤ 2;当 m>4 f(x)的增区间是(-∞,0)? ,+∞?,减区间是?0, ?; a ? ? ? a?
1 时,0<b≤mm. 【命题立意】本题旨在考查利用导数求函数的单调区间,考查分类讨论思想,转化思想;难 度中等. 【解析】 (1) f′(x)=(ax -x)e =x(ax-1)e .(1 分)
2 x x

若 a=0,则 f′(x)=-xe ,令 f′(x)>0,则 x<0;令 f′(x)<0,则 x>0; 1 1 若 a<0,由 f′(x)>0,得 <x<0;由 f′(x)<0,得 >x 或 0<x; a a 1 1 若 a>0,由 f′(x)<0,得 0<x< ;由 f′(x)>0,得 x> 或 x<0; a a 综上可得: 当 a=0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞);(3 分) 1? ?1 ? ? 当 a<0 时,函数 f(x)的增区间是? ,0?,减区间是(0,+∞),?-∞, ?;(5 分) a? ?a ? ?

x

?1 ? ? 1? 当 a>0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0)? ,+∞?,减区间是?0, ?(7 分) ?a ? ? a? ?1? (2) 因为 2a∈[3,m+1],由(1)x∈(0,+∞)上函数 f(x)的最小值是 f? ?. ?a?
1 因为 f(x)≥b
2a-1

ea恒成立,
1

?1? 2a-1 所以 f? ?≥b ea恒成立,(8 分) ?a?
1 1 2a-1 2a-1 所以 ea(2a-1)≥b ea恒成立,即 2a-1≥b 恒成立.(9 分) 由 2a∈[3,m+1],令 2a-1=t∈[2,m],则 t≥b ,所以 lnb≤
t

lnt
t

=g(t),(10 分)

1-lnt 由 g′(t)= ,可知函数 g(t)在(0,e)上递增;(e,+∞)上递减,且 g(2)=g(4).(11 2 t 分) 当 2<m≤4 时,g(t)min=g(2)=

ln2
2

,从而 lnb≤

ln2
2

,解得 0<b≤ 2;(13 分)

当 m>4 时,g(t)min=g(m)=

lnm
m

,从而 lnb≤

lnm
m

1 ,解得 0<b≤mm,(15 分)

1 故:当 2<m≤4 时,0<b≤ 2;当 m>4 时,0<b≤mm(16 分)

镇江市 2016 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题每小题 10 分,共 40 分.考试用时 30 分钟. 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.解答时 ...... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4—1:几何证明选讲 在直径是 AB 的半圆上有两点 M,N,设 AN 与 BM 的交点是 P. 求证:AP?AN+BP?BM=AB .
2

(第 21—A 题图) 【答案】略. 【命题立意】本题旨在考查圆的几何性质,圆周角的关系.考查运算求解能力,难度较小. 【解析】证明:作 PE⊥AB 于 E, 因为 AB 为直径, 所以∠ANB=∠AMB=90°(2 分) 所以 P,E,B,N 四点共圆,P,E,A,M 四点共圆.(6 分)
? ?AE?AB=AP?AN ? ?BE?AB=BP?BM ?

(1) (8 分) (2)

(1)+(2)得 AB(AE+BE)=AP?AN+BP?BM(9 分) 即 AP?AN+BP?BM=AB (10 分)
2

(第 21 题 A 图) B. 选修 4—2:矩阵与变换 求矩阵?

?3 1? ?的特征值及对应的特征向量. ?1 3?

【答案】属于 λ 1=2 的一个特征向量为?

?1 ? ?1? ?,属于 λ 1=4 的一个特征向量为? ?. ?-1? ?1?

【命题立意】本题旨在考查矩阵特征值与特征向量的运算.考查运算求解能力,难度较小. 【解析】特征多项式 f(λ )=| λ -3 -1 -1 λ -3 |=(λ -3) -1=λ -6λ +8(3 分)
2 2

由 f(λ )=0,解得 λ 1=2,λ 2=4(6 分)
? ?-x-y=0, 将 λ 1=2 代入特征方程组,得? ?-x-y=0 ?

?x+y=0,可取?

?1 ? ?为属于特征值 λ 1=2 的一个特征向量(8 分) ?-1?

? ?x-y=0, 同理,当 λ 2=4 时,由? ?x-y=0, ?-x+y=0 ?

?1? 所以可取? ?为属于特征值 λ 2=4 的一个特征向量. ?1?
综上所述,矩阵?

? 2 1 ? 1 2

? ?有两个特征值 λ 1=2,λ 2=4; ? ?1 ? ?1? ?,属于 λ 1=4 的一个特征向量为? ?,(10 分) ?-1? ?1?

属于 λ 1=2 的一个特征向量为?

C. 选修 4—4:坐标系与参数方程
? π? ?x=2cos θ , ? 已知直线 l 的极坐标方程为 ρ sin?θ - ?=3, 曲线 C 的参数方程为? (θ 为参 3? ? ?y=2sin θ ?

数),设 P 点是曲线 C 上的任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 【答案】5. 【命题立意】本题旨在考查参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离.考查运算能力和 转化能力,难度较小. π? ? 【解析】由 ρ sin?θ - ?=3,可得: 3? ? 3 ?1 ? ρ ? sinθ - cosθ ?=3 2 2 ? ? 所以 y- 3x=6 即: 3x-y+6=0(3 分)

由?

?x=2cosθ ? ? ?y=2sinθ

得 x +y =4,圆的半径为 r=2(6 分)

2

2

6 所以圆心到直线 l 的距离 d= =3(8 分) 2 所以,P 到直线 l 的距离的最大值为 d+r=5.(10 分) D. 选修 4—5:不等式选讲 设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:x+ 【答案】略. 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及其应用.考查运算求解能力,难度较小. 【解析】证明:x-y+ = 4 4 2=(x-y)+ 2(3 分) x -2xy+y (x-y)
2

4

x2-2xy+y2

≥y+3.

x-y x-y
2 + 2



4 2,(5 分) (x-y)

因为 x>y,x-y>0, 所以

x-y x-y
2 + 2

4 + 2 (x-y)

≥3

3 x-y x-y 4 ? ? 2=3, 2 2 (x-y)

当且仅当

x-y x-y
2 =

4 = 2取等号,此时 x-y=2.(10 分) 2 (x-y)

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1E=CF=1. (1) 求两条异面直线 AC1 与 BE 所成角的余弦值; (2) 求直线 BB1 与平面 BED1F 所成角的正弦值.

(第 22 题图) 【答案】 (1) 39 3 14 ; (2) . 39 14

【命题立意】本题旨在考查空间直角坐标系的建立,空间向量的应用,空间异面直线所成角、 线面所成角的求解与应用等.考查空间想象能力和识图能力,难度中等. 【解析】(1) 以 D 为原点,建立空间直角坐标系 Dxyz,如图所示,

(第 22 题图)

→ 则 A(3,0,0),C1(0,3,3),AC1=(-3,3,3), → B(3,3,0),E(3,0,2),BE=(0,-3,2).(2 分) → → AC1?BE -9+6 39 → → 所以 cos〈AC1,BE1〉= = =- , → → 39 |AC1||BE| 3 3? 13 故两条异面直线 AC1 与 BE 所成角的余弦值为 39 .(5 分) 39

→ → (2) B(3,3,0),BE=(0,-3,2),D1E=(3,0,-1). 设平面 BED1F 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ?n?D ? ? 1E=0, ?3x-z=0, 由? 得? ?-3y+2z=0, ?n?→ BE=0, ? ? 所以?
?y=2x, ? ? ?z=3x

则 n=(x,2x,3x),不妨取 n=(1,2,3),

设直线 BB1 与平面 BED1F 所成角为 α ,则 9 3 14 → sinα =|cos〈BB1,n〉|=| |= .(9 分) 14 3? 14 3 14 所以直线 BB1 与平面 BED1F 所成角正弦值为 (10 分) 14 23. (本小题满分 10 分) 证明:对一切正整数 n,5 +2?3 【答案】略.
n n-1

+1 能被 8 整除.

【命题立意】本题旨在考查数学归纳法.难度较小. 【解析】(1) 当 n=1 时,能被 8 整除,(2 分) (2) 假设当 n=k,(k≥2,k∈N ,结论成立,)(2 分) 则 5 +2?3
k k-1
*

+1 能被 8 整除,设 5 +2?3
k+1 k k

k

k-1

+1=8m,m∈N , +1)-4?3
k-1

*

当 n=k+1 时,5 =5(5 +2?3
k k-1

+2?3 +1=5(5 +2?3
k-1

k-1

-4

+1)-4?(3
*

+1)(7 分)
*

而当 k≥2,k∈N 时 3 故5
k+1 k

k-1

+1 显然为偶数,设为 2t,t∈N ,
k-1

+2?3 +1=5(5 +2?3

k

+1)-4?(3

k-1

+1)=40m-8t(m,t∈N ),

*

也能被 8 整除,故当 n=k+1 时结论也成立; 由(1)(2)可知对一切正整除 n,5 +2?3
n n-1

+1 能被 8 整除.(10 分)


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