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1.4.2 诱导公式五、六练习题


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
【课标要求】

1.了解三角函数的周期性和奇偶性.
2 .借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π] 上的性质 ( 单调 性、最值、图象与x轴的交点等). 3.能利用性质解决一些简单问题. 【核心扫描】 1.求f(x)=Asin (ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)的周期;求简单三角 函数的值域

或最值;利用 y=sin x,y=cos x的单调性比较大 小.(重点)

2.判断三角函数的奇偶性;求y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)
的单调区间.(难点)
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新知导学 1.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) .这个函数

的周期为 T .
(2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最 小的 正数 ,那么这个最小 正数 就叫做f(x)的 最小正周期 . 温馨提示:在周期函数y=f(x)中,T是周期,若x是定义域内的 一个值,则x+kT(x∈Z,且x≠0)也一定属于定义域,因此周期

函数的定义域一定是无限集,而且定义域一定无上界或者无下
界.
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2.正、余弦函数的性质
函数 y=sin x y=cos x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性

x∈R y∈[-1,1]
最小正周期 2π 奇函数

x∈R
y∈[-1,1]
最小正周期 2π 偶函数

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? π π? 在?2kπ-2,2kπ+2? ? ?

单调性

(k∈Z)上递增;
? π 3 ? 在?2kπ+2,2kπ+2π? ? ?

在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上递增;在[2kπ, 2kπ+π](k∈Z)上递减

(k∈Z)上递减 π x=2kπ(k∈Z)时, x=2+2kπ(k∈Z)时,ymax=1; ymax=1; π x=-2+2kπ(k∈Z)时,ymin= x=π+2kπ(k∈Z)时, -1 ymin=-1

最值

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温馨提示:判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点

对称,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而作出判
断. 互动探究 探究点1 由于sin(30°+120°)=sin 30°,则120°是函数y=sin x的一个周期吗? 提示 不是.因为对于函数y=f(x),使f(x+T)=f(x)成立的x必须

取定义域内的每一个值才可以,即x须具有任意性.

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探究点2 是否所有的周期函数都有最小正周期?

提示

不是.如常数函数f(x)=5,所有的非零实数T都是它的

周期,而没有最小正周期. 探究点3 正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗?

提示

正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数,另

外,正弦函数在第一象限是增函数这种说法是错误的,因为在 第一象限,即使是终边相同的角,它们也能相差 2π 的整数 倍. 探究点4 当ω<0时,应如何求y=Asin(ωx+φ)的单调区间? 提示 可先运用诱导公式将其化为 y =- Asin( - ωx - φ) ,则 y = Asin( - ωx - φ) 的增区间即为原函数的减区间,其减区间为 原函数的增区间.
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类型一 正、余弦函数的周期性 【例 1】 求下列函数的周期:
? π? (1)y=sin?2x+3?(x∈R); ? ?

(2)y=|sin 2x|(x∈R).
π [思路探索] 解答本题(1)可利用代换 z=2x+3, 将求原来函数的 2π 周期转化为求 y=sin z 的周期再求解,或利用公式 T=|ω|求解; (2)可通过图象求周期.
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解 (1)法一

π 令 z=2x+3,∵x∈R,∴z∈R.

函数 f(x)=sin z 的最小正周期是 2π, 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z+2π, 函数 f(x)=sin z(Z∈R)的值才能重复取得, π π 而 z+2π=2x+3+2π=2(x+π)+3,所以自变量 x 只要且至少 要增加到 x+π, 函数值才能重复取得, 从而函数 (x∈R)的周期是 π.
? π? f(x)=sin?2x+3? ? ?

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法二

? π? 2π ? ? f(x)=sin 2x+3 的周期为 2 =π. ? ?

(2)作出 y=|sin 2x|的图象.

π 由图象可知,y=|sin 2x|的周期为2.

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[规律方法]

(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期,关键

是抓住变量“x”增加到“x+T”时函数值重复出现, 则可得 T 是 函数的一个周期. (2)常见三角函数周期的求法: ①对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),ω≠0(或 y=Acos(ωx+φ), 2π ω≠0 的周期求法通常用公式 T=|ω|来求解. ②对于形如 y=|Asin ωx|(或 y=|Acos ωx|)的周期情况常结合图 象法来解决.

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【活学活用 1】 求下列函数的最小正周期.
? x π? 1 (1)y=cos 2x;(2)y=sin 2x;(3)y=2sin?3-6?. ? ?

解 (1)定义法:令 u=2x,则 cos 2x=cos u 是周期函数,且最 小正周期为 2π. ∴cos(u+2π)=cos u,则 cos(2x+2π)=cos 2x, 即 cos[2(x+π)]=cos 2x. ∴cos 2x 的最小正周期为 π. 2π 公式法:∵ω=2,∴T=|ω|=π,故 y=cos 2x 的周期为 π.

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1 1 (2)如果令 u=2x,则 sin 2x=sin u 是周期函数,且最小正周期 为 2π.
?1 ? x ? ? ∴sin 2x+2π =sin2,即 ? ? ?1 ? sin?2?x+4π??=sin ? ?

1 2x.

1 ∴y=sin 2x 的最小正周期是 4π.
?x π ? ? x π? (3)∵2sin?3-6+2π?=2sin?3-6?, ? ? ? ?



?1 ? x π? π? 2sin?3?x+6π?-6?=2sin?3-6?. ? ? ? ?

? x π? ∴y=2sin?3-6?的最小正周期是 ? ?
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6π.
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类型二

正、余弦函数奇偶性的判断

【例 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?; ? ?

(2)f(x)= 2sin x-1; (3)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x); (4)f(x)= 1-cos x+ cos x-1.

[思路探索] 本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性,先看定 义域,再看f(-x)与f(x)的关系.

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(1)函数定义域为 R,且 f(x)=

? 5 ? 2sin?2x+2π?= ? ?

? π? 2sin?2x+2? ? ?

= 2cos 2x,显然有 f(-x)=f(x)恒成立. ∴函数 f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?为偶函数. ? ?

1 (2) 由 2sin x - 1>0 , 即 sin x> 2 , 得 函 数 定 义 域 为
? π 5 ? ?2kπ+ ,2kπ+ π?(k∈Z),此定义域在 6 6 ? ?

x 轴上表示的区间不关

于原点对称. ∴该函数不具有奇偶性,为非奇非偶函数.
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(3)函数定义域为 R. f(-x)=lg(-sin x+ 1+sin2x) 1 =lg sin x+ 1+sin2x =-lg(sin x+ 1+sin2x) =-f(x), ∴函数 f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x)为奇函数.
? ?1-cos x≥0, (4)由? ? ?cos x-1≥0

得 cos x=1,

∴x=2kπ(k∈Z),此时 f(x)=0, 故该函数既是奇函数又是偶函数.
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[规律方法] 判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原
点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函 数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.

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【活学活用 2】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x-sin2x; x2+cos x (2)f(x)= 2 . x -cos x 解 (1) ∵ sin4x - cos4x + cos2x - sin2x = (sin2x + cos2x)· (sin2x -
cos2x)+cos2x-sin2x=0, ∴该函数既是奇函数,又是偶函数. (2)∵函数 y=x2,y=cos x 的图象都关于 y 轴对称, 则 x2≠cos x 的解集关于原点对称, ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间, ?-x?2+cos ?-x? x2+cos x 又 f(-x)= = =f ( x ) , ?-x?2-cos ?-x? x2-cos x ∴该函数是偶函数.
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类型三 正、余弦函数的单调性 【例 3】 求函数
?π ? y=2sin?4-x?的单调递增区间. ? ?

π [思路探索] 令 z=x-4,借助 y=sin x 的单调性求解.

?π ? ? π? y=2sin?4-x?=-2sin?x-4?, ? ? ? ?

π 令 z=x-4,则 y=-2sin z. 因为 z 是 x 的一次函数,所以要求 y=-2sin z 的递增区间, π 3π 即求 sin z 的递减区间,即 2kπ+2≤z≤2kπ+ 2 (k∈Z).
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π π 3π ∴2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z), 3π 7π 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), ∴函数
?π ? y=2sin?4-x?的递增区间为 ? ?

? 3π 7π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ?

[规律方法] 用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+ φ)的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,先利用诱导公式 将x的系数变为正数再求其单调区间.再将最终结果写成区间形

式.
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【活学活用 3】 求下列函数的单调递增区间:
?π ? (1)y=1+2sin?6-x?; ? ?

(2)y=log1 cos x. 2



?π ? ? π? (1)y=1+2sin?6-x?=1-2sin?x-6?. ? ? ? ?

π 令 u=x-6,则根据复合函数的单调性知,所给函数的单调递 增区间就是 y=sin u 的单调递减区间, π 3 即 2kπ+2≤u≤2kπ+2π(k∈Z),

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π π 3π 亦即 2kπ+2≤x-6≤2kπ+ 2 (k∈Z). 2 5 亦即 2kπ+3π≤x≤2kπ+3π(k∈Z), 故函数
?π ? ? 2 5 ? y=1+2sin?6-x?的单调递增区间是?2kπ+3π,2kπ+3π? ? ? ? ?

(k∈Z). π π (2)由 cos x>0,得 2kπ-2<x<2kπ+2,k∈Z. 1 ∵2<1,∴函数 y=log1 cos x 的单调递增区间即为 u=cos x,x 2
? π π? ∈?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)的递减区间, ? ?
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π ∴2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z. 故函数 y=log1 2cos x 的单调递增区间为
? π? ?2kπ,2kπ+ ?(k∈Z). 2? ?

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类型四 正、余弦函数的最值(值域)问题 【例 4】 (1)求函数 y=3-2sin x 取得最大值、最小值时的自变量 x 的集合,并分别写出最大值、最小值;
?π 5π? 1 (2)求函数 f(x)=2sin x+2sin x-2,x∈?6, 6 ?的值域. ? ?
2

[思路探索] (1)当sin x=-1时y取得最大值,sin x=1时y取得最小
值,对应求出y的最值和x的取值即可. (2)采用换元法解题,转化为二次函数在闭区间上的值域问题.

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3π (1)∵-1≤sin x≤1,∴当 sin x=-1,即 x=2kπ+ 2 ,k

∈Z 时,y 取得最大值 5,相应的自变量 x 的集合为
? ? ? 3π ?x?x=2kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ?

.

π 当 sin x=1,即 x=2kπ+2,k∈Z 时,y 取得最小值 1,相应的 自变量 x
? ? ? π 的集合为?x?x=2kπ+2,k∈Z? ? ? ?

.

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(2)令 t=sin

?π 5π? x,y=f(t),∵x∈?6, 6 ?, ? ?

1 1 ∴2≤sin x≤1,即2≤t≤1.
? 1?2 1 7 ? ? ∴y=2t +2t-2=2 t+2 -1,∴1≤y≤2, ? ?
2

∴函数

? 7? f(x)的值域为?1,2?. ? ?

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[规律方法]

(1)形如y=asin x+b(或y=acos x+b)的函数的最值

或值域问题,利用正、余弦函数的有界性(-1≤sin x,cos x≤1)
求解.求三角函数取最值时相应自变量 x的集合时,要注意考虑 三角函数的周期性. (2)求解形如y=asin2x+bsin x+c(或y=acos2x+bcos x+c),x∈D 的函数的值域或最值时,通过换元,令t=sin x(或cos x),将原函 数转化为关于 t 的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求 解过程中要注意t=sin x(或cos x)的有界性.

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【活学活用 4】 求下列函数的值域. cos x 2sin x cos2 x (1)y= ;(2)y= . 2cos x+1 1+sin x
解 cos x (1)由 y= 可得(1-2y)cos x=y. 2cos x+1

y ? 1? ?y≠ ?.∵|cos x|≤1,∴cos2x≤1. cos x= 1-2y? 2? y2 1 2 即 2≤1,从而 3y -4y+1≥0,∴y≤ 或 y≥1. 3 ?1-2y?
? 1? cos x 故函数 y= 的值域为?-∞,3?∪[1,+∞). 2cos x+1 ? ?

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2sin x?1-sin2x? (2)y= =2sin x(1-sin x) 1+sin x
? =-2?sin ?

1?2 1 x-2? + . 2 ?

1 ∵-1<sin x≤1,∴-4<y≤2.
? 1? 2sin xcos2x ∴函数 y= 的值域为?-4,2?. 1+sin x ? ?

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易错辨析 忽视正、余弦函数的有界性致误 1 【示例】 设 sin x+sin y=3,求 M=sin x-cos2y 的最值. 1 [错解] 由题意,得 sin x=3-sin y,
1 ∴M=3-sin y-cos2 y 2 =sin y-sin y-3
2

? =?sin ?

1?2 11 y-2? - , 12 ?

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1 11 则当 sin y=2时,Mmin=-12; 4 当 sin y=-1 时,Mmax=3. 4 [错因分析] 若将 sin y=-1 代入已知条件,得 sin x=3,这是不 可能的.错误的原因在于消去 sin x 后,忘记了 sin x 对 sin y 的取 值有制约作用. 1 [正解] 由题意,得 sin x=3-sin y.

由 sin x∈[-1,1],得 1 ? ?-1≤ -sin y≤1, 2 3 ? 解得-3≤sin y≤1. ? ?-1≤sin y≤1,
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1 ∴M=3-sin y-cos2y 2 =sin y-sin y-3
2

? =?sin ?

1?2 11 y-2? - , 12 ?

1 11 则当 sin y=2时,Mmin=-12; 2 4 当 sin y=-3时,Mmax=9.

[防范措施] 要注意正、余弦函数的有界性,解题时千万不能忽略 转化后的条件限制而扩大取值范围导致错误.
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课堂达标 1.函数 2π A. 5
?2 π? y=3cos?5x-6?的最小正周期是( ? ?

).

5π B. 2

C.2π D.5π

2π 解析 根据公式,得 T= 2 =5π. 5 答案 D

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2.函数

? π? f(x)=sin?x+6?的一个递减区间是( ? ?

).

? π π? A.?-2,2? ? ? ? 2 2 ? C.?-3π,3π? ? ?

B.[-π,0]
?π 2 ? D.?2,3π? ? ?

π π 3 π 4 解析 由2≤x+6≤2π 解得3≤x≤3π.故选 D.
答案 D

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3.函数
解析

?3 ? f(x)=sin?2π+x?的奇偶性是________. ? ?
?3 ? f(x)=sin?2π+x?=-cos ? ?

x,而 cos x 为偶函数,故-cos x

也为偶函数.
答案 偶函数

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4.函数
解析

? π?? π π? y=2sin?2x+3??-6≤x≤6?的值域是________. ? ?? ?

π π ∵-6≤x≤6,

π 2π ∴0≤2x+3≤ 3 .
? π? ∴0≤sin?2x+3?≤1,∴y∈[0,2]. ? ?

答案 [0,2]

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x 5.(1)求函数 y=2-cos3的最大值和最小值,并分别写出使这个 函数取得最大值和最小值的 x 的集合; (2)求函数 y=cos x-4cos
2

?π 2 ? x+1,x∈?3,3π?的值域. ? ?



x (1)令 z=3,∵-1≤cos z≤1,∴1≤2-cos z≤3,

x ∴y=2-cos 3的最大值为 3,最小值为 1. 当 z=2kπ,k∈Z 时,cos z 取得最大值,2-cos z 取得最小值, x 又 z=3,故 x=6kπ,k∈Z.
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x ∴使函数 y=2-cos 3取得最小值的 x 的集合为{x|x=6kπ,k∈ x Z};同理,使函数 y=2-cos 3取得最大值的 x 的集合为{x|x= 6kπ+3π,k∈Z}.
?π 2 ? 1 ? ? , π (2)∵x∈ 3 3 ,∴-2≤cos ? ?

1 x≤2.

∵y=cos2x-4cos x+1=(cos x-2)2-3, 1 13 ∴当 cos x=-2时,ymax= 4 ; 1 3 当 cos x=2时,ymin=-4, ∴y=cos x-4cos x+1
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2

? 3 13? 的值域为?-4, 4 ?. ? ?
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课堂小结 1.三角函数周期的求解方法 (1)定义法:根据周期函数的定义求解. (2)公式法:对 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 是常 2π 数,且 A≠0,ω≠0),T=|ω|. (3)观察法(图象法):画出对应函数的图象,观察图象得出其周 期.

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2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义

域,看它是否关于原点对称.
3 .确定函数 y = Asin(ωx + φ)(A>0 , ω>0) 单调区间的方法:采用 “换元”法整体代换,将 ωx + φ 看作一个整体,可令“ z =ωx + φ”,即通过求 y = Asin z 的单调区间而求出函数的单调区 间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数. 4.求三角函数值域或最值的常用求法 将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用

换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围.

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