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2013高考数学练习题---文科导数


2013 高考数学练习题---文科导数
1.【2012 高考重庆文 8】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

【答案】C 【解析】:由函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值可知 x ? ?2 , f

?( x) ? 0 ,则 xf ?( x) ? 0 ;

x ? ?2 , f ?( x) ? 0 则 ?2 ? x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 , x ? 0 时 xf ?( x) ? 0
【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2.【2012 高考浙江文 10】设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 A. 若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B. 若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C. 若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D. 若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 【答案】A 【命题意图】 本题主要考查了函数复合单调性的综合应用, 通过构造法技巧性方法确定函数 的单调性. 【 解 析 】 若 e a ? 2a ? eb ? 3b , 必 有 e a ? 2a ? eb ? 2b . 构 造 函 数 : f ? x ? ? ex ? 2x , 则
f ? ? x ? ? e x ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? ex ? 2x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余

选项用同样方法排除.

3.【2012 高考陕西文 9】设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则 x
B.x=





1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 【答案】D.

D.x=2 为 f(x)的极小值点

【解析】 f ' ? x ? ? ?

2 1 x?2 ? ? 2 ,令 f ' ? x ? ? 0 ,则 x ? 2 . x2 x x 2 1 x?2 ? 0; 当 x ? 2 时, f ' ? x ? ? ? 2 ? ? x x x2 2 1 x?2 ? 0. 当 x ? 2 时, f ' ? x ? ? ? 2 ? ? x x x2
即当 x ? 2 时, f ? x ? 是单调递减的;当 x ? 2 时, f ? x ? 是单调递增的. 所以 x ? 2 是 f ? x ? 的极小值点.故选 D.

4.【2012 高考辽宁文 8】函数 y= (A)( ? 1,1] 【答案】B

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
(C.)[1,+∞) (D)(0,+∞)

(B)(0,1]

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题。 【解析】? y ? 选B 5.【2102 高考福建文 12】已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc, a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0) f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C. 考点:导数。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来 做。 解答: f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,
3 2

1 2 1 x ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1,故 2 x

f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9

? 3( x 2 ? 4 x ? 3) ? 3( x ? 1)( x ? 3)
导数和函数图像如下:

f ' ( x)

( a ,0)

(b,0)

( c,0)

f ( x)

x ?1

x?3

由图 f (1) ? 1 ? 6 ? 9 ? abc ? 4 ? abc ? 0 ,

f (3) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ? ?abc ? 0 ,
且 f (0) ? ?abc ? f (3) ? 0 , 所以 f (0) f (1) ? 0, f (0) f (3) ? 0 。 6.【2012 高考辽宁文 12】已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,
2

过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 【答案】C 【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求 法,属于中档题。 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4,? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2. 由 x ? 2 y , 则y ?
2

(B) 3

(C)

?4

(D)

?8

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4,? 2,所以 2

过点 P, Q 的抛物线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起, 这是写出切线方程的关键。 7.【2012 高考新课标文 13】曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 【答案】 y ? 4 x ? 3

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 . 8. 【2012 高考上海文 13】 已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC , 其中 A(0, 0) 、B ( ,1) 、

1 2

C (1, 0) ,函数 y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为
【答案】

1 。 4

1 ? 2 x, 0 ? x ? ? ? 2 【解析】根据题意,得到 f ( x) ? ? , 1 ??2 x ? 2, ? x ? 1 ? ? 2 1 ? 2 2 x ,0 ? x ? ? ? 2 y ? xf ( x) ? ? 所 以 围 成 的 面 积 为 ?? 2 x 2 ? 2 x , 1 ? x ? 1 ? 2 ?
1

从 而 得 到

S ? ? 2 2 xdx ? ?1 (?2 x 2 ? 2 x)dx ?
0 2

1

1 1 ,所以围成的图形的面积为 . 4 4

【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图 形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的 能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大. 9【2102 高考北京文 18】(本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以 及最值问题都是果本中要求的重点内容。 也是学生掌握比较好的知识点, 在题目占能够发现

F (?3) ? 28 和分析出区间 [k , 2] 包含极大值点 x1 ? ?3 ,比较重要。
解: (1)f ?( x) ? 2ax ,g ?( x)=3x2 ? b .因为曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 ?1 ,c ?
f (1) ? g (1) , f ?(1) ? g ?(1) . 即 a ? 1 ? 1 ? b 且 2a ? 3 ? b . 解得 a ? 3, b ? 3 处具有公共切线, 所以 (2)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x)

当 a ? 3, b ? ?9 时, h( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1 , h?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ?3 , x2 ? 1 ;
3 2 2

h( x) 与 h?( x) 在 (??, 2] 上的情况如下: (??, ?3) (?3,1) ?3 x h( x ) + 0 — h?( x) ? 28 ?

1 0 -4

(1,2) +

2 3

?

由此可知: 当 k ? ?3 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ; 当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值小于 28. 因此, k 的取值范围是 (??, ?3] 10.【2012 高考江苏 18】(16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称

x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点。
已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
【答案】解:(1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ?1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注 意到 f ( x) 是奇函数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当

d <2







f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0



f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 ,
∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。

① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时 , f '( x) >0 , 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 , 从 而

f ( x) > f (2)=2 。
此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ?? 无实根。 ② 当 x ? ?1 , 2? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当

d <2 时
f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个 零点。 ( 11 ) 当 c < 2 时 , f ( t ) =c有 三 个 不 同 的 根 t3,t4,t5 , 满 足

ti < 2,i

=3, 。 4,

5

而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述, 当 c =2 时, 函数 y ? h( x) 有 5 个零点; 当 c < 2 时, 函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】(1)求出 y ? f ( x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f ( x) 的两个极值点代入列方 程组求解即可。

(2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;再考 虑函数 y ? h( x) 的零点。 11.【2012 高考天津文科 20】(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 3 2

其中 a>0.

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a=1 时,设函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M(t),最小值为 m(t),记 g(t)=M(t)-m(t),求函数 g(t)在区间 [ ?3,?1] 上的最小值。 【解析】(Ⅰ) f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ? f ?( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) 3 2

f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 或 x ? a , f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? a
得:函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1),(a, ??) ,单调递减区间为 (?1, a) (Ⅱ) 函数 f ( x) 在 (?2, ?1) 内单调递增,在 (?1, 0) 内单调递减

1 (lfxlby) 3 1 5 4 (III)当 a ? 1 时, f (2) ? f ( ?1) ? ? , f (?2) ? f (1) ? ? , f (?1) ? f (1) ? 3 3 3
原命题 ? f (?2) ? 0, f ( ?1) ? 0, f (0) ? 0 ? 0 ? a ?

f ( x) 在 [?3, ?1],[1, 2] 上单调递增,在 [?1,1] 上单调递减
当 t ?[?3, ?2], t ? 3 ?[0,1] ? M (t ) ? f (?1), m(t ) ? f (?2) ? f (1)

4 ? g ( t ) ? f (? 1 )? f ( 1 ? ) 3
当 t ?[?2, ?1], t ? 3 ?[1, 2] ? M (t ) ? f (?1), m(t ) ? f (1)

4 ? g ( t ) ? f (? 1 )? f ( 1 ? ) 3
得:函数 g (t ) 在区间 [ ?3,?1] 上的最小值为

4 3


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