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2017届河南省信阳市息县一中高三下学期第二次段考数学试卷(文科) (解析版)


2016-2017 学年河南省信阳市息县一中高三(下)第二次段考数学试卷(文 科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U=R,A={x|(x﹣2) (x+1)≤0},B={x|0≤x<3},则?U(A∪B)=( A. (﹣1,3) B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C

.[﹣1,3] )

D. (﹣∞,﹣1)∪[3,+∞)

2.欧拉(Leonhard Euler,国籍瑞士)是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他发明的公式 eix=cosx+isinx(i 为虚数单位) ,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数 的关系,这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此 公式可知,e﹣4i 表示的复数在复平面中位于( A.第一象限 3.已知向量 A.﹣2 B.2 C.8 D.﹣8 ) B.第二象限 C.第三象限 ,且 ) D.第四象限 ,则实数 k 的值为( )

4.命题“? x≥0 且 x∈R,2x>x2”的否定是( A.? x0≥0 且 x0∈R, C.? x0≥0 且 x0∈R,

B.? x≥0 且 x∈R,2x≤x2 D.? x0<0 且 x0∈R,

5.已知蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为 5,4,3 的长方体内自由飞行,若蝴 蝶在飞行过程中始终保持与长方体的 6 个面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蝴蝶“安 全飞行”的概率为( A. B. C. ) D. )

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(

A.8+2

B.11+2

C.14+2

D.15
-1-

7.已知 x,y 均为正实数,且 A.24 B.32 C.20 D.28

,则 x+y 的最小值为(



8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”, 执行该程序框图,若输入 a,b 的值分别是 21,28,则输出 a 的值为( )

A.14 B.7 9.若函数

C.1

D.0 的图象的对称中心在区间 ) D. 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m 等于( D.8 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原点, ) 内有且只有一个,

则 φ 的值可以是( A. B. C.

10.已知函数 f(x)= A.0 B.2 C.4

11.已知双曲线 C:

点 P 是双曲线在第一象限内的点,直线 PO,PF2 分别交双曲线 C 的左、右支于另一点 M,N, 若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线的离心率为( A. B. C. D. 的图象与直线 x﹣2y=0 相切,当函数 g(x)=f(f(x) )﹣t ) )

12.已知函数

恰有一个零点时,实数 t 的取值范围是(

A.{0} B.[0,1] C.[0,1) D. (﹣∞,0)
-2-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知 x,y 满足 ,则 z=x﹣2y 的最大值为 .

14.已知圆 C 经过坐标原点 O 和点 A(4,2) ,圆心 C 在直线 x+2y﹣1=0 上,则圆心到弦 OA 的距离为 .

15.已知侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 满足 AA1=2AB=2BC=4,∠ABC=90°,则其外接 球的表面积为 . , 若 , ,

16. AD=1, CD=2, AC= 如图所示, 在平面四边形 ABCD 中, 则 BC= .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 (1)证明:数列{nan}是等差数列; (2)记 ,{bn}的前 n 项和为 Sn,证明:Sn<1. .

18.为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况,随机抽取了 100 名大学生进行调查.下面 是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图:将日均午休时玩手机不低于 40 分钟的学生称为“手机控”. 非手机迷 手机迷 合计 男 女 合计 (1)求列表中数据的值; (2)能否有 95%的把握认为“手机控”与性别有关?
-3-

x y

x 10

m 55

注 k2= P(k2≥x0) k0



0.05

0.10

3.841

6.635

19.如图所示,已知长方体 ABCD 中,AB=4,AD=2,M 为 DC 的中点.将△ADM 沿 AM 折起,

使得 AD⊥BM.

(1)求证:平面 ADM⊥平面 ABCM; (2)若点 E 为线段 DB 的中点,求点 E 到平面 DMC 的距离. 20.已知函数 .

(1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 ,求实数 a 的值. 21.设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两 点,线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 x 轴的距离是 3. (1)求抛物线的标准方程; (2)设直线 m 在 y 轴上的截距为 6,且与抛物线交于 P,Q 两点,连结 QF 并延长交抛物线 的准线于点 R,当直线 PR 恰与抛物线相切时,求直线 m 的方程.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (θ 为参数) ,以坐标原点

O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
-4-

C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ﹣4sinθ. (1)化曲线 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)设曲线 C2 与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m,0) (m>0) ,经过点 P 作斜率为 1 的直线, l 交曲线 C2 于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

选修 4-5:不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+x+ 的最小值为 m. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=m,求证:2(a2+b2+c2)≥ab+bc+ca﹣3abc.

-5-

2016-2017 学年河南省信阳市息县一中高三(下)第二次段考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U=R,A={x|(x﹣2) (x+1)≤0},B={x|0≤x<3},则?U(A∪B)=( A. (﹣1,3) B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】解不等式得集合 A,根据并集与补集的定义写出运算结果即可. 【解答】解:集合 U=R,A={x|(x﹣2) (x+1)≤0}={x|﹣1≤x≤2}, B={x|0≤x<3}, ∴A∪B={x|﹣1≤x<3}, ∴?U(A∪B)={x|x<﹣1 或 x≥3}=(﹣∞,﹣1)∪[3,+∞) . 故选:D. C.[﹣1,3] )

D. (﹣∞,﹣1)∪[3,+∞)

2.欧拉(Leonhard Euler,国籍瑞士)是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他发明的公式 eix=cosx+isinx(i 为虚数单位) ,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数 的关系,这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此 公式可知,e﹣4i 表示的复数在复平面中位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4) ,再利用诱导公式与三角函数求值即可得出. 【解答】解:e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4) ,∵cos(﹣4)=cos[π+(4﹣π)]=﹣cos(4﹣π)< 0,sin(﹣4)=﹣sin[π+(4﹣π)]=sin(4﹣π)>0, ∴e﹣4i 表示的复数在复平面中位于第二象限. 故选:B.

3.已知向量

,且

,则实数 k 的值为(
-6-



A.﹣2 B.2

C.8

D.﹣8

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ 故选:A. ,∴﹣2k﹣4=0,解得 k=﹣2.

4.命题“? x≥0 且 x∈R,2x>x2”的否定是( A.? x0≥0 且 x0∈R, C.? x0≥0 且 x0∈R, 【考点】命题的否定.



B.? x≥0 且 x∈R,2x≤x2 D.? x0<0 且 x0∈R,

【分析】利用全称命题的否定是特称命题,去判断. 【解答】解:因为命题是全称命题,根据全称命题的否定是特称命题, 所以命题的否定:? x0≥0 且 x0∈R, 故选:C

5.已知蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为 5,4,3 的长方体内自由飞行,若蝴 蝶在飞行过程中始终保持与长方体的 6 个面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蝴蝶“安 全飞行”的概率为( A. B. C. ) D.

【考点】几何概型. 【分析】蝴蝶的安全飞行范围为:以这个长方体的中心为中心且长、宽、高分别为 3,2,1 的长方体内,分别求出体积,即可得出安全飞行的概率. 【解答】解:由题知蝴蝶的安全飞行范围为: 以这个长方体的中心为中心且长、宽、高分别为 3,2,1 的长方体内. 这个小长方体的体积为 6, 大长方体的体积为 60, 故安全飞行的概率为 p= 故选 A. .

-7-

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(



A.8+2

B.11+2

C.14+2

D.15

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱,底面的梯形上底 1,下底 2, 高为 1,运用梯形,矩形的面积公式求解即可. 【解答】解:根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱, 底面的梯形上底 1,下底 2,高为 1, ∴侧面为(4 底面为 )×2=8 ,

(2+1)×1= , =11 ,

故几何体的表面积为 8 故选:B.

7.已知 x,y 均为正实数,且 A.24 B.32 C.20 D.28 【考点】基本不等式.

,则 x+y 的最小值为(



【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x,y 均为正实数,且 则 x+y= ( x+2+y+2 ) ﹣ 4= ﹣4=20, 当且仅当 x=y=10 时取等号. ∴x+y 的最小值为 20. 故选:C. , ( x+2+y+2 ) ﹣ 4=6 ﹣ 4 ≥

-8-

8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”, 执行该程序框图,若输入 a,b 的值分别是 21,28,则输出 a 的值为( )

A.14 B.7

C.1

D.0

【考点】程序框图. 【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值,即可得到结论. 【解答】解:由 a=21,b=28,不满足 a>b, 则 b 变为 28﹣21=7, 由 b<a,则 a 变为 21﹣7=14, 由 b<a,则 a 变为 14﹣7=7, 由 a=b=7, 则输出的 a=7. 故选:B.

9.若函数 则 φ 的值可以是( A. B. C. ) D.

的图象的对称中心在区间

内有且只有一个,

【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据正弦函数图象的对称中心是(kπ,0) ,求出 φ 的表达式,再根据题意求出 φ 的 取值范围,即可得出 φ 的一个可能取值. 【解答】解:根据题意,令 2x+φ=kπ,k∈Z,
-9-

得 φ=kπ﹣2x,k∈Z; 又函数 f(x)图象的对称中心在区间( ∴﹣2x∈(﹣ ,﹣ ) , ,kπ﹣ , ) , ) ,k∈Z; , )内,

∴kπ﹣2x∈(kπ﹣ 当 k=1 时,φ∈( 又 0<φ< ,

∴φ 的一个可能取值是 故选:D.



10.已知函数 f(x)= A.0 B.2 C.4 D.8

的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m 等于(



【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】设 g(x)= 答案. 【解答】解:f(x)= =2+ , ,得到 g(x)为奇函数,得到 g(x)max+g(x)min=0,相加可得

设 g(x)=



∴g(﹣x)=﹣g(x) , ∴g(x)为奇函数, ∴g(x)max+g(x)min=0 ∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min, ∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4, 故选:C

11.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原点,
- 10 -

点 P 是双曲线在第一象限内的点,直线 PO,PF2 分别交双曲线 C 的左、右支于另一点 M,N, 若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线的离心率为( A. B. C. D. )

【考点】直线与椭圆的位置关系. 【分析】 由题意, |PF1|=2|PF2|, |PF1|﹣|PF2|=2a, 可得|PF1|=4a, |PF2|=2a, 由∠MF2N=120°, 可得∠F1PF2=120°,由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°,即可求出双曲线 C 的离 心率. 【解答】解:由题意,|PF1|=2|PF2|, 由双曲线的定义可得,|PF1|﹣|PF2|=2a, 可得|PF1|=4a,|PF2|=2a, 由四边形 PF1MF2 为平行四边形, 又∠MF2N=120°,可得∠F1PF2=120°, 在三角形 PF1F2 中,由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°, 即有 4c2=20a2+8a2,即 c2=7a2, 可得 c= 即 e= = 故选 B. a, .

12.已知函数

的图象与直线 x﹣2y=0 相切,当函数 g(x)=f(f(x) )﹣t )

恰有一个零点时,实数 t 的取值范围是(

A.{0} B.[0,1] C.[0,1) D. (﹣∞,0) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
- 11 -

【分析】先利用函数

的图象与直线 x﹣2y=0 相切,求出 a,再作出 f(x)的

图象,利用当函数 g(x)=f(f(x) )﹣t 恰有一个零点时,即可实数 t 的取值范围. 【解答】解:由题意,f′(x)= 取切点(m,n) ,则 n= ∴a=e.∴f(x)= f′(x)= , ,函数 f(x)在(0,e)上单调递增, (e,+∞)上单调递减, ,m=2n, , = ,

f(1)=0,x→+∞,f(x)→0, 由于 f(e)=1,f(1)=0, ∴当函数 g(x)=f(f(x) )﹣t 恰有一个零点时,实数 t 的取值范围是{0}, 故选 A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知 x,y 满足 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图, ,则 z=x﹣2y 的最大值为 14 .

- 12 -

化目标函数 z=x﹣2y 为 由图可知,当直线 故答案为:14.

, 过点 A(6,﹣4)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 14.

14.已知圆 C 经过坐标原点 O 和点 A(4,2) ,圆心 C 在直线 x+2y﹣1=0 上,则圆心到弦 OA 的距离为 .

【考点】点到直线的距离公式. 【分析】线段 OA 的中点为(2,1) ,kOA= .圆心所在直线方程为:y﹣1=﹣2(x﹣2) ,与直 线 x+2y﹣1=0 联立解得 x,y,再利用点到直线的距离公式即可得出. 【解答】解:线段 OA 的中点为(2,1) ,kOA= . ∴圆心所在直线方程为:y﹣1=﹣2(x﹣2) ,化为 2x+y﹣5=0. 联立 ,解得 x=3,y=﹣1.

∴圆心(3,﹣1) , ∴圆心到直线 OA:y= x 的距离 d= 故答案为: . = .

15.已知侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 满足 AA1=2AB=2BC=4,∠ABC=90°,则其外接 球的表面积为 24π .

【考点】球内接多面体;球的体积和表面积. 【分析】根据题意判断直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形,我们可以把直 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,求出外接球 的直径后,代入外接球的表面积公式,即可求出该三棱柱的外接球的表面积 【解答】解:由题意,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形,
- 13 -

把直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 补成正四棱柱, 则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径, 所以外接球半径为 R= 表面积为 S=4π?6=24π. 故答案为:24π. = ,

16. AD=1, CD=2, AC= 如图所示, 在平面四边形 ABCD 中, 则 BC= 3 .

, 若





【考点】解三角形. 【分析】由题意在△ADC 中应用余弦定理易得 cos∠CAD,进而由同角三角函数基本关系可得 sin∠CAD 和 sin∠BAD,再由和差角公式可得 sin∠CAB,在△ABC 中由正弦定理可得 BC. 【解答】解:由题意在△ADC 中,AD=1,CD=2,AC= ∴由余弦定理可得 cos∠CAD= ∴sin∠CAD= , ,可得 sin∠BAD= , = , ,

同理由 cos∠BAD=﹣

∴sin∠CAB=sin(∠BAD﹣∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=

- 14 -

在△ABC 中由正弦定理可得 BC= 故答案为:3.

=3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 (1)证明:数列{nan}是等差数列; (2)记 ,{bn}的前 n 项和为 Sn,证明:Sn<1. .

【考点】数列的求和;等差关系的确定. 【分析】 (1)数列
1+1,即

,可得 nan=(n﹣1)an﹣

nan﹣(n﹣1)an﹣1=1,即可证明. = .利用“裂项求

(2)由(1)可得:nan=2+(n﹣1) ,可得 n2an=n(n+1) ,bn= 和”方法与数列的单调性即可得出. 【解答】证明: (1)∵数列 an﹣1+1,即 nan﹣(n﹣1)an﹣1=1, ∴数列{nan}是等差数列,首项为 2,公差为 1. (2)由(1)可得:nan=2+(n﹣1) ,可得 n2an=n(n+1) .∴bn= ∴{bn}的前 n 项和 Sn= +…+ =1﹣ <1.

,∴nan=(n﹣1)

=



18.为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况,随机抽取了 100 名大学生进行调查.下面 是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图:将日均午休时玩手机不低于 40 分钟的学生称为“手机控”. 非手机迷 手机迷 男 女 合计 x y 75 x 10 25 合计 m 55 100

(1)求列表中数据的值;
- 15 -

(2)能否有 95%的把握认为“手机控”与性别有关? 注 k2= P(k2≥x0) k0 3.841 6.635 : 0.05 0.10

【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)由频率分布直方图能求出在抽取的 100 人中,“手机控”的人数. (2)求出 2×2 列联表,假设 H0:“手机控”与性别没有关系,求出 K2<3.841,从而得到没有 95%把握认为“手机控”与性别有关. 【解答】解: (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“手机控”有:100×(0.2+0.05) =25 人,非手机控 75 人,∴x=30,y=45,m=15.n=45; (2)从而 2×2 列联表如下: 非手机 控 男 女 合计 … 假设 H0:“手机控”与性别没有关系. 将 2×2 列联表中的数据代入公式,计算得:K2= 当 H0 成立时,P(K2≥3.841)≈0.05. ∴3.030<3.841,所以没有 95%把握认为“手机控”与性别有关 ≈3.030, 30 45 75 15 10 25 45 55 100 手机控 合计

19.如图所示,已知长方体 ABCD 中,AB=4,AD=2,M 为 DC 的中点.将△ADM 沿 AM 折起,
- 16 -

使得 AD⊥BM.

(1)求证:平面 ADM⊥平面 ABCM; (2)若点 E 为线段 DB 的中点,求点 E 到平面 DMC 的距离. 【考点】点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)证明:BM⊥平面 ADM,即可证明平面 ADM⊥平面 ABCM; (2)若点 E 为线段 DB 的中点,利用等体积方法求点 E 到平面 DMC 的距离. 【解答】 (I)证明:∵AD=DM=2,CM=BC=2,∠ADM=∠BCM=90°, ∴AM=BM=2 ,又 AB=4,

∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM. ∴AD⊥BM,AD∩AM=A, ∴BM⊥平面 ADM, ∵BM? 平面 ABCM, ∴平面 ADM⊥平面 ABCM; (2)解:取 AM 的中点 F,连接 DF,CF,则,DM=MC=2,DC=DF= ∴S△DMC= , = = = = , =2 ,

设点 E 到平面 DMC 的距离为 d, 则 VE﹣DMC= ∴d= = .

20.已知函数



(1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 ,求实数 a 的值.
- 17 -

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值, 求出 a 的值即可. 【解答】解: (1)f(x)的定义域是 R,且 f′(x)=1+ = ,

a=﹣1 时,f′(x)=



由 f′(x)>0,得 x∈(0,+∞) ,由 f′(x)<0,得 x∈(﹣∞,0) , ∴f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增; (2)由(1)得 f′(x)= ,

①若 a≥﹣1,则 ex+a≥0,即 f′(x)≥0 在[0,1]上恒成立, f(x)在[0,1]上是增函数, ∴f(x)min=f(0)=﹣a= , ∴a=﹣ (舍) ; ②若 a≤﹣e,则 ex+a≤0,即 f′(x)≤0 在(0,1]恒成立, f(x)在[0,1]递减, ∴f(x)min=f(1)=1﹣ = , ∴a=﹣ (舍) ; ③若﹣e<a<﹣1,当 0<x<ln(﹣a)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,ln(﹣a) )递减, 当 ln(﹣a)<x<1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(ln(﹣a) ,1)递增; ∴f(x)min=f(ln(﹣a) )=ln(﹣a)+1= , ∴a=﹣ , .

综上所述:a=﹣

21.设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两
- 18 -

点,线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 x 轴的距离是 3. (1)求抛物线的标准方程; (2)设直线 m 在 y 轴上的截距为 6,且与抛物线交于 P,Q 两点,连结 QF 并延长交抛物线 的准线于点 R,当直线 PR 恰与抛物线相切时,求直线 m 的方程. 【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】 (1)设抛物线的方程为 x2=2py(p>0) ,求出准线方程,运用抛物线的定义和中位线 定理,可得 2(3+ )=8,解得 p,即可得到抛物线的方程; (2)设直线 PQ 的方程为 y=kx+6,代入抛物线的方程,运用韦达定理,结合导数求得切线的 斜率,再由两点的方斜率公式,以及三点共线的条件:斜率相等,化简整理解方程可得 k 的 值,客人得到直线 m 的方程. 【解答】解: (1)设抛物线的方程为 x2=2py(p>0) , 准线方程为 y=﹣ , 由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2(3+ )=8, 解得 p=2, 即有抛物线的方程为 x2=4y; (2)设直线 PQ 的方程为 y=kx+6,代入抛物线的方程,可得 x2﹣4kx﹣24=0, 设 P(x1, ) ,Q(x2, ) ,

可得 x1+x2=4k,x1x2=﹣24, 由 y= x2 的导数为 y′= x,

设 R(t,﹣1) ,可得 kPR=

= x1,

可得 t= x1﹣



再由 Q,F,R 共线,可得

=



消去 t,可得

=


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即有 16x1x2=4(x12+x22)﹣16﹣(x1x2)2, 即有 16×(﹣24)=4[(4k)2+2×24]﹣16﹣242, 解方程可得 k=± , 即有直线 m 的方程为 y=± x+6.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 (θ 为参数) ,以坐标原点

O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ﹣4sinθ. (1)化曲线 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)设曲线 C2 与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m,0) (m>0) ,经过点 P 作斜率为 1 的直线, l 交曲线 C2 于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)根据 sin2θ+cos2θ=1 消去曲线 C1 的参数 θ 可得普通方程;根据 ρcosθ=x,ρsinθ=y, ρ2=x2+y2,进行代换即得曲线 C2 的普通方程; (2 ) 令曲线 C2 的 y=0, 求解 P 的坐标,可得过 P 的直线方程,参数方程的几何意义求解即可. 【解答】解: (1)曲线 C1 的参数方程为 点在 y 轴上的椭圆方程. 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ﹣4sinθ,可得 ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ, ∴x2+y2=2x﹣4y,整理得(x﹣1)2+(y+2)2=5,表示以(1,﹣2)为圆心,半径 r=5 的圆. (2)曲线 C2 与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m,0) (m>0) ,令 y=0,解得 x=2, ∴P(2,0) ,可得直线 l:y=x﹣2. 将曲线 C1 的参数方程带入直线 l 可得: 整理可得:cos( )= ,即 θ=2kπ 或 sinθ=2cosθ﹣2. , (k∈Z) . ,消去参数可得: ,表示焦

那么:A(2,0) ,B(﹣1,﹣3) , ∴|AB|= .

选修 4-5:不等式选讲
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23.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+x+ 的最小值为 m. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=m,求证:2(a2+b2+c2)≥ab+bc+ca﹣3abc. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)写出分段函数,即可求 m 的值; (2)利用作差法,即可证明. 【解答】 (1)解: ,

所以

,即 m=1.

(2)证明:由于 a3+b3﹣a2b﹣ab2=(a2﹣b2) (a﹣b)=(a﹣b)2(a+b)≥0, 由于 a+b+c=1,所以 a3+b3≥a2b+ab2=ab(a+b)=ab(1﹣c)=ab﹣abc, 同理可证:b3+c3≥bc﹣abc,c3+a3≥ca﹣abc, 三式相加得 2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc.

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2017 年 4 月 24 日

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